高三导数复习学生版

1、导数的基础知识一变化率：函数 y=f(x), 如果自变量 x 在 x 0 处有增量x ，那么函数 y 相应地有增量 _ ，比值y 叫做y =_ 。x函数 y=f （ x）在 x 0 到 x 0 + x 之间的 _ ，即y 有极限， 我们就说函数x如果当 x0 时，y=f(x) 在点 x 0 处 _ ，并把这个极限叫做xf （x）在点 x 0 处的导数，记作 _ 或 _ 。即 f（ x 0 ） = limylim _ 。=x 0xx 0说明：（ 1）函数 f（ x）在点 x 0 处可导，是指x0 时，y 有极限。如果y 不存在极限，就说函数在xx点 x 0 处不可导，或说无导数。（ 2） x 是

2、自变量 x 在 x 0 处的改变量，x0时，而y 是函数值的改变量，可以是零。二导数的定义：1. （ 1）、函数 yfx在 xx0 处的导数： fx0_=_（ 2）、函数 yfx的导数f x _2. 利用定义求导数的步骤：求函数的增量：取极限得导数：y_ ；求平均变化率：y_ ；xyf x _三导数的物理意义1. 求瞬时速度：物体在时刻t0 时的瞬时速度 V0 就是物体运动规律Sft 在 tt0 时的导数ft0 ，即有 V0ft0 。2.V s/ (t)表示即时速度。a=v/ (t)表示加速度。四导数的几何意义：1. 函数 fx 在 x0 处导数的几何意义，曲线yfx 在点 P x0 , fx

3、0处切线的斜率是kfx0 。于是相应的切线方程是：_2. 用导数求曲线的切线注意两种情况：（ 1）曲线 yfx 在点 P x0 , fx0 处切线： k切线 f x0 。相应的切线方程是： _（ 2）曲线 yfx 过点 P x0 , y0处切线：先设切点， 切点为 Q (a,b) , 则斜率 k=f '(a) ，切点 Q(a,b) 在曲线 y fx 上， PQ连线斜率 kPQ = f '(a) ( 或利用切点 Q(a,b) 在切线 y y0fa x x0 上 ) ，切点Q(a,b) 坐标代入方程得关于 a,b 的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k= f '(a)

4、，确定切线方程。五、导数的运算： （下面内容必记）（ 1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式： C _ ( C 是常数 ) ； xn_ ；1_=_ ；n xm=_xn sin x_； cosx_ ex=_ ax_a0且1 ； ln x_； log a x_ a 0且 1法则 1： f xgx_ ( 口诀：和与差的导数等于导数的和与差).法则 2： f xg x_ ( 口诀：前导后不导相乘， 后导前不导相乘， 中间是正号 )法则 3：fx_g x0 ( 口诀：分母平方要记牢，上导下不导g x相乘，下导上不导相乘，中间是负号)（ 2）复合函数 yf ( g (x) 的导数求法【只做了解】 ：

5、换元，令 ug( x) ，则 yf (u) 分别求导再相乘 y 'g (x) 'f (u)'回代 u g (x)六函数的单调性 ：设函数 yf ( x) 在某个区间内可导，（ 1） f '(x)0f ( x) 该区间内为 _ ；（ 2） f'(x)0f ( x) 该区间内为 _ ；注意：当f '(x) 在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，（或递减）的。f ( x)在这个区间上仍是递增（ 3）f ( x)在该区间内单调递增_在该区间内恒成立；（ 4） f ( x) 在该区间内单调递减_在该区间内恒成立；【注意】：（1）（ 2）与（

6、3）（4）两种题型的区别，是易错点题型一、利用导数证明（或判断）函数f (x) 在某一区间上单调性：步骤 (1) 求函数 yf x 的定义域(2) 求导数 y f ( x)(3) 判断导函数 yf ( x) 在区间上的符号(4) 下结论： f'( x)0f (x) 该区间内为增函数； f '(x) 0f ( x) 该区间内为减函数；题型二、利用导数求函数yf (x)单调区间的步骤为 ：（ 1）分析 yf( x) 的定义域；（ 2）求导数yf (x)（ 3）解不等式 f(x)0 ，解集在定义域内的部分为增区间（ 4）解不等式 f(x)0 ，解集在定义域内的部分为减区间题型三、利用

7、单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）思路一 . f (x) 在该区间内单调递增f '(x)0 在该区间内恒成立； f (x) 在该区间内单调递减f '( x)0 在该区间内恒成立；【然后将参数很干净的移到左边，只需要参数超过右边的最值即可】思路二 . 先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。题型四：先利用导数证明（或判断）函数f(x)在某一区间上单调性，再比较大小【例子】若函数ln x，若 af (3), bf ( 4), cf (5) 则 ( )f ( x)xA. a< b < cB. c < b

8、 < aC. c < a < bD. b < a < c七、函数的极值与其导数的关系：1. 函数的极值极值的定义： 设函数 f (x) 在点 x0 附近有定义， 且若对 x0附近的所有的点都有_ ，则称 f ( x0 ) 为函数的一个 _ ， x0为 _ 点。可导数 f ( x) 在极值点 x0 处的导数为0（即 f '(x0 )0 ），但函数f ( x) 在某点 x0 处的导数为0，并不一定函数 f ( x) 在该处取得极值（如f ( x) x3在 x0 0处的导数为0，但 f ( x) 没有极值）。求极值的步骤：第一步：求导数f'( x) ；第

9、二步：求方程f'( x)0 的所有实根；第三步：列表考察在每个根x0附近，从左到右，导数f '(x) 的符号如何变化，若 f '( x) 的符号由正变负，则f ( x0 ) 是 _ ；若 f '( x) 的符号由负变正，则f ( x0 ) 是 _ ；若 f '( x) 的符号不变，则f ( x0 ) 不是极值， x0 不是极值点。已知极值求参数，最后必须验证。【注意】：若函数 f （x）在（ a， c）上为减函数，在（c， b）上为增函数 ，则 x=c 两侧使函数f （ x）变号，即 x=c 为函数的一个极值点，所以f '(c)02、函数的最值：

10、最值的定义： 若函数在定义域D内存 x0 ，使得对任意的xD ，都有 _则称 f ( x0 ) 为函数的 _ ，记作 _如果函数 yf ( x) 在闭区间 a, b 上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间a, b 上必有最大值和最小值。求可导函数f (x) 在闭区间 a, b 上的最值方法：第一步；求 f (x) 在区间 a,b 内的极值；第二步：比较f (x) 的极值与f ( a) 、 f (b) 的大小：第三步：下结论 : 最大的为最大值，最小的为最小值。注意： a、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的

11、端点处取得。极值最值。函数f(x)在区间 a,b上的最大值为极大值和 f(a)、f(b) 中最大的一个。最小值为极小值和f(a)、 f(b)中最小的一个。b函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值; 极小值对应最小值）c、注意：极大值不一定比极小值大。如f ( x)x12 ，极小值为 2。的极大值为xd、给定区间求最值问题特别引起重视，一定要先求出给定区间的单调性，然后求最值0时，函数有极值f/(x0/0) 0 不能得到当0时，函数有极值；注意：当 x=x) 0。但是， f(xx=x判断极值，还需结合函数的单调性说明。八、导数图象与原函数图象关系导函数原函数f '

12、(x) 的符号f ( x) 单调性f '(x) 与 x 轴的交点且交点两侧异号f ( x) 极值f '(x) 的增减性f ( x) 的每一点的切线斜率的变化趋势（ f (x) 的图象的增减幅度）f '(x) 的增f ( x) 的每一点的切线斜率增大（f (x) 的图象的变化幅度快）f '(x) 减f ( x) 的每一点的切线斜率减小（ f ( x) 的图象的变化幅度慢）基础典型题归类一、题型一：利用导数概念求导数例 1已知 s= 1 gt 2 ，利用导数概念求t=3 秒时的瞬时速度。2变式练习：利用导数概念求函数y=4的导数。2x例 2已知函数 y f(x)在

13、xx0 处的导数为11，则 li mf x0 2x f x0 _xx0变式练习：若f (x0) 2，求 limf x0 k f x0 的值k02k二、题型二：深入领会导数的几何意义导数的几何意义:导数值对应函数在该点处的切线斜率。1、已知曲线上的点求此点切线斜率例 3已知曲线y 2x2 上一点 A(2,8) ，则 A 处的切线斜率为()A 4B16C8D2变式训练（ 1）：已知曲线 y1x2 2 上一点 P(1， 3) ，则过点 P 的切线的倾斜角为 _22变式训练（ 2）：求过点P( 1,2)且与曲线y 3x24x 2 在点 M(1,1)处的切线平行的直线变式训练（ 3）：已知曲线 y 5

14、x ，求：（1）曲线上与直线 y=2x-4 平行的切线的方程； （ 2）求过点 P（ 0,5 ）且与曲线相切的切线的方程 .变式训练（ 4）：已知抛物线y=x2+bx+c 在点（ 1,2 ）处的切线与直线y=x-2 平行，求b,c 的值。2、已知切线斜率求相关点坐标例 4 函数 yx2 4x 在 x x0 处的切线斜率为2，则 x0 _.变式训练：下列点中，在曲线2上，且在该点处的切线倾斜角为y x的是()4A (0,0)B (2,4)1，111C ()D(，)41624三、题型三：利用求导公式及法则求导及其应用例 5 f(x) log 2 x.变式练习：（ 1）、设函数f(x) log ax

15、，f (1) 1，则 a_（ 2）、已知直线y kx 是曲线 y ln x 的切线，则k 的值等于 _例6已知A 4f(x) xa ，则B 4f ( 1) 4，则C 5a 的值等于D5()变式练习求与曲线y 3x2在点P(8,4) 处的切线垂直于点P 的直线方程四、题型四：函数求导及应用1、用和、差、积、商求导法则求函数导数例 8求下列函数的导数：2xx(1)y 3x xcosx； (2)y； (3)y lgx e ；2、函数求导的应用例 9、已知 f(x) ax3 3x2 2，若 f ( 1) 4，则 a 的值是 ()19161310A. 3B. 3C. 3D. 3变式练习（ 1）若函数 f

16、(x) ex在 xc 处的导数值与函数值互为相反数，则c 的值为 _x变式练习（ 2） 若函数 f(x) ax4 bx2 c 满足 f(1) 2，则 f ( 1) ()A 1B 2C2D03、导数中利用待定系数法求解析式2例 10、已知 f (x)是一次函数，x f (x) (2x 1)f(x) 1.求 f(x)的解析式小结：（ 1）求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；如：例8中1、2（ 2）有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导有时可以避免使用商的求导法则，减少运

17、算量。五、题型五：借助导数处理单调区间、极值和最值问题1、已知函数解析式求其单调区间例 11求下列函数的单调区间1(1) y xln x；(2)y 2x.变式练习：函数 f( x) (x3)ex 的单调递增区间是A (， 2)B (0,3)C (1,4)()D (2， )2、已知函数单调区间求解析式中的参数值例 12、若函数 f(x) x3 bx2 cx d 的单调减区间为 1,2 ，则 b _， c_变式练习：若函数y4x3ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是 _33、用导数解复杂函数中的恒成立问题例 13函数yax3 x 在R 上是减函数，则()1A a 3B a 1C a 2D a

18、0变式练习已知函数f(x) ax a 2lnx(a 0)，若函数 xf(x)在其定义域内为单调函数，求a 的取值范围4、通过导数解决函数极值问题例 14、函数 f(x) x3 6x2 15x 2 的极大值是 _，极小值是 _变式练习：函数f(x)1312)3x x 2x 取极小值时， x 的值是 (2A 2B 2， 1C 1D 3例 15、函数 f(x)x3ax23x 9，已知 f(x)在 x 3 时取得极值，则 a ()A 2B 3C 4D 5变式练习（ 1）： 已知函数 f(x) x3 ax2 bxa2 在 x 1处有极值10，则 a、 b 的值为 ()A a 4， b 11B a 4，

19、b 1 或 a 4， b 11C a 1， b 5D 以上都不正确变式练习（ 2）：若函数 y x3 6x2 m 的极大值等于 13，则实数 m 等于 _解析： y 3x2 12x，由 y 0，得 x0 或 x 4，容易得出当 x 4 时函数取得极大值，所以43 6×42 m13，解得 m 19.例 16、设 aR，若函数 y ex ax， x R，有大于零的极值点，则a 的取值范围为 _解析： y ex a，由 y 0得 x ln( a)由题意知 ln( a)>0 ， a< 1. (， 1)变式练习：已知函数 y x lnx ，则 y 的极值情况是 ()A 有极小值B有

20、极大值C既有极大值又有极小值D 无极值综合练习： (20XX年高考安徽卷 )设函数 f(x) sinx cosx x 1（0<x<2）， 求函数 f(x)的单调区间与极值5、通过导数解决函数最值问题例 17、（ 06 浙江卷） f ( x) x33x22 在区间1,1 上的最大值是（）(A)2(B)0(C)2(D)4变式练习（1）：函数 y 4x2(x 2)在 x 2,2 上的最小值为 _，最大值为 _变式练习（ 2）：函数 y xex 的最小值为 _例 18函数 f(x) x3 3x2 9xk 在区间 4,4 上的最大值为 10，则其最小值为 ()A10B 71 C 15D 22变式练习 (1) :已知 f(x) x2 mx 1在区间 2， 1上的最大值就是函数f(x) 的极大值， 则 m 的取值范围是 _变式练习 (2) 函数 f(x) ax4 4ax2 b( a>0,1 x 2)的最大值为3，最小值为5，则