单边拉氏变换与傅里叶变换的关系

1、五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系0de)()(ttfsfstres 0 ttfftde)()(jj要讨论其关系，要讨论其关系，f(t)必须为因果信号。必须为因果信号。 根据收敛坐标根据收敛坐标 0的值可分为以下三种情况：的值可分为以下三种情况： （1） 0-2；则则 f(j )=1/( j +2)复习（2） 0 =0，即即f(s)的收敛边界为的收敛边界为j 轴，轴， )(lim)(j0sff如如f(t)= (t)f(s)=1/s 2202200limlim1lim)(jjjf= ( ) + 1/j （3） 0 0，f(j )不存在。不存在。 例例 f(t)=

2、e2t (t) f(s)=1/(s 2) , 2；其傅里叶变；其傅里叶变换不存在。换不存在。复习5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质 线性性质线性性质 尺度变换尺度变换 时移特性时移特性 复频移特性复频移特性 时域微分时域微分 时域积分时域积分 卷积定理卷积定理 s s域微分域微分 s s域积分域积分 初值定理初值定理 终值定理终值定理复习f(t-t0) (t-t0)e-st0f(s) , res 0 f(t)esat f(s-sa) , res 0+ a f(t) sf(s) f(0-) sfssfflt)0()(d)(1nnnssftftd)(d)()(f1(t)*f2(t) f1(s

3、)f2(s) sdfttf)()()(lim)(lim)0(0ssftffst)(lim)(0ssffs复习5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换直接利用定义式求反变换直接利用定义式求反变换-复变函数积分，比较困难。复变函数积分，比较困难。通常的方法通常的方法 :（1）查表）查表 （2）利用性质）利用性质 （3） 部分分式展开部分分式展开 -结合结合 若象函数若象函数f(s)是是s的有理分式，可写为的有理分式，可写为 01110111.)(asasasbsbsbsbsfnnnmmmm若若mn （假分式）（假分式）,可用多项式除法将象函数可用多项式除法将象函数f(s)分分解为有理多项式解为有理多项

4、式p(s)与有理真分式之和。与有理真分式之和。 )()()()(0sasbspsf复习6116332261161531258)(23223234ssssssssssssssf由于由于l- 11= (t)， l -1sn= (n)(t)，故多项式，故多项式p(s)的拉的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。普拉斯逆变换由冲激函数构成。 下面主要讨论有理真分式的情形。下面主要讨论有理真分式的情形。一、零、极点的概念一、零、极点的概念若若f(s)是是s的实系数有理真分式（的实系数有理真分式（mn)，则可写为，则可写为 01110111.)()()(bsbsbsasasasasasbsfnnnmmmm)()(

5、)()()()()(2121nnmmpspspsazszszsbsasbsf分解分解零点零点极点极点0)(0)(sfsb因为 的零点称为的根是sfsbzzzzm,0,321 的极点称为的根是sfsappppn,0,321)(0)(sfsa因为二、拉氏逆变换的过程求求f(s)的极点的极点将将f(s)展开为部分分式展开为部分分式查变换表求出原函数查变换表求出原函数f(t)部分分式展开部分分式展开1.第一种情况：单阶实数极点 ,321为不同的实数根为不同的实数根npppp)()()()(21npspspssbsfnnpskpskpsksf2211)(ipsiisfpsk)()()(e11tpsltp

6、ii单阶实极点举例单阶实极点举例(1)(1)求极点求极点 )3)(2)(1(3322 ssssssf(2)(2)展为部分分式展为部分分式 321321sksksksf362511)( ssssf所以所以6116332)(232 ssssssf 1estlt根据 0e6e5e)(:32 ttfttt得得(3)(3)逆变换逆变换求系数求系数1|) 3)(2(332| )() 1(1211sssssssfsk假分式情况：假分式情况：23795)(223 ssssssf作长除法作长除法 2 3s 462772 2379523 2223232 sssssssssssss )(22132)(1sfssss

7、ssf 2112)(1 sssf tttf2)(e)(e22tttt第二种情况：极点为共轭复数第二种情况：极点为共轭复数 221ssasbsf sssfjj1共轭极点出现在共轭极点出现在j .jj21 sksksf ssfskj j1 fj2j1 ssfskj j2 fj2j1成共轭关系：成共轭关系：可见可见21,kkbakj1 *12jkbak 求f(t)j11e|jkbakj1*12e|jkkbak skskltfjj*1110 tttkk eee*11 tbtat sincose2 je|je|jj)(j1j1*110sksksksksf=2|k1|e- tcos( t+ ) (t) 共

8、轭极点举例共轭极点举例。的的逆逆变变换换求求)()52)(2(3)(22tfsssssf )2)(2j1)(2j1(32 sssssf2j12j12210 sksksk02, 1 取取 57)2(20 ssfsk52j1)2j1)(2(32j121 ssssk52,51 ba 0 2sin522cos51e2e572 ttttftt另一种方法另一种方法 22sssff(s)具有共轭极点，不必用部分分式展开法具有共轭极点，不必用部分分式展开法 2222ssssf 0 sinecose ttttftt 求得求得 222)(cose )(sine sstlstltt利用利用第三种情况：有重根存在23

9、2122) 1(12) 1)(2()(skskskssssf4) 1)(2()2(2221sssssk1) 1)(2() 1(12223sssssk为重根最高次系数为单根系数31,kk如何求如何求k2 ?k2的求法的求法0)2() 1()2)(1(222211ksskkss22222)2(4)2()2(22ddssssssssss3 2k所以2) 1( s对原式两边乘以两边再求导若求只能求出时令, 1,123kks3212) 1(2) 1(ddkksskss右边)() 1(dd2sfss左边2, 1ks右此时令3)2(4122ssss左边32122) 1(2) 1(2ksksksss逆变换2)

10、1(11324)( ssssf)()ee3e4()()( 21ttsfltfttt所以一般情况一般情况1!)(nnsnttl111211111)()()()(kkkpskpskpssf1121)1(1)(pskpskkk求求k11，方法同第一种情况，方法同第一种情况：求其他系数，要用下式求其他系数，要用下式 11)()()(1111pskpssfpssfkkisfsikpsiii, 3 , 2 , 1 )(dd)!1(1111111)(dd , 2112pssfski 当当1)(dd21 , 312213pssfski 当当)(e!1)(11111ttnpsltpnn举例举例3) 1(2)(s

11、sssfsksksksksf213212311) 1() 1() 1()(3|2| )() 1(11311sssssfsk2|)2(|)() 1(dd121312ssssssfssk2|421|)() 1(dd2114132213sssssfssk2|) 1(2| )(0302ssssssfk)()2e2e2e23()(2ttttftttsssssf2) 1(2) 1(2) 1(3)(235.4 复频域分析复频域分析一、微分方程的变换解一、微分方程的变换解 描述描述n阶系统的微分方程的一般形式为阶系统的微分方程的一般形式为 nimjjjiitfbtya00)()()()(系统的初始状态为系统的

12、初始状态为y(0-) ,y(1)(0-),，y(n-1) (0-)。思路思路：用拉普拉斯变换微分特性：用拉普拉斯变换微分特性)0()()()(101)(pippiiiyssysty若若f (t)在在t = 0时接入系统，则时接入系统，则 f (j)(t) s j f(s)niniipmjjjppiiiisfsbysasysa00100)(1)()0()()()()()()()()()(sysysfsasbsasmsyzsziy(t)， yzi(t)， yzs(t)s域的代数域的代数方程方程举例举例例例1 描述某描述某lti系统的微分方程为系统的微分方程为 y(t) + 5y(t) + 6y(t

13、) = 2f (t)+ 6 f (t)已知初始状态已知初始状态y(0-) = 1，y(0-)= -1，激励，激励f (t) = 5cost (t)，求系统的全响应求系统的全响应y(t)解：解： 方程取拉氏变换，并整理得方程取拉氏变换，并整理得)(65) 3(265)0(5)0( )0()(22sfsssssyysysy15)(2sssfyzi(s)yzs(s)1522)3)(2(4)()()(2sssssssysysyzszijsjsssssyjj6 .266 .26e5e5243122)(y(t)= 2e2t (t) e3t (t) - - 4e2t (t) + )()6 .26cos(52

14、ttyzi(t)yzs (t)暂态分量暂态分量yt (t)稳态分量稳态分量ys (t)若已知若已知y(0+)=1，y(0+)= 9)()()()(sfsasbsyzs二、系统函数二、系统函数系统函数系统函数h(s)定义为定义为 )()()()()(defsasbsfsyshzs它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始状态无关。状态无关。yzs(t)= h(t)*f (t)h(s)= l h(t)yzs(s)= l h(t)f(s)例例2 已知当输入已知当输入f (t)= e-t (t)时，某时，某lti因果系统的因果系统的零状态响应零状态响应

15、 yzs(t) = (3e-t - -4e-2t + e-3t) (t)求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。 解解65823224) 3)(2()4(2)()()(2sssssssssfsyshzsh(t)= (4e-2t - -2e-3t) (t)微分方程为微分方程为 y(t)+5y(t)+6y(t) = 2f (t)+ 8f (t) s2yzs(s) + 5syzs(s) + 6yzs(s) = 2sf(s)+ 8f(s) 取逆变换取逆变换 yzs(t)+5yzs(t)+6yzs(t) = 2f (t)+ 8f (t) 三、系统的三、系统的s

16、域框图域框图时域框图基本单元时域框图基本单元f(t)tftyd)()(af(t)y(t) = a f (t)s域框图基本单元域框图基本单元(零状态零状态)s1f(s)y(s) = s1f(s)af(s)y(s) = a f(s)f1(t)f2(t)y(t) = f1(t)+ f2(t)+f1(s)y(s) = f1(s)+f2(s)f2(s)+例例3 如图框图，列出其微分方程如图框图，列出其微分方程4132f (t)y(t)x(s)s-1x(s)s-2x(s)解解 画出画出s域框图域框图,s-1s-1f(s)y(s)设左边加法器输出为设左边加法器输出为x(s)，如图，如图x(s) = f(s)

17、 3s-1x(s) 2s-2x(s) s域的代数方程域的代数方程y(s) = x(s) + 4s-2x(s) )(2311)(21sfsssx)(23141212sfsss)(23422sfsss微分方程为微分方程为 y(t) + 3y(t) + 2y(t) = f (t)+ 4f (t) 再求再求h(t)?四、用拉氏变换法分析电路的步骤四、用拉氏变换法分析电路的步骤:列列s域方程（可从两方面入手）域方程（可从两方面入手）求解求解s域方程域方程。)()(tfsf，得到时域解答得到时域解答。l 列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换；列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换；l 直接按电路的直接按

18、电路的s域模型建立代数方程。域模型建立代数方程。什么是电路的什么是电路的s s域模型？域模型？五、电路的五、电路的s域模型域模型对时域电路取拉氏变换对时域电路取拉氏变换 1、电阻元件的、电阻元件的s域模型域模型i(t)u(t)ri(s)u(s)ru(s)= r i(s)u(t)= r i(t)电阻元件的s域模型2、电感元件的、电感元件的s域模型域模型ttiltuld)(d)(u(s)= slil(s) lil(0-) sisuslsill)0()(1)(lu(t)il(t)电感元件的电感元件的s域模型域模型u(s)slil(s)lil(0 -)il(s)slil(0 -)/su(s)或3、电容

19、元件的、电容元件的s域模型域模型ttucticd)(d)(i(s)=scuc(s) cuc(0-) susiscsucc)0()(1)(i(s)uc(s)cuc(0 -)或sc1suc)0(sc1i(s)uc(s)ci(t)uc(t)电容元件的电容元件的s域模型域模型4、kcl、kvl方程方程 0)(ti 0)(tu 0)(si 0)(su求响应的步骤求响应的步骤画画0- -等效电路，求初始状态；等效电路，求初始状态；画画s域等效模型；域等效模型；列列s域方程（代数方程）；域方程（代数方程）；解解s域方程，求出响应的拉氏变换域方程，求出响应的拉氏变换u(s)或或i(s)；拉氏反变换求拉氏反变换

20、求u(t)或或i(t)。例1(1)v00a,00clui初始状态为(2)域等效模型的st0(3) 列方程列方程 susicssrislsis1解：解：如图电路，初始状态为如图电路，初始状态为0，t=0时开关时开关s闭合，求电流闭合，求电流i(t)。 susicssrislsis1 lcslrsluscrlssusiss1112：设极点21pp lcrlrlp12221 lcrlrlp12222 故故 211pspslusis 2121111pspspplus tptpsppluti21ee21例例2如图所示电路，已知如图所示电路，已知us(t) = (t) v，is(t) =(t)，起始，起始

21、状态状态uc(0-) =1v，il(0-) = 2a，求电压，求电压u(t)。 0.51f1hus(t)is(t)il(t)uc(t)u(t)1/s1/s0.5is(s)us(s)s2/su(s)解解 画出电路的画出电路的s域模型域模型us(s)=1/s， is(s)=11)(2)()(12ssusssisussss22) 1(311122)(ssssssuu(t) = et (t) 3tet (t) v 若求若求uzi(t)和和uzs(t)第六章第六章 离散系统的离散系统的z z域分析域分析 在连续系统中，为了避开解微分方程的困难，可在连续系统中，为了避开解微分方程的困难，可以通过拉氏变换把

22、微分方程转换为代数方程。出于同以通过拉氏变换把微分方程转换为代数方程。出于同样的动机，也可以通过一种称为样的动机，也可以通过一种称为z变换的数学工具，把变换的数学工具，把差分方程转换为代数方程。差分方程转换为代数方程。 6.1 6.1 z z 变换变换 从拉普拉斯变换到从拉普拉斯变换到z z变换变换 z z变换定义变换定义 收敛域收敛域一、从拉普拉斯变换到一、从拉普拉斯变换到z变换变换对连续信号进行均匀冲激取样后，就得到离散信号对连续信号进行均匀冲激取样后，就得到离散信号: ktskttktfttftf)()()()()(取样信号取样信号两边取双边拉普拉斯变换，得两边取双边拉普拉斯变换，得 k

23、ktssbktfsfe)()(令令z = est，上式将成为复变量，上式将成为复变量z的函数，用的函数，用f(z)表示；表示；f(kt) f(k) ，得，得二、二、z变换定义变换定义kkzkfzf)()(称为序列称为序列f(k)的的双边双边z变换变换0)()(kkzkfzf称为序列称为序列f( (k) )的的单单边边z z变换变换若若f(k)为为因果序列因果序列，则单边、双边，则单边、双边z 变换相等，否则不变换相等，否则不等。今后在不致混淆的情况下，统称它们为等。今后在不致混淆的情况下，统称它们为z变换变换。 f(z) = zf(k) , f(k)= z-1f(z) ；f(k)f(z)三、收

24、敛域三、收敛域 z变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级数收敛，即数收敛，即kkzkf)(时，其时，其z变换才存在。上式称为变换才存在。上式称为绝对可和条件绝对可和条件，它是，它是序列序列f(k)的的z变换存在的变换存在的充分必要条件充分必要条件。 收敛域的定义收敛域的定义： 对于序列对于序列f(k)，满足，满足 kkzkf)(所有所有z值组成的集合称为值组成的集合称为z变换变换f(z)的收敛域的收敛域。 例例1求以下有限序列的求以下有限序列的z变换变换(1) f1(k)= (k) k=0 (2) f2(k)=1 , 2 , 3 , 2,1解（

25、解（1） 1)()()(1kkkkzkzf 可见，其单边、双边可见，其单边、双边z变换相等。与变换相等。与z 无关，无关，所以其收敛域为所以其收敛域为整个整个z 平面平面。 (2) f2(k)的双边的双边z 变换为变换为 f2(z) = z2 + 2z + 3 + 2z-1 + z-2 收敛域收敛域为为0 z 0 对有限序列的对有限序列的z变换的收敛域一般为变换的收敛域一般为0 z ，有时，有时它在它在0或或/和和也收敛。也收敛。 例例2 求求因果序列因果序列解：根据定义解：根据定义 0,0, 0)()(kakkakfkky的的z z变换变换1110101)(1lim)(lim)(azazaz

26、zazfnnnkknkkky可见，仅当可见，仅当 az-1 a 时，其时，其z变换存在。变换存在。 azzzfy)(rezjimz|a|o收敛域收敛域为为|z|z|a|例例3 求求反因果序列反因果序列 解解 ) 1(0, 00,)(kbkkbkfkkf的的z z变换变换zbzbzbzbbzzfnnmmkkf111111111)(lim)()()(可见，可见， b-1z 1,即即 z b 时，其时，其z变换存在，变换存在， bzzzff)(收敛域收敛域为为|z|z| |b|b|rezjimzo例例4 双边序列双边序列f(k)=fy(k)+ff(k)=解解 0,0,kakbkk的的z z变换变换b

27、zzazzzfzfzffy)()()(可见，其收敛域为可见，其收敛域为 a z b （显然要求（显然要求 a 2 f2(k)= 2k ( k 1)f2(z)=2zz, z 0 (k)1zz， z 1， z 1 ( k 1)6.2 z z变换的性质变换的性质 线性性质线性性质 移位特性移位特性 z z域尺度变换域尺度变换 卷积定理卷积定理 z z域微分域微分 z z域积分域积分 k k域反转域反转 部分和部分和 初值定理初值定理 终值定理终值定理 本节讨论本节讨论z变换的性质，若无特殊说明，它既适变换的性质，若无特殊说明，它既适用于单边也适用于双边用于单边也适用于双边z变换。变换。 一、线性性质

28、一、线性性质若若 f1(k)f1(z) 1 z 1, f2(k) f2(z) 2 z 12 +二、移位特性二、移位特性单边、双边差别大！单边、双边差别大！双边双边z变换的移位：变换的移位： 若若 f(k) f(z) , z 0，则，则 f(k m) z mf(z), z ，且有整数，且有整数m0, 则则f(k-1) z-1f(z) + f(-1)f(k-2) z-2f(z) + f(-2) + f(-1)z-1 10)()()(mkkmzmkfzfzmkf前向移位f(k+1) zf(z) f(0)zf(k+2) z2f(z) f(0)z2 f(1)z 10)()()(mkkmmzkfzfzmk

29、f证明：证明：zf(k m)= mmkmkmkkkkzzmkfzmkfzmkf10)(0)()()(上式第二项令上式第二项令k m=n)()()()(10100zfzzmkfzznfzmkfmmkkmmknnk特例特例：若若f(k)为因果序列，则为因果序列，则f(k m) z-mf(z)例例1：求周期为求周期为n的有始周期性单位序列的有始周期性单位序列 0)(mmnk 的的z变换。变换。 111)(00nnnmmnmzzzzmnk解解 z 1例例2：求求f(k)= k(k)的单边的单边z变换变换f(z). 解解f(k+1)= (k+1)(k+1) = (k+1)(k) = f(k) + (k)

30、 zf(z) zf(0) = f(z) + 1zzf(z)=2) 1( zz三、序列乘三、序列乘ak(z域尺度变换域尺度变换) 若若 f(k) f(z) , z ， 且有常数且有常数a 0 则则 akf(k) f(z/a) , a z a 证明：证明：zakf(k)= )()()(azfazkfzkfakkkkk例例1：ak(k) azz例例2：cos( k)(k) ? cos( k)(k)=0.5(ej k+ e-j k)(k) jje5 . 0e5 . 0zzzz四、卷积定理四、卷积定理 若若 f1(k) f1(z) 1 z 1, f2(k) f2(z) 2 z 2 则则 f1(k)*f2(k) f1(z)f2(z) 对单边z变换，要求f1(k)、 f2(k)为因果序列其收敛域一般为其收敛域一般为f1(z)与与f2(z)收敛域的相交部分。收敛域的相交部分。 例：例：求求f(k)= k(k)的的z变换变换f(z). 解：解： f(k)= k(k)= (k)* (k-1)21) 1(11zzzzzzz五、序列乘五、序列乘k（z域微分）域微分） 若若 f(k) f(z) , z 则则 )(dd)(zfzzkkf, z 例：例：求求f(k)= k