05极限存在准则与两个重要极限

1、主要内容：主要内容：一、一、极限存在准则极限存在准则二、二、两个重要极限两个重要极限 第一章第一章 函数与极限函数与极限 第四节第四节 极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限一、极限存在准则1.夹逼准则夹逼准则准准则则 如如果果数数列列nnyx ,及及nz满满足足下下列列条条件件: :,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那那末末数数列列nx的的极极限限存存在在, , 且且axnn lim. .上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限注意注意: :.,的极限是容易求的的极限是容易求的与与并且并

2、且与与键是构造出键是构造出利用夹逼准则求极限关利用夹逼准则求极限关nnnnzyzy准则准则 i和和准则准则 i称为称为夹逼准则夹逼准则.例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼定理得由夹逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnnx1x2x3x1 nxnx2.单调有界准则单调有界准则满足条件满足条件如果数列如果数列nx,121 nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列准准则则 单单调调有有界界数数

3、列列必必有有极极限限.几何解释几何解释:am例例2 2.)(333的极限存在的极限存在式式重根重根证明数列证明数列nxn 证证,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx, 331 x又又, 3 kx假定假定kkxx 3133 , 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32aa 2131,2131 aa解得解得(舍去舍去).2131lim nnxac二、两个重要极限(1)1sinlim0 xxx)20(, xxaobo 圆心角圆心角设单位圆设单位圆,tan,sinacxabxbdx 弧弧于是有于是有

4、xobd.aco ，得，得作单位圆的切线作单位圆的切线,xoab的圆心角为的圆心角为扇形扇形,bdoab的高为的高为 ,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也成立也成立上式对于上式对于 xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx1sinlim0 xxx注意：注意：1.函数极限为函数极限为 型且含有三角函数型且含有三角函数2.公式中出现的变量（可以是字母公式中出现的变量（可以是字母 或是或是其它的代数式）相同且该变量趋向

5、于零其它的代数式）相同且该变量趋向于零.3.公式的等价形式为公式的等价形式为tx 或或001sinlim0 xxx例例3 3.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 1) 1sin(lim. 22sinlim . 1231xxxxxx计算下列极限计算下列极限随堂练习232 ，答案：思考题：思考题：?sinlim xxx01, 1|sin|sinxxxx时，当是有界函数，xxxsinlimxxxsin1lim0(2)exxx )11 (lim)71828. 2( e(2)

6、exxx )11 (lim定义定义ennn )11(limnnnx)11( 设设 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( ).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim记为记为)71828. 2( e类似地类似地,1时时当当 x, 1 xxx

7、有有,)11()11()111(1 xxxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1xxxxxxxx 而而, e 11)111(lim)111(lim)111(lim xxxxxxxx, e .)11(limexxx , xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim,1xt 令令ttxxtx)11(lim)1(lim10 . e exxx 10)1(limttttttttttttt)111()111()1()1()11( e)x11 (limxx xu1 令令0limu则则euu 1)

8、1 (ux1 则则exxx)11 (lim对于公式注意：注意：2.底数中的无穷小量（可以是字母底数中的无穷小量（可以是字母 或是或是 代数式）和指数互为倒数。代数式）和指数互为倒数。tx或或1.公式中底数的极限是公式中底数的极限是1，指数的极限是无穷，指数的极限是无穷大大,函数极限为函数极限为 型型1exxx 10)1(lim. 3 公式的等价形式为公式的等价形式为例例4 4.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例例5 5.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim xxxx原式原式.2e 内容小结内容小结1.两

9、个准则两个准则2.两个重要极限两个重要极限夹逼准则夹逼准则; 单调有界准则单调有界准则 .; 1sinlim10 某过程某过程.)1(lim210e 某过程某过程,为某过程中的无穷小为某过程中的无穷小设设 习题演练xxx1sin1211lim1、计算、计算21e答案：、计算下列极限：、计算下列极限：2,2tanlim)1(0 xxx),0(sinsinlim)2(0 xxx,cotlim)3(0 xxx ,sin2cos1lim)4(0 xxxx ,sinlim)5(nxnn .sinarcsinlim)6(0 xxx1)6( ;)5( ;2)4( ;1)3( ;)2( ;21)1(x 答答案案：、计算下列极限：、计算下列极限：3 ,1lim)1(10 xxx ,21li