高三复习：二项式定理-知识点、题型方法归纳_8483

1、学习好资料绵阳市开元中学高2014 级高三复习二项式定理知识点、题型与方法归纳制卷：王小凤学生姓名： _一知识梳理n0n1n1r n r rn n*这个公式所表示的定1二项式定理 ：(ab) CnCna bna b CnN )aCb (n理叫二项式定理，右边的多项式叫(a b)n 的二项展开式其中的系数 Cr0,1，n)叫n(r二项式系数 式中的 Cnran rbr 叫二项展开式的通项，用Tr 1 表示，即通项 Tr 1 Cnranr br.2 二项展开式形式上的特点(1)项数为 n 1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即 a 与 b 的指数的和为 n.(3)字母 a 按降幂排列，从第

2、一项开始，次数由n 逐项减 1 直到零；字母 b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1 直到 n.(4)二项式的系数从C0n， C1n，一直到 Cnn1，Cnn.3 二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等即CnrCnn r(2)增减性与最大值：二项式系数 Cnk，当 kn12时，二项式系数逐渐增大由对称性知它的后n半部分是逐渐减小的；当n 是偶数时，中间一项 Cn2取得最大值；当 n 是奇数时，中间两项n 1n1Cn2Cn2取得最大值(3)各二项式系数和： C0nC1nC2n Crn Cnn2n；C0n C2nC4n C1nC3n C5n 2n 1.一个防范

3、运用二项式定理一定要牢记通项Tr1Crnanrbr，注意 (a b)n 与(b a)n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母 )系数是两个不同的概念，前者只指Crn，而后者是字母外的部分前者只与n 和 r 有关，恒为正，后者还与a，b 有关，可正可负一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项欢迎下载式定理因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续两种应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等(2)展开式的应用：利用展开式可证明与二项式系数有关的等式；

4、可证明不等式；可证明整除问题；可做近似计算等三条性质(1)对称性； (2)增减性； (3)各项二项式系数的和；二题型示例【题型一】求 (xy)n 展开特定项例 1：(1 3x)n(其中 N* 且 n6)的展开式中 x5 与 x6的系数相等，则 n ()A.6nB.7C.8D.9解：由条件得5566n！n！×3，Cn3 Cn3 ，6！（ n 6）！5！（ n5）！3(n5)6，n7.故选 B.2014·大纲xy 822例 2：(yx的展开式中 xy的系数为_.(用数字作答)xy 8rx8 ry rrr8 3r3 r 4解：展开式的通项公式为Tr1C81Cx 2y 2 ，yxy

5、x8332244令 82r 2，解得 r4，此时 2r 4 2，所以展开式中 x y 的系数为(1) C870.故填 70.【题型二】求 (ab)m( xy)n 展开特定项例 1：在(1x)5(1 x)6(1 x)7 (1x)8 的展开式中，含 x3 的项的系数是 ()A74B121C74D 121解析展开式中含 x3 项的系数为53(1)363(1)3731)3831)3121.CCC (C (【题型三】求 (a b)m( x y)n 展开特定项例 ：2013·全国课标卷已知(1ax)(1x)5 的展开式中x2的系数为，则 1 ()5a ()A. 4B.3C.2D.15的展开式中2

6、项为221222解： (1ax)(1x)x5·55ax(105a)x .C xax C x 10x学习好资料x2 的系数为 5，10 5a5，a 1.故选 D.例 2： (2014 ·浙江卷 )在(1x)6(1y)4 的展开式中，记 xmyn 项的系数为 f(m，n)，则 f(3，0) f(2，1)f(1， 2)f(0， 3)()A45B60C120D 210解析在6的展开式中，m的系数为m4nn，(1x)x64，故C，在 (1y) 的展开式中，y 的系数为 Cf(mmn32·C11234，n) C·C .从而 f(3，0)C620，f(2，1) C46

7、0，f(1，2)C·C 36，f(0，3)C646644所以 f(3，0)f(2，1) f(1，2)f(0， 3)120，故选 C.例 3：已知数列 an 是等差数列，且 a6a710 ，则在 (xa1 )( x a2 ) (xa12) 的展开式中，x11 的系数为 _.解： x11 的系数为 (a1a2a12 )6( a6a7 )60 。【题型四】求 ( xyz)n 展开特定项例 1：求 x 125(x>0)的展开式经整理后的常数项 .2x51 10x12x解法一：在 x0 时可化为2x，2xr110r10 2r51 563 2因而 Tr1C102(x)，则 r 5 时为常数

8、项，即 C10·22.解法二： 所给的式子为三项式，采用两个计数原理求解 .55分三类： 5 个式子均取2，则 C()42；52x1111()3取一个 ，一个，三个2，则 C5C4202；x222x121 22152取两个 2，两个 x，一个2，则 C52C322.152632所以，常数项为42202 2 2 .点拨：三项式的展开式问题，通常可用解法一化为二项式问题，或用解法二化为计数问题.例 2：若将 ( xy z)10 展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（）A11B33C55D66解：展开后，每一项都形如xa yb zc ，其中 a b c 10 ，该方程非负整数解的对数为

9、C120266 。例 3： 2015 ·课标全国卷 (x2xy)5 的展开式中， x5y2 的系数为 ()A10B20 C30D60欢迎下载解析易知 Tr 1C5r(x2x)5r yr ，令 r 2，则 T3C52(x2x)3y2，对于二项式(x2x)3，由 Tt 1C3t(x2)3 txtC3tx6 t，令 t1，所以 x5y2的系数为 C52C3130.【题型五】二项式展开逆向问题例 1：(2013·广州毕业班综合测试 )若 C1n3C2n32C3n 3n 2Cnn 1 3n185，则 n 的值为()A.3B.4C.5D.6112n 2n 1n 1n85，解得 n4.故

10、选 B.解：由 Cn3Cn 3Cn 33(1 3)1【题型六】赋值法求系数（和）问题例 1：已知 (12x)7a0 a1x a2 x2 a7x7 .求： (1)a1a2 a7；(2)a1 a3 a5a7；0 2 4 6；(4)|a0| a1a2 a7|.(3)a a a a| |解：令 x1，则 a0 1 2 3 4 5 6 71.aa a a aa a令 x 1，则 a0 a1 a2 a3a4a5 a6a7 37 .0(1)a0 C71，a1a2 a3 a7 2.137(2)( ) ÷2，得 a1a3 a5a7 1094.2(3)( ) ÷2，得 a a a a 1371

11、093.02462(4)(1 2x)7 的展开式中， a0 ，a2， a4，a6 大于零，而 a1， a3，a5，a7 小于零，|a0|a1|a2| |a7| (a0 a2a4a6)(a1a3a5a7)，所求即为 (亦即 )，其值为 2187.点拨：“赋值法”普遍运用于恒等式， 是一种处理二项式相关问题比较常用的方法.对形如(axb)n，(ax2bx c)m ， ， 的式子求其展开式各项系数之和，只需令x1即可；对形如 (ax by)n， R)(a b c R)x1即可的式子求其展开式各项系数之和，只需令(aby0a1 2 2 ann，则 f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之.

12、若 f(x)axa xx和 为 a0 a2 a4 f（ 1） f（ 1） ， 偶 数 项 系 数 之 和 为 a1 a3 a5 2f（1） f（ 1）2.2n222n2例2：设 2xa0a1xa2x a2nx ，则(a0a2 a4 a2n) (a1a3 a5a2n1 )2_.解：设 f(x)22n2421352n120202n)2 x ，则 (aaa a ) (a a a a(aa a4 a2n a1a3a5 a2n1)(a0 a2a4 a2na1a3 a5 a2n1)f(1) ·f(1)学习好资料22n22n1 2n1 n21·2 1 2 4 .a1a2a32201422

13、016例 3：已知 (x1)(x2)a0 a1(x2)a2(x 2) a2016(x2)，则22223a2016的值为 _.2016233232014 0332解： 依题意令 x，得1 21222 222aa2a232016a1 a2a3a20161 2016a2016 2 2，令 x 2 得 a0 0，则 2 2223 22016 2.【题型七】平移后系数问题例 1：若将函数 f(x) x5 表示为 f(x)a0 a1 (1x)a2(1x)2 a5(1 x)5, 其中 a0，a1， a2 ， a5 为实数，则 a3_.解法一： 令 x1y，(y1)5012 55，故 32210. 25aa

14、ya ya ya C (1)a5 1，解法二： 由等式两边对应项系数相等4a40，解得3.即： C5a510.a33C aC a a 0，解法三：对等式： f(x) x5 0 1554435 两边连续对x) 2x)2 5 x)x求导三次aa (1a (1a (1得： 60x2 6a324a4(1x)60a5 (1x)2，再运用赋值法，令x 1得： 606a3，即 a3 10.故填 10.【题型八】二项式系数、系数最大值问题例 1：1n_x2x的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则第四项为解析由已知条件第五项和第六项二项式系数最大，得n9，x192x展开式的第四项361321为 T4 C9

15、·( x) ·2.2x例 2：把(1x)9 的展开式按 x 的升幂排列，系数最大的项是第 _项A 4B 5C6D 7解析(1 x)9 展开式中第 r 1项的系数为 C9r(1)r ，易知当 r 4 时，系数最大，即第 5项系数最大，选B.例 3：(12x)n 的展开式中第 6 项与第 7 项的系数相等， 求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项 .解：T655， 76(2x)65566所以(12x)8的展开式中，nn，依题意有n· n· ，解得C (2x)TCC2C2n 8.欢迎下载444二项式系数最大的项为 T5 C8·(2x)1 120x

16、 .rrr 1r 18·2C8· ，C2设第 r 1 项系数最大，则有rrr 1r18·2C8 · ，C2解得 5r 6.所以 r 5 或 r 6，所以系数最大的项为T61 792x5 或 T71 792x6.点拨：(1)求二项式系数最大项：如果n 是偶数，则中间一项第 n 1项 的二项式系数最大；2n1n 1如果 n 是奇数，则中间两项 (第 2项与第2 1 项)的二项式系数相等并最大 .(2)求展开式系n数最大项：如求 (abx) (a，b R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，列出不等ArAr 1，式组从而解出 r，即得展开式系数最大的项

17、.ArAr 1，【题型九】两边求导法求特定数列和例 1：若 (2x 3)5a0a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5，则 a12a23a34a45a5_解析 原等式两边求导得 5(2x3)4·(2x 3) a12a2x 3a3x2 4a4x3 5a5x4，令上式中 x1，得 a12a2 3a3 4a4 5a5 10.【题型十】整除问题例 1：设 a Z ，且 0a<13，若 512 012 a 能被 13 整除，则 a ()A0B1C11D12解析512 012a(521)2 012a02 01212 0112 0112 0112 0122 012 C2 0122 01

18、2C2 012×52·( 1)C2 012·1) ，·52 C·52(aC02 012·522 012C12 012·522 011 C22 011012× 52·(1)2 011能被 13 整除2 0122 0122 012且 51 a 能被 13 整除，C2 012·(1)a1a 也能被 13 整除因此 a 可取值 12.例 2：已知 m 是一个给定的正整数，如果两个整数a， b 除以 m 所得的余数相同，则称a与 b 对模 m 同余，记作 a b(modm)，例如：5 13(mod 4).若 22015 r(mod 7)，则 r 可能等于 ()A.2013B.2014C.2015D.2016201523×6716716716711670670因此2015除以解：22×2 ×84(7C6717 671244(7 1)C71).7 的余数为