高考数学一轮复习第2章基本初等函数导数及其应用第4讲函数的奇偶性及周期性知能训练轻松闯关理北师大版33

1、高考数学精品复习资料 2019.5 第第 4 4 讲讲 函数的奇偶性及周期性函数的奇偶性及周期性 1(20 xx高考课标全国卷)设函数f(x)，g(x)的定义域都为 r r，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( ) af(x)g(x)是偶函数 b|f(x)|g(x)是奇函数 cf(x)|g(x)|是奇函数 d|f(x)g(x)|是奇函数 解析： 选 c.a： 令h(x)f(x)g(x)， 则h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x)，所以h(x)是奇函数，a 错b：令h(x)|f(x)|g(x)，则h(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x

2、)h(x)，所以h(x)是偶函数，b 错c：令h(x)f(x)|g(x)|，则h(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|h(x)，所以h(x)是奇函数，c 正确d：令h(x)|f(x)g(x)|，则h(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|h(x)，所以h(x)是偶函数，d 错 2(20 xx山西省第三次四校联考)已知偶函数f(x)，当x0，2)时，f(x)2sin x，当x2，)时，f(x)log2x，则f3f(4)( ) a32 b1 c3 d.32 解析： 选 d.因为f3f32sin 33，f(4)log242， 所以f3f(4) 32，故选 d. 3 设f

3、(x)是定义在 r r 上的周期为 3 的周期函数， 如图表示该函数在区间(2， 1上的图像，则f(2 016)f(2 017)( ) a3 b2 c1 d0 解析：选 c.因为f(x)是定义在 r r 上的周期为 3 的周期函数，所以f(2 016)f(2 017)f(67230)f(67231)f(0)f(1)， 而由图像可知f(1)1，f(0)0， 所以f(2 016)f(2 017)011. 4(20 xx江西省高考适应性测试)已知函数f(x)x2，g(x)x3tan x，那么( ) af(x)g(x)是奇函数 bf(x)g(x)是偶函数 cf(x)g(x)是奇函数 df(x)g(x)

4、是偶函数 解析：选 a.由已知易得f(x)f(x)，g(x)g(x)，故f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，故f(x)g(x)是奇函数，a 正确，b 错误；f(x)g(x)f(x)g(x)，所以f(x)g(x)既不是奇函数也不是偶函数 5(20 xx郑州调研)已知函数f(x)在区间5，5上是奇函数，在区间0，5上是单调函数，且f(3)f(1)，则( ) af(1)f(3) bf(0)f(1) cf(1)f(1) df(3)f(5) 解析：选 a.函数f(x)在区间0，5上是单调函数，又 31，且f(3)f(1)，故此函数在区间0，5上是减函数由已知条件及奇函数性质知，函数f(x)

5、在区间5，5上是减函数 选项 a 中，31，故f(3)f(1) 选项 b 中，01，故f(0)f(1) 同理，选项 c 中f(1)f(1)，选项 d 中f(3)f(5) 6 若函数f(x)是周期为 4 的偶函数， 当x0， 2时，f(x)x1， 则不等式xf(x)0 在1，3上的解集为 ( ) a(1，3) b(1，1) c(1，0)(1，3) d(1，0)(0，1) 解析：选 c.f(x)的图像如图 当x1，0)时，由xf(x)0，得x(1，0)； 当x0，1)时，由xf(x)0，得x； 当x1，3时，由xf(x)0，得x(1，3) 故x (1，0)(1，3) 7 已知函数f(x)在 r r

6、 上为奇函数， 且x0 时，f(x)x1， 则当x0 时，f(x)_ 解析：因为f(x)为奇函数，x0 时，f(x)x1， 所以当x0 时，x0， f(x)f(x)(x1)， 即x0 时，f (x)(x1)x1. 答案：x1 8若f(x)k2x2x为偶函数，则k_，若f(x)为奇函数，则k_ 解析：f(x)为偶函数时，f(1)f(1)，即k222k12，解得k1. f(x)为奇函数时，f(0)0， 即k10， 所以k1(或f(1)f(1)， 即k222k12，解得k1) 答案：1 1 9 若偶函数yf(x)为 r r 上周期为 6 的周期函数， 且满足f(x)(x1)(xa)(3x3)，则f(

7、6)等于_ 解析：因为yf(x)为偶函数，且f(x)(x1)(xa)(3x3)， 所以f(x)x2(1a)xa，1a0. 所以a1.f(x)(x1)(x1)(3x3) f(6)f(66)f(0)1. 答案：1 10(20 xx河北省衡水中学一调考试)设函数f(x)（x1）2sin xx21的最大值为m，最小值为m，则mm_ 解析：f(x)（x1）2sin xx2112xsin xx21.设g(x)2xsin xx21，则g(x)2xsin xx21g(x)， 所以g(x)是 r r 上的奇函数 所以若g(x)的最大值是w， 则g(x)的最小值是w.所以函数f(x)的最大值是 1w，最小值是 1

8、w，即m1w，m1w，所以mm2. 答案：2 11设f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当 0 x1 时，f(x)x. (1)求f()的值； (2)当4x4 时，求f(x)的图像与x轴所围成的图形的面积 解：(1)由f(x2)f(x)，得 f(x4)f(x2)2)f(x2)f(x)， 所以f(x)是以 4 为周期的周期函数 所以f()f(14)f(4)f(4) (4)4. (2)由f(x)是奇函数与f(x2)f(x)， 得f(x1)2)f(x1)f(x1)， 即f(1x)f(1x) 从而可知函数yf(x)的图像关于直线x1 对称 又当 0 x1 时，f(x)x，且f(x)的图像关于

9、原点成中心对称，则f(x)的图像如图所示 设当4x4 时，f(x)的图像与x轴围成的图形面积为s， 则s4soab41221 4. 12已知函数f(x)x22x，x0，0，x0，x2mx，x0是奇函数 (1)求实数m的值； (2)若函数f(x)在区间1，a2上递增，求实数a的取值范围 解：(1)设x0，则x0， 所以f(x)(x)22(x) x22x. 又f(x)为奇函数， 所以f(x)f(x)， 于是x0 时，f(x)x22xx2mx， 所以m2. (2)由(1)知f(x)在1，1上是增函数，要使f(x)在1，a2上递增 结合f(x)的图像知a21，a21， 所以 1a3，故实数a的取值范围

10、是(1，3 1(20 xx河南省适应性模拟练习)定义在 r r 上的函数f(x)满足f(x)f(x)，f(x2)f(x2)，且x(1，0)时，f(x)2x15，则f(log220)( ) a1 b1 c.45 d45 解析：选 b.因为f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数，又f(x2)f(x2)，所以f(x)的周期为 4，由 4log2200)在区间8，8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4_ 解析：因为f(x)为奇函数并且f(x4)f(x) 所以f(x4)f(4x)f(x)，即f(4x)f(x)，且f(x8)f(x4)f(x)， 即yf(x)的图像关于x2 对称，并且

11、是周期为 8 的周期函数 因为f(x)在0，2上是增函数， 所以f(x)在2，2上是增函数，在2，6上为减函数，据此可画出yf(x)的图像 其图像也关于x6 对称， 所以x1x212，x3x44， 所以x1x2x3x48. 答案：8 3函数f(x)的定义域为dx|x0，且满足对于任意x1，x2d，有f(x1x2)f(x1)f(x2) (1)求f(1)的值 (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论 (3)如果f(4)1，f(x1)2，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围 解：(1)因为对于任意x1，x2d， 有f(x1x2)f(x1)f(x2)， 所以令x1x21，得f(1)2f(1)

12、， 所以f(1)0. (2)f(x)为偶函数证明如下： 令x1x21， 有f(1)f(1)f(1)， 所以f(1)12f(1)0. 令x11，x2x有f(x)f(1)f(x)， 所以f(x)f(x)，所以f(x)为偶函数 (3)依题设有f(44)f(4)f(4)2， 由(2)知，f(x)是偶函数， 所以f(x1)2，等价于f(|x1|)f(16)又f(x)在(0，)上是增函数 所以 0|x1|16，解得15x17 且x1.所以x的取值范围是x|15x17 且x1 4(20 xx菏泽模拟)已知函数yf(x)在定义域1，1上既是奇函数，又是减函数 (1)求证：对任意x1，x21，1，有f(x1)f(x2)(x1x2)0； (2)若f(1a)f(1a2)0，求实数a的取值范围 解：(1)证明：若x1x20，显然不等式成立 若x1x20，则1x1x21， 因为f(x)在1，1上是减函数且为奇函数， 所以f(x1)f(x2)f(x2)， 所以f(x1)f(x2)0. 所以f(x1)f(x2)(x1x2)0 成立 若x1x20，则 1x1x2