最新新课标高三数学一轮复习 第8篇 第3节 椭圆课时训练 理

1、 【导与练】（新课标）20xx届高三数学一轮复习 第8篇 第3节 椭圆课时训练 理【选题明细表】知识点、方法题号椭圆的定义与标准方程1、2、3、4、7、8、11、13椭圆的几何性质5、6、12、14、15、17直线与椭圆的位置关系9、10、12、16基础过关一、选择题1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于(d)(a)13(b)33(c)12(d)32解析:由题意得ba=12,e=ca=1-(12) 2=32.2.已知椭圆的焦点为f1(-1,0)和f2(1,0),p是椭圆上的一点,且|f1f2|是|pf1| 与|pf2|的等差中项,则该椭圆的方程为(c)(a)x216+

2、y29=1(b)x216+y212=1(c)x24+y23=1(d)x23+y24=1解析:由题意知c=1,|f1f2|=|pf1|+|pf2|2,即a=2c=2,b2=a2-c2=3,故所求椭圆的标准方程为x24+y23=1.3.(20xx广东四校联考)已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离心率为(b)(a)13(b)33(c)22(d)12解析:由题意得椭圆的标准方程为x2m2+y2m3=1,a2=m2,b2=m3,c2=a2-b2=m6,e2=c2a2=13,e=33.4.p是椭圆x25+y24=1上的一点,f1和f2是焦点,若f1pf2=30°,则f

3、1pf2的面积等于(b)(a)1633 (b)4(2-3)(c)16(2+3)(d)16解析:由题意知c=1;|pf1|+|pf2|=25,|f1f2|=2,在f1pf2中有:|pf1|2+|pf2|2-2|pf1|·|pf2|cos 30°=|f1f2|2,(|pf1|+|pf2|)2-(2+3)|pf1|·|pf2|=4,|pf1|·|pf2|=16(2-3),f1pf2的面积等于12|pf1|·|pf2|sin 30°=4(2-3).5.(20xx杭州市第一次统测)若p是以f1、f2为焦点的椭圆x2a2+y2b2=1(a>

4、b>0)上的一点,且pf1·pf2=0,tan pf1f2=12,则此椭圆的离心率为(a)(a)53(b)23(c)13(d)12解析:pf1·pf2=0,pf1pf2,在rtpf1f2中,设|pf2|=1,则|pf1|=2,|f1f2|=5,2a=|pf1|+|pf2|=3,2c=5,故此椭圆的离心率e=2c2a=53.6.设f1、f2为椭圆的两个焦点,以f2为圆心作圆f2,已知圆f2经过椭圆的中心,且与椭圆的一个交点为m,若直线mf1恰与圆f2相切,则该椭圆的离心率e为(a)(a)3-1(b)2-3(c)22(d)32解析:易知圆f2的半径为c,由题意知rtmf1

5、f2中|mf2|=c,|mf1|=2a-c,|f1f2|=2c且mf1mf2,所以(2a-c)2+c2=4c2,(ca)2+2(ca)-2=0,ca=3-1.即e=3-1.故选a.7.(20xx四川广安一模)若点o和点f分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点,点p为椭圆上的任意一点,则op·fp的最大值为(c)(a)2(b)3(c)6(d)8解析:由椭圆x24+y23=1可得点f(-1,0),点o(0,0),设p(x,y),-2x2,则op·fp=(x,y)·(x+1,y)=x2+x+y2=x2+x+3(1-x24)=14x2+x+3=14(x+2)2+2,当

6、且仅当x=2时,op·fp取得最大值6.8.过点a(3,-2)且与椭圆x29+y24=1有相同焦点的椭圆的方程为(a)(a)x215+y210=1(b)x225+y220=1(c)x210+y215=1(d)x220+y215=1解析:由题意得c2=9-4=5,又已知椭圆的焦点在x轴上,故所求椭圆方程可设为x2+5+y2=1(>0),代入点a的坐标得9+5+4=1,解得=10或=-2(舍去).故所求椭圆的方程为x215+y210=1.故选a.二、填空题9.(20xx江西省师大附中、临川一中联考)已知直线x-2y+2=0过椭圆x2a2+y2b2=1(a>0,b>0,a

7、>b)的左焦点f1和一个顶点b,则该椭圆的离心率e=. 解析:由x-2y+2=0得y=12x+1,令y=0,得x=-2,f1(-2,0),令x=0,得y=1,b(0,1),c=2,b=1.a=b2+c2=5,e=ca=255.答案:25510.(20xx安徽安庆模拟)已知斜率为-12的直线l交椭圆c:x2a2+y2b2=1(a>b>0)于a、b两点,若点p(2,1)是ab的中点,则c的离心率等于. 解析:设a(x1,y1),b(x2,y2),x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,两式相减得(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(

8、y1-y2)b2=0,又因为ab的中点是(2,1),4(x1-x2)a2+2(y1-y2)b2=0,kab=y1-y2x1-x2=-2b2a2=-12,b2a2=14,e=1-b2a2=32.答案:3211.(20xx高考上海卷)设ab是椭圆的长轴,点c在上,且cba=4.若ab=4,bc=2,则的两个焦点之间的距离为. 解析:如图所示,以ab的中点o为坐标原点,建立如图所示的坐标系.设d在ab上,且cdab,ab=4,bc=2,cba=4cd=1,db=1,c(1,1).2a=4,a=2,把c(1,1)代入椭圆的标准方程得1a2+1b2=1,1b2=1-1a2=34,b2=43,c

9、2=83c=263,2c=436.答案:436三、解答题12.(20xx高考新课标全国卷)设f1,f2分别是椭圆c:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,m是c上一点且mf2与x轴垂直,直线mf1与c的另一个交点为n.(1)若直线mn的斜率为34,求c的离心率;(2)若直线mn在y轴上的截距为2,且|mn|=5|f1n|,求a,b.解:(1)根据c=a2-b2及题设知m(c,b2a),2b2=3ac.将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得ca=12,ca=-2(舍去).故c的离心率为12.(2)由题意知,原点o为f1f2的中点,mf2y轴,所以直线mf1与y轴的交点

10、d(0,2)是线段mf1的中点,故b2a=4,即b2=4a.由|mn|=5|f1n|得|df1|=2|f1n|.设n(x1,y1),由题意知y1<0,则2(-c-x1)=c,-2y1=2,即x1=-32c,y1=-1.代入c的方程,得9c24a2+1b2=1.将及c=a2-b2代入得9(a2-4a)4a2+14a=1,解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=27.13.已知椭圆x2+y2b2=1(0<b<1)的左焦点为f,左、右顶点分别为a、c,上顶点为b,过f、b、c三点作圆p,其中圆心p的坐标为(m,n).(1)若fc是圆p的直径,求椭圆的离心率;(2)若圆p的圆心在

11、直线x+y=0上,求椭圆的方程.解:(1)由椭圆的方程知a=1,点b(0,b),c(1,0).设f的坐标为(-c,0)(c>0),fc是圆p的直径,fbbc,kbc=-b,kbf=bc,-b·bc=-1,b2=c=1-c2,c2+c-1=0,解得c=5-12,椭圆的离心率e=ca=5-12.(2)圆p过f、b、c三点,圆心p既在fc的垂直平分线上,也在bc的垂直平分线上,fc的垂直平分线方程为x=1-c2,bc的中点为12,b2,kbc=-b,bc的垂直平分线方程为y-b2=1bx-12,由得x=1-c2,y=b2-c2b,即m=1-c2,n=b2-c2b.p(m,n)在直线x

12、+y=0上,1-c2+b2-c2b=0(1+b)(b-c)=0.1+b>0,b=c.由b2=1-c2得b2=12,椭圆的方程为x2+y212=1.能力提升14.(20xx北京市海淀区期末)椭圆c:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为f1,f2,若椭圆c上恰好有6个不同的点p,使得f1f2p为等腰三角形,则椭圆c的离心率的取值范围是(d)(a)(13,23)(b)(12,1)(c)(23,1)(d)(13,12)(12,1)解析:当点p位于椭圆的两个短轴端点时,f1f2p为等腰三角形,此时有2个.若点p不在短轴的端点时,要使f1f2p为等腰三角形,则有pf1=f

13、1f2=2c或 pf2=f1f2=2c.不妨设pf1=f1f2=2c.此时pf2=2a-2c.所以有pf1+f1f2>pf2,即2c+2c>2a-2c,所以3c>a,即ca>13,又当点p不在短轴上,所以pf1bf1,即2ca,所以ca12.所以椭圆的离心率满足13<e<1且e12,所以选d.15.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),m、n是椭圆上关于原点对称的两点,p是椭圆上任意一点,且直线pm、pn的斜率分别为k1,k2,若|k1k2|=14,则椭圆的离心率e=. 解析:设p(x,y),m(x0,y0),n(-x0,-y0

14、),则k1=y-y0x-x0,k2=y+y0x+x0,由题意有|k1k2|=|y-y0x-x0·y+y0x+x0|=|y2-y02x2-x02|=14,p、m、n在椭圆上,x2a2+y2b2=1,x02a2+y02b2=1,两式相减得x2-x02a2+y2-y02b2=0,即y2-y02x2-x02=-b2a2,b2a2=14,即a2-c2a2=14,解得e=ca=32.答案:3216.(20xx高考安徽卷)已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为4,且过点p(2,3).(1)求椭圆c的方程;(2)设q(x0,y0)(x0y00)为椭圆c上一点,过点q作x

15、轴的垂线,垂足为e.取点a(0,22),连接ae,过点a作ae的垂线交x轴于点d.点g是点d关于y轴的对称点,作直线qg,问这样作出的直线qg是否与椭圆c一定有唯一的公共点?并说明理由.解:(1)因为椭圆过点p(2,3)2a2+3b2=1且a2=b2+c2 a2=8,b2=4,c2=4椭圆c的方程是x28+y24=1.(2)一定有唯一的公共点.理由:由题意知,点e坐标为(x0,0).设d(xd,0),则ae=(x0,-22),ad=(xd,-22).再由adae知,ae·ad=0,即xdx0+8=0.由于x0y00,故xd=-8x0.因为点g是点d关于y轴的对称点,所以点g(8x0,

16、0).故直线qg的斜率kqg=y0x0-8x0=x0y0x02-8.又因为点q(x0,y0)在椭圆c上,所以x02+2y02=8.从而kqg=-x02y0.故直线qg的方程为y=-x02y0(x-8x0).将代入椭圆c的方程,化简,得(x02+2y02)x2-16x0x+64-16y02=0.再将代入,化简得x2-2x0x+x02=0.解得x=x0,则y=y0,即直线qg与椭圆c一定有唯一的公共点.探究创新17.如图,b(-c,0),c(c,0),ahbc,垂足为h,且bh=3hc.又ad=-4db,且a、d同在b、c为焦点的椭圆上,求椭圆的离心率.解:设以b、c为焦点的椭圆为x2a2+y2b2=