高中数学课本典例改编之必修一：专题三 函数的性质 Word版含解析

1、高考数学精品复习资料 2019.5一、题之源：课本基础知识1.一般地,设函数的定义域为:如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数.如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数.若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性2.如果函数f(x)在某个区间上是增函数,在该区间上随自变量x的增大,y也越来越大,函数图象在该区间上的部分自左到右呈上升趋势；如果函数f(x)在某个区间上是减函数,则在该区间上随自变量x的增大,y越来越小,函数图象在该区间上的部分自左到右呈下降

2、趋势并不是每个函数都有单调性,如函数 就不具有单调性.3.对于函数和,如果在区间上是具有单调性,当时,且在区间上区间也具有单调性,则复合函数在区间具有单调性：若在上单调递增,在上单调递增,则复合函数在区间上单调递增；若在上单调递增,在上单调递减,则复合函数在区间上单调递减；若在上单调递减,在上单调递增,则复合函数在区间上单调递减；若在上单调递减,在上单调递减,则复合函数在区间上单调递增；4.一般地,设函数yf(x)的定义域为i,如果存在实数m满足：对于任意的xi,都有f(x)m；存在x0i,使得f(x0)m.那么,称m是函数yf(x)的最大值.f(x)m反映了函数yf(x)的所有函数值不大于实

3、数m；这个函数的特征是图象有最高点,并且最高点的纵坐标是m.5.一般地,设函数yf(x)的定义域为i,如果存在实数m满足：对于任意的xi,都有f(x)m；存在x0i,使得f(x0)m.那么,称m是函数yf(x)的最小值.函数最小值的几何意义：函数图象上最低点的纵坐标6.函数最值的重要结论(1)设f(x)在某个集合d上有最小值，m为常数，则f(x)m在d上恒成立的充要条件是f(x)minm；(2)设f(x)在某个集合d上有最大值，m为常数，则f(x)m在d上恒成立的充要条件是f(x)maxm.7.函数的奇偶性（在整个定义域内考虑）（1）奇函数满足， 奇函数的图象关于原点对称；（2）偶函数满足，

4、偶函数的图象关于y轴对称； 注：具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称; 若奇函数在原点有定义,则根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。8.判断函数奇偶性的步骤求函数定义域，看定义域是否关于原点对称，若不对称，则既不是奇函数，也不是偶函数；验证f(x)是否等于±f(x)，或验证其等价形式f(x)±f(x)0或±1(f(x)0)是否成立对于分段函数的奇偶性应分段验证，但比较繁琐，且容易判断错误，通常是用图象法来判断对于含有x的对数式或指数式的函数通常用“f(x)±f(x)0”来判断二、题之本：思想方法技巧1.复合函

5、数单调性可简记为“同增异减”,即内函数与外函数单调性相同时,复合函数为增函数,内函数与外函数单调性相异时,复合函数为减函数.2.根据定义证明函数的单调性时，要注意格式的规范.3.研究函数的单调性切记定义域优先.注意单调区间必须用区间表示，不可用集合的其它表示形式，并注意区间端点值的取舍，如端点值在定义域内，闭开均可，如端点值不在定义域内，必须为开；如增（减）区间不只一个，区间之间应该用“和”或“，”，不可用“”.4.若f(x)是增(减)函数，则f(x1)f(x2)x1x2(x1x2)在解决“与抽象函数有关的不等式”问题时，可以利用函数单调性的“可逆性”，脱去“函数符号f”，化为一般不等式求解，

6、但运算必须在定义域内或给定的范围内进行5.已知奇(偶)函数或周期函数在定义域的某一区间内的解析式，求函数在另一区间或整体定义域内的解析式时，一定要注意区间的转换如：若x0，则x0；若1x2，则3x24等如果要研究其值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上6解题中要注意以下性质的灵活运用(1)f(x)为偶函数f(x)f(|x|)；(2)若奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0)0；(3)若f(x)既是奇函数，又是偶函数，则它的图象一定在x轴上7.下面几类函数都是奇函数:y=(ab0);y=(a>0且a1

7、);y=(a>0且a1);y=(a>0且a1).8. 若f(x)满足对任意实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b),则f(x)是奇函数;若f(x)满足对任意实数a,b都有f(a+b)+m=f(a)+f(b),则f(x)-m是奇函数.9.抽象函数的奇偶性与单调性的判定，常在依托定义的基础上，用赋值法.例：已知函数f(x)在(1，1)上有定义，f()=1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(1，1)上单调递减 证明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y

8、=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f(0)=0.f(x)=f(x).f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.令0<x1<x2<1,则f(x2)f(x1)=f(x2)f(x1)=f()0<x1<x2<1,x2x1>0,1x1x2>0，>0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)<0x2x1<1x2x1,0<<1,由题意知f()<0，即f(x2)<f(x1).f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0.f(x)在(1，1)上为

9、减函数.10.函数的几个重要性质：如果函数对于一切，都有，那么函数的图象关于直线对称Û是偶函数；若都有，那么函数的图象关于直线对称；函数与函数的图象关于直线对称；函数与函数的图象关于直线对称；函数与函数的图象关于直线对称；函数与函数的图象关于坐标原点对称11.抽象函数的周期性是高考考查的热点，故这里给出周期函数的定义及常用结论：(1)已知函数的定义域为，若存在非零常数，对任意都有，则成为周期函数，t为的一个周期。(2)对函数满足对定义域内任一实数（其中为非零常数）,，则是以为周期的周期函数；，则是以为周期的周期函数；，则是以为周期的周期函数；，则是以为周期的周期函数；，则是以为周期的

10、周期函数.，则是以为周期的周期函数，则是以为周期的周期函数.函数满足（），若为奇函数，则其周期为，若为偶函数，则其周期为.函数的图象关于直线和都对称，则函数是以为周期的周期函数；函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周期的周期函数；函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数；三、题之变：课本典例改编1.原题（必修1第二十四页习题1.2a组第七题）画出下列函数的图象：（1）改编 设函数d(x)=，则下列结论错误的是（ ）ad(x)的值域为0,1 b d(x)是偶函数 cd(x)不是周期函数 dd(x)不是单调函数【答案】c.2.原题（必修1第三十六页练习第题（）判断下列函数的奇偶性

11、：改编 关于函数，有下列命题：其图象关于轴对称；当时，是增函数；当时，是减函数；的最小值是；在区间上是增函数；无最大值，也无最小值其中所有正确结论的序号是 【答案】【解析】 为偶函数，故正确；令，则当时，在上递减，在上递增，错误；正确；错误故答案：3.原题（必修1第三十九页复习参考题b组第1题）已知函数，(1)求，的单调区间；(2) 求，的最小值改编1 已知函数在区间内单调递减，则a的取值范围是（ ）a b c d【答案】d【解析】函数图像是开口向上的抛物线，其对称轴是，由已知函数在区间内单调递减可知区间应在直线的左侧，解得，故选d改编2 已知函数在区间(,1)上为增函数，那么的取值范围是_【

12、答案】【解析】函数在区间(,1)上为增函数，由于其图像(抛物线)开口向上，所以其对称轴或与直线重合或位于直线的左侧，即应有，解得，即改编3 已知函数在上是单调函数，求实数的取值范围【答案】或4.原题（必修1第三十九页复习参考题b组第三题）已知函数是偶函数，而且在上是减函数，判断在上是增函数还是减函数，并证明你的判断.改编1 已知定义在上的偶函数f(x)在区间上是减函数, 若f(1-m)f(m), 则实数m的取值范围是 .【答案】【解析】由偶函数的定义, , 又由f(x)在区间上是减函数, 所以.故答案：.改编2 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】b在其定义域内是奇函数但不是减函数;c在其定义域内既是奇函数又是增函数;d在其定义域内不是奇函数,是减函数;故选a.改编3 函数是r上的偶函数，且在上是增函数，若,则实数的取值范围是 （ ）a. b. c. d.或【答案】d.5.原题（必修1第四十五页复习参考题b组第五题）证明：（1）若，则；（2）若则.改编1 函数在上有定义，若对任意，有则称 在上具有性质.设在上具有性质，求证：对任意，有.【解析】证明： 改编2 如图所示，是定义在0，1上的四个函数，其中