高考数学一轮必备考情分析学案：6.3等比数列及其前n项和含解析

1、高考数学精品复习资料 2019.56.3等比数列及其前n项和考情分析高考中主要在选择题、填空题中考查等比数列的定义、基本运算和性质，在解答题中多与等差数列、函数、不等式等综合考考查基础知识1、等比数列的判定：（1）定义法：（2）等比中项法：（3）通项公式法：（4） （5）若均为等比数列，为的前n项和，则；公比不为1的等比数列由相邻两项的差，相邻k项和仍是等比；由原等比数列中相隔k项的项从新组成的数列仍等比 2、等比数列的性质来源:（1）通项公式：（2）前n项和公式：（3）下脚标性质：若m+n=p+q，则 （4）两个常用技巧：若三个数成等比通常设成，若四个数成等比通常设成，方便计算 注意事项1.

2、利用错位相减法推导等比数列的前n项和：sna1a1qa1q2a1qn1，同乘q得：qsna1qa1q2a1q3a1qn，两式相减得(1q)sna1a1qn，sn(q1)2.(1)由an1qan，q0并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形导致解题失误3.等比数列的判断方法有：(1)定义法：若q(q为非零常数)或q(q为非零常数且n2且nn*)，则an是等比数列(2)中项公式法：在数列an中，an0且aan·an2(nn*)，则数列an是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an

3、c·qn(c，q均是不为0的常数，nn*)，则an是等比数列题型一等比数列基本量的计算【例1】设sn为数列an的前n项和已知s37，a13,3a2，a34构成等差数列(1)求a2的值；(2)若an是等比数列，且an1<an(nn*)，试求sn的表达式解：(1)由已知得：a22.(2)设数列an的公比为q，由a22，可得a1，a32q.又s37，可知22q7，即2q25q20，解得q1，q22(舍去，an1<an(nn*)q，a14.故数列an的前n项和sn823n(nn*)【变式1】 等比数列an满足：a1a611，a3·a4，且公比q(0,1)(1)求数列an

4、的通项公式；(2)若该数列前n项和sn21，求n的值解(1)a3·a4a1·a6，又a1a611，故a1，a6看作方程x211x0的两根，又q(0,1)a1，a6，q5，q，an·n1·n6.(2)由(1)知sn21，解得n6.题型二等比数列的判定或证明【例2】已知数列an满足a11，a22，an2，nn*.(1)令bnan1an，证明：bn是等比数列；(2)求an的通项公式 (1)证明b1a2a11.当n2时，bnan1anan(anan1)bn1，bn是以1为首项，为公比的等比数列(2)解由(1)知bnan1ann1，当n2时，ana1(a2a1)(

5、a3a2)(anan1)11n211n1.当n1时，111a1，ann1(nn*)【变式2】设d为非零实数，ancd2cd2(n1)cdn1ncdn(nn*)(1)写出a1，a2，a3并判断an是否为等比数列若是，给出证明；若不是，说明理由；(2)设bnndan(nn*)，求数列bn的前n项和sn.解(1)由已知可得a1d，a2d(1d)，a3d(1d)2.当n2，k1时，cc，因此ancdkcdkdcdkd(d1)n1.由此可见，当d1时，an是以d为首项，d1为公比的等比数列；当d1时，a11，an0(n2)，此时an不是等比数列(2)由(1)可知，and(d1)n1，从而bnnd2(d1

6、)n1snd212(d1)3(d1)2(n1)(d1)n2n(d1)n1当d1时，snd21.当d1时，式两边同乘d1得(d1)snd2(d1)2(d1)2(n1)(d1)n1n(d1)n，式相减可得dsnd21(d1)(d1)2(d1)n1n(d1)nd2.来源:数理化网化简即得sn(d1)n(nd1)1.综上，sn(d1)n(nd1)1.题型三等比数列的性质及应用【例3】已知公差不为0的等差数列an的首项a1为a(ar)，且，成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)对nn*，试比较与的大小解：(1)设等差数列an的公差为d，由题意可知()2·， 即(a1d)2a1(a13d)

7、，从而a1dd2， 因为d0，所以da1a.故通项公式anna.(2)记tn， 因为a2n2na，所以tn()·1()n从而，当a>0时，tn<；当a<0时，tn>.【变式3】在等比数列an中，若a1，a44，则公比q_；|a1|a2|an|_.解析设等比数列an的公比为q，则a4a1q3，代入数据解得q38，所以q2；等比数列|an|的公比为|q|2，则|an|×2n1，所以|a1|a2|a3|an|(12222n1)(2n1)2n1.来源:数理化网答案22n1重难点突破【例4】成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成

8、为等比数列bn中的b3、b4、b5.(1)求数列bn的通项公式；(2)数列bn的前n项和为sn，求证：数列是等比数列来源: 解析 (1)解设成等差数列的三个正数分别为ad，a，ad.依题意，得adaad15，解得a5 所以bn中的b3，b4，b5依次为7d,10,18d.依题意，由(7d)(18d)100，解得d2或d13(舍去)故bn的第3项为5，公比为2，由b3b1·22，即5b1·22，解得b1.所以bn是以为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bn·2n15·2n3 (2)证明数列bn的前n项和sn5·2n2，即sn5·2n

9、2所以s1，2因此是以为首项，公比为2的等比数列巩固提高1. 公比为2的等比数列an的各项都是正数，且a2a1216，则a5()a. 1b. 2c. 4d. 8答案：a解析：a2a1216，a16，a74a5×22，a51.2.已知等比数列an的前n项和为sn，a3，s3，则公比q()a. 1或b. c. 1d. 1或答案：a解析：设数列的公比为q，a3，s3，a1q2，a1(1qq2).两式相除得3，即2q2q10.q1或q.3.在各项均为正数的等比数列an中，a13，前三项的和s321，则a3a4a5的值为()a. 33b. 72c. 84d. 189答案：c来源:解析：由题意可知该等比数列的公比q1，故可由s321，得q37q60，解得q2或q3(舍去)所以a3a4a53×(222324)84，故选c.4.已知数列an满足a11，an1·an2n(nn*)，则a10()a. 64b. 32c. 16d. 8答案：b解析：an1an2n，an2·an12n1，两式相除得2.a11.a1，a3，a5，a7，a9构成以1为首项，以2为公比的等比数列，a916.又a10