高考调研复习新课标数学理题组训练第八章立体几何题组44 Word版含解析

1、高考数学精品复习资料 2019.5题组层级快练(四十四)1若平面的一个法向量为(1，2，0)，平面的一个法向量为(2，1，0)，则平面和平面的位置关系是()a平行b相交但不垂直c垂直 d重合答案c解析由(1，2，0)·(2，1，0)1×22×(1)0×00，知两平面的法向量互相垂直，所以两平面互相垂直2已知平面内有一个点m(1，1，2)，平面的一个法向量是n(6，3，6)，则下列点p在平面内的是()ap(2，3，3) bp(2，0，1)cp(4，4，0) dp(3，3，4)答案a解析n(6，3，6)是平面的法向量，n，在选项a中，(1，4，1)，n

2、83;0.3若平面，的法向量分别为n1(2，3，5)，n2(3，1，4)，则()a bc，相交但不垂直 d以上均不正确答案c4已知点a(2，5，1)，b(2，2，4)，c(1，4，1)，则向量与的夹角为()a30° b45°c60° d90°答案c解析由已知得(0，3，3)，(1，1，0)，cos，.向量与的夹角为60°.5已知a(1，0，0)，b(0，1，0)，c(0，0，1)，则平面abc的一个单位法向量是()a(，) b(，)c(，) d(，)答案d解析(1，1，0)，(1，0，1)，设平面abc的一个法向量n(x，y，z)，令x1，则y

3、1，z1，n(1，1，1)单位法向量为±±(，)6已知(1，5，2)，(3，1，z)，(x1，y，3)若，且平面abc，则()a(，3) b(，.3)c(，3) d(，3)答案d解析.·0，即1×35×12×z0，解得z4.又平面abc，有即解得(，3)故选d.7.如图所示，在正方体abcdabcd中，棱长为1，e，f分别是bc，cd上的点，且becfa(0<a<1)，则de与bf的位置关系是()a平行 b垂直c相交 d与a值有关答案b解析方法一：如下图甲所示，连接ab，ab，af，de易知ab是de在平面abba上的射影

4、abab，deab.又由becf，知ecfd，而adcd，rtdcertadf.edcfad.而edceda90°，fadeda90°，从而afde.又易知de是de在底面abcd上的射影，deaf.综上，知de平面abf，从而debf.方法二：建立如图乙所示空间直角坐标系则d(0，0，1)，e(1a，1，0)，b(1，1，1)，f(0，1a，0)，(1a，1，1)，(1，a，1)·(1a)×(1)1×(a)(1)×(1)a1a10.，即debf.8设平面与向量a(1，2，4)垂直，平面与向量b(2，3，1)垂直，则平面与位置关系是_

5、答案垂直解析由已知a，b分别是平面，的法向量a·b2640，ab，.9下列命题中，所有正确命题的序号为_若n1，n2分别是平面，的法向量，则n1n2；若n1，n2分别是平面，的法向量，则n1·n20；若n是平面的法向量，a，则n·a0；若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直答案10.如图所示，在底面是矩形的四棱锥pabcd中，pa底面abcd，e，f分别是pc，pd的中点，paab1，bc2.(1)求证：ef平面pab；(2)求证：平面pad平面pdc.答案(1)略(2)略思路建立空间直角坐标系后，使用向量的共线定理证明即可证明第(1)问，第(2)问根据

6、向量的垂直关系证明线线垂直，进而证明线面垂直，得出面面垂直证明以a为原点，ab，ad，ap所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如下图所示，则a(0，0，0)，b(1，0，0)，c(1，2，0)，d(0，2，0)，p(0，0，1)，所以e为(，1，)，f为(0，1，)(，0，0)，(1，0，1)，(0，2，1)，(0，0，1)，(0，2，0)，(1，0，0)，(1，0，0)(1)因为，所以，即efab.又ab平面pab，ef平面pab，所以ef平面pab.(2)因为·(0，0，1)·(1，0，0)0，·(0，2，0)·(1，0，0)0，所以，

7、即apdc，addc.又apada，ap平面pad，ad平面pad，所以dc平面pad.因为dc平面pdc，所以平面pad平面pdc.11.如图所示，已知正方形abcd和矩形acef所在的平面互相垂直，ab，af1，m是线段ef的中点(1)求证：am平面bde；(2)求证：am平面bdf.答案(1)略(2)略证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设acbdn，连接ne.则点n，e的坐标分别为(，0)，(0，0，1)(，1)又点a，m的坐标分别是(，0)，(，1)，(，1)且ne与am不共线neam.又ne平面bde，am平面bde，am平面bde.(2)同(1)，(，1)，d(，0，0)，f

8、(，1)，(0，1)·0.同理.又dfbff，am平面bdf.12.如图所示，正三棱柱abca1b1c1的所有棱长都为2，d为cc1的中点求证：ab1平面a1bd.答案略证明方法一：设平面a1bd内的任意一条直线m的方向向量为m.由共面向量定理，则存在实数，使m.令a，b，c，显然它们不共面，并且|a|b|c|2，a·ba·c0，b·c2，以它们为空间的一组基底，则ac，ab，ac，m()abc，·m(ac)·()abc4()240.故m，结论得证方法二：基向量的取法同上·(ac)·(ac)|a|2|c|20，&#

9、183;(ac)·(ab)|a|2a·ba·cb·c0，即ab1ba1，ab1bd，由直线和平面垂直的判定定理，知ab1平面a1bd.方法三：取bc的中点o，连接ao.abc为正三角形，aobc.在正三棱柱abca1b1c1中，平面abc平面bcc1b1，ao平面bcc1b1.取b1c1的中点o1，以o为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示，则b(1，0，0)，d(1，1，0)，a1(0，2，)，a(0，0，)，b1(1，2，0)设平面a1bd的法向量为n(x，y，z)，(1，2，)，(2，1，0)则n，n，故令x1，则y

10、2，z.故n(1，2，)为平面a1bd的一个法向量，而(1，2，)，n，即n，ab1平面a1bd.13. (20xx·海淀区模拟)如图所示，abcd是边长为3的正方形，de平面abcd，afde，de3af，be与平面abcd所成角为60°.(1)求证：ac平面bde；(2)设点m是线段bd上一个动点，试确定m的位置，使得am平面bef，并证明你的结论答案(1)略(2)bmbd时，am平面bef.解析(1)因为de平面abcd，所以deac.因为abcd是正方形，所以acbd.从而ac平面bde.(2)因为da，dc，de两两垂直，所以建立空间直角坐标系dxyz如图所示因为

11、be与平面abcd所成角为60°，即dbe60°，所以.因为正方形abcd的边长为3，所以bd3，所以de3，af.则a(3，0，0)，f(3，0，)，e(0，0，3)，b(3，3，0)，c(0，3，0)所以(0，3，)，(3，0，2)设平面bef的法向量为n(x，y，z)，则即，令z，则n(4，2，)点m是线段bd上一个动点，设m(t，t，0)则(t3，t，0)因为am平面bef，所以·n0.即4(t3)2t0，解得t2.此时，点m为(2，2，0)，bmbd，符合题意14(20xx·山东师大附中月考)如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的侧视图

12、、俯视图，在直观图中，m是bd的中点，aecd，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示(1)求证：em平面abc；(2)求出该几何体的体积；(3)试问在边cd上是否存在点n，使mn平面bde？若存在，确定点n的位置；若不存在，请说明理由答案(1)略(2)4(3)存在，当dndc时，nm平面bde解析(1)证明：m为db的中点，取bc中点g，连接mg，ag，mgdc，且mgdc.mgae且mgae，四边形agme为平行四边形，emag.又ag平面abc，em平面abc，em平面abc.(2)由题意知，ea平面abc，dc平面abc，aedc，ae2，dc4，abac，且abac2.ea平面abc，eaab.又abac，aeaca，ab平面acde，四棱锥bacde的高hab2，梯形acde的面积s6，vbacde·sh4，即所求几何体的体积为4.