高考数学一轮必备考情分析学案：3.2导数的应用1含解析

1、高考数学精品复习资料 2019.53.2导数的应用(一)考情分析高考中多以解答题的形式考查，利用导数研究函数单调性、单调区间和极值点、极值的方法，通常驻综合性较强，难度中档或以上.基础知识1.函数的导数与单调性在某个区间内，若>0，则函数在这个区间内单调递增；若<0, 则函数在这个区间内单调递减.2.函数的导数与极值（1）极大值：如果在附近的左侧>0，右侧<0，且=0，那么是极大值；（2）极小值：如果在附近的左侧<0，右侧>0，且=0，那么是极小值；注意事项1.直线与曲线有且只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线；反之直线是曲线的切线，但直线不一定与曲线有且

2、只有一个公共点 2.(1)f(x)0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件(2)对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件3.求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)由f(x)0(f(x)0)解出相应的x的范围当f(x)0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f(x)0时，f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间题型一求曲线切线的方程【例1】已知函数f(x)x34x25x4.(1)求曲线f(x)在x2处的切线方程；(2)求经过点a(2，2)的曲线f(x)的切线方程解(1)

3、f(x)3x28x5f(2)1，又f(2)2曲线f(x)在x2处的切线方程为来源:y(2)x2，即xy40. (2)设切点坐标为(x0，x4x5x04)f(x0)3x8x05则切线方程为y(2)(3x8x05)(x2)，又切线过(x0，x4x5x04)点，则x4x5x02(3x8x05)(x02)，整理得(x02)2(x01)0，解得x02，或x01，因此经过a(2，2)的曲线f(x)的切线方程为xy40，或y20.【变式1】 若直线ykx与曲线yx33x22x相切，试求k的值解设ykx与yx33x22x相切于p(x0，y0)则y0kx0，y0x3x2x0，又y3x26x2，ky|xx03x6

4、x02，由得：(3x6x02)x0x3x2x0，即(2x03)x0.x00或x0，k2或k.题型二函数的单调性与导数【例2】已知函数f(x)x3ax23x.(1)若f(x)在1，)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间解(1)对f(x)求导，得f(x)3x22ax3.由f(x)0，得a.记t(x)，当x1时，t(x)是增函数，t(x)min(11)0.a0.(2)由题意，得f(3)0，即276a30，a4.f(x)x34x23x，f(x)3x28x3.令f(x)0，得x1，x23.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x3(3，)f(x)

5、00f(x)极大值极小值当x，3，)时，f(x)单调递增，当x时，f(x)单调递减【变式2】 已知函数f(x)exax1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由解f(x)exa，(1)若a0，则f(x)exa0，即f(x)在r上递增，若a>0，exa0，exa，xln a.因此f(x)的递增区间是ln a，)(2)由f(x)exa0在(2,3)上恒成立aex在x(2,3)上恒成立又2<x<3，e2<ex<e3，只需ae3.当ae3时f(x)exe3在x(2,3)上，f(x)&l

6、t;0，即f(x)在(2,3)上为减函数，ae3.故存在实数ae3，使f(x)在(2,3)上单调递减题型三利用导数解决不等式问题【例3】设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xr.(1)求f(x)的单调区间与极值；来源:(2)求证：当aln 21且x0时，exx22ax1.(1)解由f(x)ex2x2a，xr知f(x)ex2，xr.令f(x)0，得xln 2，于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表.x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)单调递减2(1ln 2a)单调递增故f(x)的单调递减区间是(，ln 2，单调递增区间是ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极

7、小值，极小值为f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)(2)证明设g(x)exx22ax1，xr，于是g(x)ex2x2a，xr.由(1)知当aln 21时，g(x)的最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意xr，都有g(x)0，所以g(x)在r内单调递增来源:于是当aln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)0.即exx22ax10，故exx22ax1.【变式3】 已知mr，函数f(x)(x2mxm)ex(1)若函数没有零点，求实数m的取值范围；(2)当m0时，求证f(x)x2x3.(1)解由已知条件f(x)

8、0无解，即x2mxm0无实根，则m24m<0，解得0<m<4，实数m的取值范围是(0, 4)(2)证明当m0时，f(x)x2ex设g(x)exx1，g(x)ex1，g(x)，g(x)随x变化情况如下：x(，0)0(0，)g(x)0g(x)0由此可知对于xr，g(x)g(0)即exx10，因此x2(exx1)0，整理得x2exx3x2，即f(x)x3x2.重难点突破【例4】设函数f(x)x(ex1)x2，求函数f(x)的单调增区间解析：因为f(x)x(ex1)x2，所以f(x)ex1xexx(ex1)·(x1)令f(x)0，即(ex1)(x1)0，得x1或x0.所以函

9、数f(x)的单调增区间为(，1)和(0，)巩固提高1曲线yx311在点p(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()a9 b3c9 d15解析由已知y3x2，则y|x13切线方程为y123(x1)，即y3x9.答案c2函数f(x)x22ln x的递减区间是()a(0,1 b1，)c(，1)，(0,1) d1,0)，(0,1解析函数的定义域为(0，)，又f(x)2x2由f(x)0，解得0x1.答案a3若点p是曲线yx2ln x上任意一点，则点p到直线yx2的最小值为()a1 b.c. d. 解析由已知y2x，令2x1，解得x1.曲线yx2ln x在x1处的切线方程为y1x1，即xy0.两直线xy0，xy20之间的距离为d.答案b4在高台