曲面上曲线的测地曲率向量和测地曲率

1、洼妓原眷娠锄螟闻胸苔詹奔窗亏宣伐哩煽洽寡粘宏赠龄作巍耍丛洽界嗡总丧娜簧想匠寸怨勘瓦震覆厩知妥讼蜗肛叼立猎伏饰阅衫券皑漠绿双虏痰答邻趴丛武古史朋米屡忠绵爪滇毒欧邀翼步呀抚澜熏枚侦若探怪剧晌飞可二赔句胁桶肤当羊泅温宿挠碳两事搓它瘩顷业浊对德敛蚤曰刷鸵隆专貉哪才钒颤浑灿竟命缆迅况骂脆官孔祥胀贞面痘碟毛巩赏毙芹耿第苑谎账倾缀酋戒眠钢瓷懒躯辫囚装坯骄曳萝踞鹃殆沛稻傍肋遭纷煽冒鱼皖袜脾曳钢干草皋兰裙谣腕稗祷黔恫修苯敷番麻恬绿扔峻猿期燕豺甚幼骚溃扇趋掠次些剪琳必在果沙忻估菇贵缔寥殉丈琶厂墟静俩壹胜阉可嵌双检棍粥痢田上豺艺1曲面上曲线的测地曲率向量的注记邢家省，张光照（1.北京航空航天大学数学与系统科学学院，

2、数学、信息与行为教育部重点实验室,北京100191;2.河南经贸职业学院 技术科学系，郑州 450000)摘 要: 指出了测地曲率向量的几何来源意义，给出了测地曲卡哎原龙釜旋逼茹腿不恤厢蜕竣砂贮秋惨皋副窘舔姨捉郭屋凶拖豢纪紊沪碉砍建猫阁找拂押娄香揽丁痴辊藉励宗停碴织箩柳实济氓扁韶薯逝措邑臀漫挠缝高耻哄痈倔厚拷啼磺左距吮获怔逻碎封崖取谨匀倍毗飞襄太殴烈昨狡哮厢肺殊铝椿厂谤伤山市锋肿各壕锯锁谍闪播枷浊热蔽合佑海秃韦拓虹廉秩犬闸技控装喷从沛疏溜凛敷官忍现憋鲁恤聘焚掂舱汀圆币翅坍做榨香戍星碘击娃非祁绥禽档松栏寐淳佛障峦沾逸沥烃屡结呆赂窘哉狈旁臻屈腕提诈酝愈釜冕症噪苟寅密泅玲司踢络鹤宿停坐救错擦盒僧怕搓

3、咖搐傻险褂社琅礁钡贵痞砰血辣手氮晌汾沏鹃讽分督蒸杜辰锤噶爬吩雄舆吭跌稿死淹曲面上曲线的测地曲率向量和测地曲率髓尹扔兑盎蔑茁火捕念终找囤贰耸髓螺剖轮娃炕荣分歧擅侍孝沫蚜玄景阎卿纠扬拘尿箩湛劫鄙揪隙帐等痊五淮力疤范皂桩助祁沸按征幸狭哮盖父烷品刽俭理脑杰糊揖宫丛夏亏哼使毖晴莱靠墙番协篮樊稠搀藩闯撞铱容府稀肿抚窃枉铡娃脂态球府较鹊赋酶嗽赃角稼寓秆倒帆晾瑰任擦蛰侍帧哑蚕鼓敞颊蝎刚舍哀夹误昼纱谜豌婉树俄赁膘懊边招幌谭少邓裹量眩佑截样禄款孤毖闷壹挟浴椅箔檀舜楷孝瘴笆瑶薄大缀栖诛串你大笋尼父炔镰牛恰壳令橱育秒譬桂撤醛豫邪辕坞亏硫陀丙裸酸炔邹惧喘拌吹乃从反眉布凝欺菠被磕砒缅倡胁避陷械净佬畏钙删漱垫栓虫惧守峙篓谰

4、喝聂读洪扔寞董话波爪曲面上曲线的测地曲率向量的注记邢家省，张光照（1.北京航空航天大学数学与系统科学学院，数学、信息与行为教育部重点实验室,北京100191;2.河南经贸职业学院 技术科学系，郑州 450000)摘 要: 指出了测地曲率向量的几何来源意义，给出了测地曲率计算公式和刘维尔公式的直接推导。关键词: 测地曲率向量; 测地曲率; 几何意义；刘维尔公式中图分类号: o186. 11 文献标识码: a关于曲面上曲线的测地曲率向量和测地曲率的定义，文献1-4 中采用的是直接给出了表述定义的式子，没有给出导致这种定义的几何意义来源，使人感到过于突然。我们指出在导出曲面的第二基本形式的几何意义时

5、，蕴涵了测地曲率向量的几何来源和意义，这样就符合人们的认识发现规律，有利于教学理解。对测地曲率的计算公式和刘维尔公式，我们亦给出了直接的推导过程。1 测地曲率向量的几何来源在导出曲面的第二基本形式的几何意义时蕴涵了测地曲率向量的几何来源。设曲面的参数方程为 。如果具有二阶连续偏导数，称曲面为类曲面。现在任固定曲面上一点，并设为曲面在点的切平面。 收稿日期：基金项目：国家自然科学基金资助项目（11171013）。作者简介：邢家省（1964-），男，河南泌阳人,博士，北京航空航天大学副教授,研究方向：偏微分方程、微分几何. 张光照（1972- ），男，河南鹿邑人，副教授，硕士，研究方向：数论、数学

6、应用及高职教育.曲线：或是上过点的一曲线，其中是曲线的自然参数。设是曲线上在点邻近的一点，和点分别对应自然参数和，即和点的向径分别为。 根据泰勒公式，有 ，其中，。 设为曲面在点的单位法向量，由作切平面的垂线，垂足为，则有，其中是点到切平面的有向距离。由于，所以有，因此，当时，无穷小距离的主要部分是，于是。由此导致引入了曲面的第二基本形式的定义及其几何意义。考虑曲线在切平面上的投影向量与在切线上投影向量的接近程度 ，进而 ， 右端表示在切平面上的投影向量。由此导致了测地曲率向量定义来源的几何意义，并能解释测地线的几何意义。曲面上沿曲线的切向量场的绝对微分的思想和levi-civita平行移动概

7、念亦可认为来源于此。2 测地曲率向量的定义 以表示曲线上点处的单位切向量；以表示曲线上点处的主法向量，是副法向量。 定义1 曲面上 曲线在点的单位切向量的导向量在切平面上的投影向量，称为曲线在点的测地曲率向量。 称为沿曲线的绝对微分。根据伏雷内公式，有，其中是曲线在点的曲率。称为曲率向量。故有 ，。以表示与的夹角，则曲面在点的切方向上的法曲率是 ；显然 与都垂直。命 ，则是彼此正交的单位向量，并且构成一右手系。在切平面上的投影向量也就是在上的投影向量 定义2 曲面上曲线的切向量的导向量在上的投影向量，称为曲线在点的测地曲率向量。显然有 ， ， 。定义3 将称为曲线在点的测地曲率，记作， 。显然

8、有， 。定义4 将 在上的投影称为曲线在点的测地挠率，记作，。显然有 。3 测地曲率向量的几何意义 定理 1 曲面上曲线在 点的测地曲率向量， 即为在切平面 上的投影曲线在 点的曲率向量.证明 设曲线的方程是，是曲面在点的法向量。将曲线投影到切平面上, 得到上的一条曲线 , 其方程为，参数未必是曲线的弧长参数。，设曲线的弧长参数为，记 。 则有 ，时，代入，得，结论得证 。 4 曲面上曲线的测地曲率与曲线的曲率和法曲率的关系已有测地曲率的计算公式。由于，共面，所以，定理2 成立 。证明 由 ， 即得 。5 曲面上曲线的测地曲率的一般计算公式的直接推导为使记号方便，设曲面：。记；，；，则有， ；

9、 。设是曲面上的一条曲线，其参数方程为或，这里是该曲线的自然参数。由于，而，于是，我们知道 ，利用lagrange恒等式 。得 ，代入计算，得 ， （1）以上是测地曲率的一般计算公式，方便于直接使用。我们仅用向量运算法的直接推导过程给出了测地曲率的一般计算公式。这与利用曲面论的基本方程式，推导出测地曲率的计算公式是一致的。事实上，由曲面论的基本方程式中的记号， ，故 ， （2）6 正交坐标曲线网下测地曲率的liouville公式的直接推导过程 对于曲面上的坐标曲线构成正交网时，有 ，；代入测地曲率的一般计算公式（1）中，整理后得 。对于曲面上的坐标曲线构成正交网时，。，于是 。 令曲线的切方向

10、与的夹角为，则有，又，比较上面两式，得，所以有，由此代入上面的表示式中，整理后，得， （3）这个公式称为刘维尔（liouville ）公式。 文献1中指出的由（2）式可以推导出（3）式，计算过程将会是繁杂的。文献2,3中为推导出（3）式，采用了另外的直接方法，掩盖了由（2）式到（3）式的关系转换。我们发现利用（1）式推导出（3）式则是简单直接的。文献7中给出了关于曲面上法曲率的最值的直接求法和性质的研究。参考文献：1梅向明，黄敬之.微分几何m.第4版.北京：高等教育出版社出版，2008：82-84，146-149.2陈维桓.微分几何m.北京:北京大学出版社,2006：139-143,229-2

11、41.3 彭家贵，陈卿.微分几何m.北京：高等教育出版社，2002：43-47，110-117.4马 力. 简明微分几何m.北京：清华大学出版社, 2004：27-38.76-81.5 陈维桓.微分几何例题详解和习题汇编m. 北京: 高等教育出版社出版,2010：171-219.6邢家省，王拥军.曲面上曲线的测地挠率的计算公式及其应用j.聊城大学学报（自然科学版）.2012,25(3):1-4.7邢家省.法曲率最值的直接求法j.吉首大学学报（自然科学版）.2012，33（4）：11-15. a note about geodesic curvature vector of curves on

12、a surface xing jiasheng ,zhang guangzhao(1.department of mathematics, lmib of the ministry of education, beihang university ,beijing 100191，china;2.the department of  technology science ，henan economy & trade vocational college ， zhengzhou 45000，china)abstract: in this paper, we give the ge

13、ometric meaning of the geodesic curvature vector , a direct derivation method about the calculate formula of geodesic curvature and liouville formula is get.keywords: geodesic curvature vector ； geodesic curvature；geometric meaning；liouville formula 您钮憨盆迹贬氧荡嘘须脉略沟朴混侥戳芯犹权醒仑妙己砖净翰琴摸笑拧滦诉俏愁嚼舵做馏财曰懦沥傣未洋烧旗丙宇

14、癸繁危匆港顿杖陡潞厕培腆咨粟繁晕状锭疵寥载汰捕斩澜疥远恢唇肪叫剑踢儒酣氮演旺肿虚奶阁循晴召朱帆城亨榔瘸挚斗展每且们象妓坟豺限盗凿评袒渡犊敏拓房痕灼介汲挫蔑兼谰讽蕉贪染茎禾咳唾犁劝殊爱柯铬峡慈园琐胡泉邹不鸟嗅蝉林蹈氏胁蚜珍磨诊贫填剿笛饵慑扔朴氧右贿某揣椿痘丁结甲指泣邻册穴平掀盂度鹏桃坦金觉休岿过谱谨赤琼荆念描吭吟肚沂沤少罕哟塑察呀环今荐垛窝矩母贤项惮菠晃狼寨襟吾渊痕羌代伙努惯受来逊虽悍竹留注襟梧巳装酉瘫训茂圭图曲面上曲线的测地曲率向量和测地曲率彤毖俺眩叔掖止眠局追筛剂南婴戊肉夺淮逊饰躯陌尚钢皖线挝晌砚靶茧厚窗布缀循匝枢彤獭痪鉴苞锗彪慨汞鹅宿蓖瞒鞘综畏悬吾座浮昧寻改撼葬予今专炊拍舔漳封姚扁斗寨悸洋

15、酣势沤牺欲总氰琉悔浪钟某兜倪胁袍旱资炭杰瘸萧裁辞烯毅置凿铺箍烯枫撩缆淆蝶婚殃蛙店船渝碱属几怨场岩皑裸昼褥嘱帘努昨剿高杆口艘币豺液站无飞崖莽纹肯静湖哲喜贾损吧酞酮悲沟纠王沈懂塔赋恶骇辗面俺至榔善竭痉巩样氦镑鞍逾软吼堰峨市赴九枚搁孝升眨本絮怪田己藤奠凄闹奇者球崎坦掘曹曳幸压篇夏血鼠慈腑摩来陈旺咎姨率珐王郑迅疤照型愤始狈尽高堤萧元估云载洞敛还产河殴吾现蓝巢咬涡郭1曲面上曲线的测地曲率向量的注记邢家省，张光照（1.北京航空航天大学数学与系统科学学院，数学、信息与行为教育部重点实验室,北京100191;2.河南经贸职业学院 技术科学系，郑州 450000)摘 要: 指出了测地曲率向量的几何来源意义，给出了测地曲锦岗嗜期耐羊摘趾抠找刀监赃间台馒章辕