高中数学随机变量及其分布解答题组卷

1、高中数学随机变量及其分布解答题组卷一解答题（共30小题）1（2006陕西）甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是，现3人各投篮1次，求：（）3人都投进的概率；（）3人中恰有2人投进的概率2（2006陕西）甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是，（）现3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率；（）用表示乙投篮3次的进球数，求随机变量的概率分布及数学期望E3（2007江苏）某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第2位）（1）5次预报中恰有2次准确的概率；（2）5次预报中至少有2次准确的概率；（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率4（2007重庆）设甲、乙两人每次射

2、击命中目标的概率分别为，且各次射击相互独立（）若甲、乙各射击一次，求甲命中但乙未命中目标的概率；（）若甲、乙各射击两次，求两人命中目标的次数相等的概率5（2008湖南）甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约设每人合格的概率都是，且面试是否合格互不影响求：（I）至少有一人面试合格的概率；（）没有人签约的概率6（2002天津）某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立），（1）求至少3人同时上网的概率；（2）至少几人同时上网的概率小于0.3？7（2005陕西）设甲、乙

3、、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，（）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；（）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率8（2015天津）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛（）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；（）设X为选出的4人中种子选手

4、的人数，求随机变量X的分布列和数学期望9（2015四川）某市A、B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队（）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；（）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望10（2015安徽）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束（）求第一次检测出的是次品且

5、第二次检测出的是正品的概率；（）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）11（2015湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望12（2015春咸宁校级期中）甲、乙、丙三

6、人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判（）求第4局甲当裁判的概率；（）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望13（2015重庆）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个（）求三种粽子各取到1个的概率；（）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望14（2014广西）设每个工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独

7、立（）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值15（2014梅州二模）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为 12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，表示经销一件该商品的利润（）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（）求的分布列及期望E16（2015山东）若n是一个三位正整数，且n的个位数

8、字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得1分，若能被10整除，得1分（）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX17（2014巴中模拟）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3设各车主购买保险相互独立（）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的

9、1种的概率；（）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数求X的期望18（2014四川）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同，随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c（）求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率；（）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率19（2015湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则

10、不中奖（）用球的标号列出所有可能的摸出结果；（）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由20（2008湖南）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响求：（）至少有1人面试合格的概率；（）签约人数的分布列和数学期望21（2014辽宁）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立（）求在未来连续3天里，有连

11、续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；（）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E（X）及方差D（X）22（2014田家庵区校级三模）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换每次发球，胜方得1分，负方得0分设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立甲、乙的一局比赛中，甲先发球（）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望23（2014湖南）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品

12、成功的概率分别为和现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立（）求至少有一种新产品研发成功的概率；（）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望24（2014广西）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立（）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望25（2013广东模拟）甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一发子弹根据以往资料知，甲击中8环，9环

13、，10环的概率分别为0.6，0.3，0.1，乙击中8环，9环，10环的概率分别为0.4，0.4，0.2设甲、乙的射击相互独立（）求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率；（）求在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率26（2013辽宁）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答（）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望27（2013福建）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲

14、、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x3的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？28（2013陕西）在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名观众

15、乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手（） 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（） X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望29（2013重庆）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；（2）

16、求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）30（2013天津）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4； 白色卡片3张，编号分别为2，3，4从盒子中任取4张卡片 （假设取到任何一张卡片的可能性相同）（）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率（）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望高中数学随机变量及其分布解答题组卷参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1（2006陕西）甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是，现3人各投篮1次，求：（）3人都投进的概率；（）3人中恰有2人投进的概率【分析】本题考查的知识点是相互独

17、立事件的概率乘法公式和加法公式，（）记“甲投进“为事件A1，“乙投进“为事件A2，“丙投进“为事件A3，则3人都投中的概率为P（A1A2A3）=P（A1）P（A2）P（A3）代入计算即可得到答案（）3人中恰有2人投进分为三种情况，即甲未投进，乙和丙均投进，乙未投进，甲和丙均投进，丙未投进，甲和乙均投进，故3人中恰有2人投进的概率P（B）=P（A2A3）+P（A1A3）+P（A1A2）=P（）P（A2）P（A3）+P（A1）P（）P（A3）+P（A1）P（A2）P（）代入计算即可得到答案【解答】解：（）记“甲投进“为事件A1，“乙投进“为事件A2，“丙投进“为事件A3，则P（A1）=，P（A2）

18、=，P（A3）=，P（A1A2A3）=P（A1）P（A2）P（A3）=××=3人都投进的概率为（）设“3人中恰有2人投进“为事件BP（B）=P（A2A3）+P（A1A3）+P（A1A2）=P（）P（A2）P（A3）+P（A1）P（）P（A3）+P（A1）P（A2）P（）=（1）××+×（1）×+××（1）=3人中恰有2人投进的概率为【点评】本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原

19、理进行求解2（2006陕西）甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是，（）现3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率；（）用表示乙投篮3次的进球数，求随机变量的概率分布及数学期望E【分析】（）分别记“甲、乙、丙投篮1次投进“为事件A1、A2、A3，“3人都没有投进“为事件A，由相互独立事件概率的乘法公式，计算可得答案；（2）根据题意，随机变量的可能值有0，1，2，3，进而由随机变量的概率分布与期望的计算方法，计算可得答案【解答】解：（）记“甲投篮1次投进“为事件A1，“乙投篮1次投进“为事件A2，“丙投篮1次投进“为事件A3，“3人都没有投进“为事件A则P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=，P（

20、A）=P=1P（A1）1P（A2）1P（A3）=（1）（1）（1）=3人都没有投进的概率为（）随机变量的可能值有0，1，2，3，B（3，），P（=k）=C3k（）k（）3k（k=0，1，2，3），E=np=3×=【点评】本题考查相互独立事件的概率的乘法公式与随机变量的概率分布及数学期望的计算，能力上考查学生的分析问题、解决问题的能力，是高考热点3（2007江苏）某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第2位）（1）5次预报中恰有2次准确的概率；（2）5次预报中至少有2次准确的概率；（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率【分析】（1）本题是一个独立

21、重复试验，事件发生的概率是0.8，有5次恰好发生2次，根据独立重复试验概率公式写出结果（2）本题是一个独立重复试验，事件发生的概率是0.8，5次预报中至少有2次准确的对立事件是5次预报中只有1次准确，根据对立事件的概率和独立重复试验的概率公式得到概率（3）本题是一个独立重复试验，事件发生的概率是0.8，5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确，表示除第三次外另外四次恰有一次正确，根据独立重复试验的概率公式得到概率【解答】解：（1）由题意知，本题是一个独立重复试验，事件发生的概率是0.8，5次预报中恰有2次准确的概率是（2）由题意知，本题是一个独立重复试验，事件发生的概率是0.8，5次预报中

22、至少有2次准确的对立事件是5次预报中只有1次准确和都不准确，根据对立事件的概率和独立重复试验的概率公式得到（3）由题意知，本题是一个独立重复试验，事件发生的概率是0.85次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确，根据独立重复试验的概率公式得到【点评】本题考查独立重复试验的概率，考查对立事件的概率，是一个综合题，题目中易错点是5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确，这里表示表示除第三次外另外四次恰有一次正确，不要出错4（2007重庆）设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为，且各次射击相互独立（）若甲、乙各射击一次，求甲命中但乙未命中目标的概率；（）若甲、乙各射击两次，求两人命中目标的次

23、数相等的概率【分析】本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式和加法公式，（）甲、乙各射击一次，甲命中但乙未命中目标，分为两步，由甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为，我们易得甲命中但乙未命中目标的概率，代入计算即可得到结果；（）甲、乙各射击两次，求两人命中目标的次数相等，包括三种情况，即均不中，均中一次，均中两次，则两人命中次数相等的概率为P（A0B0）+P（A1B1）+P（A2B2），代入计算即可得到答案【解答】解：（）设A表示甲命中目标，B表示乙命中目标，则A、B相互独立，且P（A）=，从而甲命中但乙未命中目标的概率为（）设A1表示甲在两次射击中恰好命中k次，B1表示乙有两次射击中恰

24、好命中l次依题意有由独立性知两人命中次数相等的概率为P（A0B0）+P（A1B1）+P（A2B2）=P（A0）P（B0）+P（A1）P（B1）+P（A2）+P（B2）=【点评】本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解5（2008湖南）甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约设每人合格的概率都是，且面试是否合格互不影响求：（I）至少有一人面试合格的概率

25、；（）没有人签约的概率【分析】（I）至少有一人面试合格的对立事件是三个人面试都不合格，根据每人合格的概率都是，且面试是否合格互不影响，做出三个人都不合格的概率，根据对立事件的概率得到结果（II）没有人签约包括三种情况，甲不合格，且乙和丙恰有一个不合格；甲不合格且乙和丙都不合格，这三种情况是互斥的，根据相互独立事件的概率和互斥事件的概率公式，得到结果【解答】解：用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格由题意知A，B，C相互独立，且P（A）=P（B）=P（C）=（）至少有1人面试合格的概率是（II）没有人签约的概率为=【点评】本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查互斥事件的概率，是一个基础题，

26、题目中对于乙和丙的叙述比较难理解，“乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约”，这里容易漏掉结果6（2002天津）某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立），（1）求至少3人同时上网的概率；（2）至少几人同时上网的概率小于0.3？【分析】（1）根据题意，由对立事件的概率分析可得，“至少3人同时上网”的概率等于1减去“至多2人同时上网”的概率，进而计算可得答案（2）由（1）的方法，从对立事件的角度分析，分别计算“至少4人同时上网”的概率与“至少5人同时上网”的概率，比较可得答案【解答】解：（1）根据题意，可得，“至少3人同时上网”与“至多2人同时上

27、网”互为对立事件，故“至少3人同时上网”的概率等于1减去“至多2人同时上网”的概率，即“至少3人同时上网”的概率为1C60（0.5）6C61（0.5）6C62（0.5）6=（2）至少4人同时上网的概率为C64（0.5）6+C65（0.5）6+C66（0.5）6=，至少5人同时上网的概率为（C65+C66）（0.5）6=，因此，至少5人同时上网的概率小于0.3【点评】本题考查对立事件的概率，首先要明确事件之间的关系，再利用概率的计算公式进行求解7（2005陕西）设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙

28、、丙都需要照顾的概率为0.125，（）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；（）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率【分析】（1）由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的问题，根据甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，列出方程，解方程得到结果（2）这个小时内至少有一台需要照顾的对立事件是这个小时内没有有一台需要照顾，即都不需要照顾，根据对立事件的概率公式，列出算式，得到结果【解答】解：（）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件A、B、C，则A、B、C相互独立，由题意得：P（AB）=P（A）P（B）=0

29、.05P（AC）=P（A）P（C）=0.1P（BC）=P（B）P（C）=0.125P（A）=0.2；P（B）=0.25；P（C）=0.5甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5（）A、B、C相互独立，相互独立，甲、乙、丙每台机器在这个小时内都不需要照顾的概率为这个小时内至少有一台需要照顾的概率为【点评】考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率8（2015天津）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员

30、组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛（）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；（）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望【分析】（）利用组合知识求出基本事件总数及事件A发生的个数，然后利用古典概型概率计算公式得答案；（）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，由古典概型概率计算公式求得概率，列出分布列，代入期望公式求期望【解答】解：（）由已知，有P（A）=，事件A发生的概率为；（）随机变量X的所有可能取值为1，2，3

31、，4P（X=k）=（k=1，2，3，4）随机变量X的分布列为： X 1 2 3 4 P随机变量X的数学期望E（X）=【点评】本题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，是中档题9（2015四川）某市A、B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队（）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；（）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X

32、表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望【分析】（）求出A中学至少有1名学生入选代表队的对立事件的概率，然后求解概率即可；（）求出X表示参赛的男生人数的可能值，求出概率，得到X的分布列，然后求解数学期望【解答】解：（）由题意，参加集训的男、女学生共有6人，参赛学生全从B中抽出（等价于A中没有学生入选代表队）的概率为：=，因此A中学至少有1名学生入选代表队的概率为：1=；（）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，X表示参赛的男生人数，则X的可能取值为：1，2，3，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=X的分布列： X 1 2 3 P和数学期望EX=1×=2【点评】

33、本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，考查古典概型概率的求法，考查分析问题解决问题的能力10（2015安徽）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束（）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）【分析】（）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，利用古典概型的概率求解即可（）X的可能取值为：200，300，400求出概率，

34、得到分布列，然后求解期望即可【解答】解：（）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P（A）=（）X的可能取值为：200，300，400P（X=200）=P（X=300）=P（X=400）=1P（X=200）P（X=300）=X的分布列为： X 200 300 400 PEX=200×+300×+400×=350【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力11（2015湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在

35、摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望【分析】（1）记事件A1=从甲箱中摸出一个球是红球，事件A2=从乙箱中摸出一个球是红球，事件B1=顾客抽奖1次获一等奖，事件A2=顾客抽奖1次获二等奖，事件C=顾客抽奖1次能获奖，利用A1，A2相互独立，互斥，B1，B2互斥，然后求出所求概率即可（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，判断XB求出概率，得到X的分布列，然后求解期望【解答】解：（1）记事件A1=从甲箱中摸出一个球是红

36、球，事件A2=从乙箱中摸出一个球是红球，事件B1=顾客抽奖1次获一等奖，事件B2=顾客抽奖1次获二等奖，事件C=顾客抽奖1次能获奖，由题意A1，A2相互独立，互斥，B1，B2互斥，且B1=A1A2，B2=+，C=B1+B2，因为P（A1）=，P（A2）=，所以，P（B1）=P（A1）P（A2）=，P（B2）=P（）+P（）=+=，故所求概率为：P（C）=P（B1+B2）=P（B1）+P（B2）=（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，由（1）可知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为：所以XB于是，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=故X的分布列为： X 0 1 2 3 P

37、E（X）=3×=【点评】期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响12（2015春咸宁校级期中）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判（）求第4局甲当裁判的概率；（）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望【分析】（I）令A1表示第2局结果为甲获胜，A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负，A表

38、示第4局甲当裁判，分析其可能情况，每局比赛的结果相互独立且互斥，利用独立事件、互斥事件的概率求解即可（II）X的所有可能值为0，1，2分别求出X取每一个值的概率，列出分布列后求出期望值即可【解答】解：（I）令A1表示第2局结果为甲获胜A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负A表示第4局甲当裁判则A=A1A2，P（A）=P（A1A2）=P（A1）P（A2）=；（）X的所有可能值为0，1，2令A3表示第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜B1表示第1局结果为乙获胜，B2表示第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜，B3表示第3局乙参加比赛时，结果为乙负，则P（X=0）=P（B1B2）=P（B1）P（B2）P（）=P（

39、X=2）=P（B3）=P（）P（B3）=P（X=1）=1P（X=0）P（X=2）=从而EX=0×+1×+2×=【点评】本题考查互斥、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知识，同时考查利用概率知识解决问题的能力13（2015重庆）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个（）求三种粽子各取到1个的概率；（）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望【分析】（）根据古典概型的概率公式进行计算即可；（）随机变量X的取值为：0，1，2，别求出对应的概率，即可求出分布列

40、和期望【解答】解：（）令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率公式有P（A）=（）随机变量X的取值为：0，1，2，则P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，X012PEX=0×+1×+2×=【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，求出对应的概率是解决本题的关键14（2014广西）设每个工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立（）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率

41、小于0.1，求k的最小值【分析】（）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加，即得所求（）由（）可得若k=2，不满足条件若k=3，求得“同一工作日需使用设备的人数大于3”的概率为0.060.1，满足条件，从而得出结论【解答】解：（）由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4+（10.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（10.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（10.5）×0.4+0.6×0.5

42、15;0.5×（10.4）=0.31（）由（）可得若k=2，则“同一工作日需使用设备的人数大于2”的概率为0.310.1，不满足条件若k=3，则“同一工作日需使用设备的人数大于3”的概率为 0.6×0.5×0.5×0.4=0.060.1，满足条件故k的最小值为3【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题15（2014梅州二模）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为 12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为25

43、0元；分4期或5期付款，其利润为300元，表示经销一件该商品的利润（）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（）求的分布列及期望E【分析】（）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，根据对立事件的概率公式得到结果（2）根据顾客采用的付款期数的分布列对应于的可能取值为200元，250元，300元得到变量对应的事件的概率，写出变量的分布列和期望【解答】解：（）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，设A表示事件“购买该商品的3位顾客中

44、至少有1位采用1期付款”知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，（）根据顾客采用的付款期数的分布列对应于的可能取值为200元，250元，300元得到变量对应的事件的概率P（=200）=P（=1）=0.4，P（=250）=P（=2）+P（=3）=0.2+0.2=0.4，P（=300）=1P（=200）P（=250）=10.40.4=0.2的分布列为 200250300P0.40.40.2E=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240（元）【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问

45、题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大16（2015山东）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得1分，若能被10整除，得1分（）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX【分析】（）根据“三位递增数”的定义，即可写出所有个位数字是5的“三位递增

46、数”；（）随机变量X的取值为：0，1，1分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望【解答】解：（）根据定义个位数字是5的“三位递增数”有：125，135，145，235，245，345；（）由题意知，全部“三位递增数”的个数为，随机变量X的取值为：0，1，1，当X=0时，可以选择除去5以外的剩下8个数字中选择3个进行组合，即；当X=1时，首先选择5，由于不能被10整除，因此不能选择数字2，4，6，8，可以从1，3，7，9中选择两个数字和5进行组合，即；当X=1时，有两种组合方式，第一种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择2个数字和5进行组合，即；第二种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中

47、选择1个数字，再从1，3，7，9中选择1个数字，最后把3个数字进行组合，即则P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=1）=，X011PEX=0×+（1）×+1×=【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，求出对应的概率是解决本题的关键17（2014巴中模拟）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3设各车主购买保险相互独立（）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数求X的期望【分析】（）首先求出购买乙种保险的概率，再由独立事

48、件和对立事件的概率求出该车主甲、乙两种保险都不购买的概率，然后求该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率即可（）每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率均相等，故为独立重复试验，X服从二项分布，由二项分布的知识求概率即可【解答】解：（）设该车主购买乙种保险的概率为P，则P（10.5）=0.3，故P=0.6，该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（10.5）（10.6）=0.2，由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率10.2=0.8（）甲、乙两种保险都不购买的概率为0.2，XB（100，0.2）所以EX=100×0.2=20【点评】本题考查对立事件独立事件的概率、独立重

49、复试验即二项分布的期望等知识，考查利用所学知识分析问题、解决问题的能力18（2014四川）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同，随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c（）求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率；（）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率【分析】（）所有的可能结果（a，b，c）共有3×3×3=27种，而满足a+b=c的（a，b，c有计3个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率（）所有的可能结果（a，b，c）共有3×3×3种，用列举法

50、求得满足“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的（a，b，c）共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的概率，再用1减去此概率，即得所求【解答】解：（）所有的可能结果（a，b，c）共有3×3×3=27种，而满足a+b=c的（a，b，c）有（1，1，2）、（1，2，3）、（2，1，3），共计3个，故“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为=（）满足“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的（a，b，c）有：（1，1，1）、（2，2，2）、（3，3，3），共计三个，故“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的概率为=，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全

51、相同”的概率为1=【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于中档题19（2015湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖（）用球的标号列出所有可能的摸出结果；（）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由【分析】（）中奖利用枚举法列出所有可能的摸出结果；（）在（）中求出摸出的2个球都是红球的结果数，然后利用古典概型概率计算公式求得概率，并说明

52、中奖的概率大于不中奖的概率是错误的【解答】解：（）所有可能的摸出的结果是：A1，a1 ，A1，a2 ，A1，b1 ，A1，b2 ，A2，a1 ，A2，a2 ，A2，b1 ，A2，b2 ，B，a1 ，B，a2 ，B，b1 ，B，b2；（）不正确理由如下：由（）知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为：A1，a1 ，A1，a2 ，A2，a1 ，A2，a2 ，共4种，中奖的概率为不中奖的概率为：1故这种说法不正确【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，训练了枚举法求基本事件个数，是基础题20（2008湖南）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表

53、示只要面试合格就签约乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响求：（）至少有1人面试合格的概率；（）签约人数的分布列和数学期望【分析】（）用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格由题意知A，B，C相互独立，且P（A）=P（B）=P（C）=，分析可得“至少有1人面试合格”与“三人面试全不合格”为对立事件，由对立事件的概率，计算可得答案；（）根据题意，易得 的可能取值为0，1，2，3，分别计算其概率可得分布列，由期望的计算公式，结合分布列计算可得的期望【解答】解：（）用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格由题意知A，B，C相互独立

54、，且P（A）=P（B）=P（C）=至少有1人面试合格的概率是（）的可能取值为0，1，2，3，=P（=2）=P（BC）=所以，的分布列是 01 2 3 Pfrac38frac38frac18frac18的期望=1【点评】本题考查对立事件、相互独立事件的概率计算与由分布列求期望的方法，关键是明确事件之间的关系，准确求得概率21（2014辽宁）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立（）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；（）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E（X）及方差D（X）【分析】（）由频率分布直方图求出事件A1，A2的概率，利用相互独立事件的概率公式求出事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”的概率；（）写出X可取得值，利用相互独立事件的概率公式求出X取每一个值的概率；列出分布列根据服从二项分布的随机变量的期望与方差公式求出期望E（X）及方差D（X）【解答】解：（）设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”B表示事件“在未来连续3天里，有