04第4讲数列极限收敛准则64077

1、高等院校非数学类本科数学课程授课教师：刘长荣第 二 章 极 限本章学习要求： 了解数列极限、函数极限概念，知道运用“”和 “x ” 语言描 述函数的极限。 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。一、数列及其简单性质二、数列的极限三、数列极限的性质四、数列的收敛准则 单调减少有下界的数列必有极限 . 单

2、调增加有上界的数列必有极限 . . 11 收敛证明数列nn证证由中学的牛顿二项式展开公式321! 3)2)(1(1! 2) 1(1! 1111nnnnnnnnnnxnnnnnnnnn1! )1() 1(nnn2111! 3111 2111！ , 112111! 1nnnnn例例1类似地, 有11111nnnx 111121111! 1nnnnn 11121111! ) 1(1nnnnn121111! 31111 2111nnn！除前面的展开式可以看出与比较 , 1nnxx并且的对应项的每一项都小于两项外 , ,1nnxx因此一项还多了最后的大于零的 , 1nx1nnxx. 是单调增加的即nxn

3、nnxn2111! 3111 2111！ 112111! 1nnnnn又! 1! 31! 2111n1221212111n , 321321121111nn 等比数列求和 放大不等式 . 有界从而nx每个括号小于 1 . 综上所述, 数列xn是单调增加且有上界的, 由极限存在准则可知, 该数列的极限存在, 通常将它记为 e, 即. 11limennne 称为欧拉常数. 590457182818284. 2e .ln : , , xye记为称为自然对数为底的对数以! ! 1! 31! 21 ! 111 nnnee的计算公式为 . 10 ,其中 欧拉一身经历坎坷。他于1707年生于瑞士巴塞尔，20

4、年后却永远离开了祖国。在他76年的生命历程中，还有25年住在德国柏林（17411766年），其余时间则留在俄国彼得堡。 欧拉31岁时右眼失明，59岁时双目失明。他的寓所和财产曾被烈火烧尽（1771年），与他共同生活40年的结发之妻先他10年去世。 欧拉声誉显赫。12次获巴黎科学院大奖（17381772年）曾任彼得堡科学院、柏林科学院、伦敦皇家学会、巴塞尔物理数学会、巴黎科学院等科学团体的成员。 欧拉成就卓著。生前就出版了560种论著，另有更多未出版的论著。仅仅双目失明后的 17 年间，还口述了几本书和约400篇论文。欧拉是目前已知成果最多的数学家。 欧拉聪明早慧，13岁入巴塞尔大学学文科，两年

5、后获学士学位。第二年又获硕士学位。后为了满足父亲的愿望，学了一段时期的神学和语言学。从18岁开始就一直从事数学研究工作。 欧拉具有超人的计算能力。法国天文学家、物理学家阿拉哥（d. f. j. arago，17861853）说：“欧拉计算一点也不费劲，正像人呼吸空气、或像老鹰乘风飞翔一样。” 有一次，欧拉的两个学生计算一个复杂的收敛级数的和，加到第17 项时两人发现在第 50 位数字相差一个单位。为了确定究竟谁对，欧拉用心算进行了全部运算，准确地找出了错误。特别是在他双目失明后，运用心算解决了使牛顿头疼的月球运动的复杂分析运算。 欧拉创用 a，b，c 表示三角形的三条边，用 a，b，c表示对应

6、的三个角( 1748 )；创用 表示求和符号 ( 1755 )；提倡用 表示圆周率（1736）；1727年用 e 表示自然对数的底；还用y 表示差分等等。 十八世纪四十年代，欧拉的一些著作就已传到中国，如他在1748年出版的无穷分析引论。设数列 xn, yn, zn 满足下列关系:(2),limlimazynnnn则axnnlim(1) yn xn zn , n z+(或从某一项开始) ;想想：如何证明夹逼定理? ,limlim 所以因为azynnnn, | , , 0 , 0 1aynnnn时当, | , , 0 , 0 22aznnnn时当 , ,max 21有时则当取nnnnn . |

7、, |azaynn故有或从某一项开始已知 ),( znzxynnn)( nnazxyannn , , 由极限定义得有时即当axnnn.limaxnn解解 .12111 lim 222nnnnn求112111 22222nnnnnnnnn , 1lim 2nnnn而11lim2nnn由于112111 lim 222nnnnn故例例2想得通吧？想得通吧？解解. ,! lim znnnnn求 ,11 321! 0 nnnnnnnnnnn由于 1. 1,3,2均小于nnnn , 00lim , 01lim nnn而 . 0! lim nnnn故例例3 .)321 (lim 1nnnn求 132313)

8、321 (11nnnnnn , 3132311 nn而 , 33)321 (3 11nnnn故 , 3)33(lim 1nn又 . 3)321 (lim , 1nnnn得由夹逼定理例例4解解例例5 .221lim 2nnnn求解解 , 1 时当n 2212nn ,12122121 2nnnnnnn故 ,121lim ,21lim 22enennnnn而 .221lim 22ennn故请自己做!n21 ,121) 1(221nnnn例例6解解.) , ( ,lim 2121zkaaaaaaknnknnn为正常数其中求 ,max 21则有记naaaa , 21nnnnnknnnnkakaaaaaa

9、 , 1lim 故由夹逼定理得而nnk .,maxlim2121knnknnnaaaaaaa除最大的一个外, 其余的均取为零. ) ( lim收敛即数列nnnxax. | , , , 0 , 0nmxxnnmn时当 满足此条件的数列, 称为“柯西列”. 柯西准则可写为: . 为柯西列收敛数列nnxx . 131211 时发散的证明数列n证证,1 31211 nxn记nnnxxnn212111| 2由于 ,212111nnnnn , , , 21 0均有时当取何值则不论时故取nnn0221 |nnxx由柯西收敛准则可知, 该数列是发散的.例例6 柯柯 西西 a.l.cauchy (1789185

10、7) 柯西 1789 年8月21日出生于巴黎。父亲是一位精通古典文学的律师，与当时法国的大数学家拉格朗日和拉普拉斯交往密切。少年时代柯西的数学才华就颇受这两位大数学的赞赏，并预言柯西日后必成大器。在拉格朗日的建议下，其父亲加强了对柯西文学素质的培养，使得后来柯西在诗歌方面也表现出很高的才华。 18051810年，柯西考入巴黎理工学校，两年后以第一名的成绩被巴黎桥梁公路学院录取，毕业时获该校会考大奖。1810年成为工程师。1815年获科学院数学大奖，1816年3月被任命为巴黎科学院院士，同年9月，被任命为巴黎理工学校分析学和力学教授。 由于身体欠佳，接受拉格朗日和拉普拉斯的劝告，放弃工程师工作，

11、致力于纯数学研究。柯西在数学上的最大贡献是在微积分中引进了极限概念，并以极限为基础建立了逻辑清晰的分析体系。这是微积分发展史上的一个重大事件，也是柯西对人类科学发展所作的巨大贡献。1821年柯西提出了极限定义的方法，把极限过程用不等式刻划出来，后经维尔斯特拉斯改进为现在教科书上所说的极限定义或定义。当今所有微积分教科书都还（至少在本质上）沿用柯西关于极限、连续、收敛等概念。柯西对定积分作了系统的开创性的工作。他把定积分定义为和的极限，并强调在作定积分运算前，应判断定积分的存在性。 他首先利用中值定理证明了微积分基本定理。通过柯西以及后来维尔斯特拉斯的艰苦工作，使数学分析的基本概念得到严格化处理，从而结束了 200 年来微积分在思想上的混乱局面，并使微积分发展为现代数学最基础、最庞大的数学学科。 数学分析严谨化的工作一开始就产生了很大的影响。在一次学术会议上柯西提出了级数收敛理论，会后，拉普拉斯急忙回家，关起门来，避不见人，直到将他所发表和未发表的与级数有关的论文和著作全部检查一遍，确认无误为止。 柯西一生撰写的数学论著有800多种。他是19 个科学院或著名学术团体的成员。1838年他还被授予男爵封号。他在学术上