高中数学运算能力的培养

1、理解“运算求解能力”促进高三数学复习一、引言高考制度不改革，不废除高考，数学就总是处在高考的风口浪尖上，高考数 学试题几乎离不开运算，早在 1998年任子朝先生在高考数学能力考查与题型 设计一书中就指出：“运算量的大小以40%的考生在120分钟内能完成全卷的 解答为标准”，而近几年江苏卷则连10 %的考生都达不到，正确求解填空题与解 答题的压轴题，则更是千里挑一、万里挑一，运算能力的培养成为高考成败的决 定性因素，因为运算失误导致高考失败，改变一生命运成为部分考生永远的痛， 今天我就高考数学复习中的运算求解能力培养抛砖引玉，谈一些认识和体会，敬 请各位批评指正，本讲座主要参考任子朝先生主编的高

2、考数学能力考查与题型 设计一书及川大附中周祝先老师的讲座对中学数学运算的认识，同时得到省扬高中陈惠荣、卞国文、陆昌荣等老师的指导帮助，在此一并感谢。二、当前运算能力培养的现状1 .初中课程改革弱化了运算能力要求。（十字相乘法等乘法公式、因式分解、代数恒等变形、韦达定理、比例、平 面几何删减）2 .计算器的广泛使用削弱了运算意识和技能。3 .高中数学教学突出了知识模块弱化了运算教学、淡化了运算训练意识，没 有补上初中去掉而高考又必考的一些运算内容，江苏省高中数学教学要求和教学 参考书也很少提及运算要求，如苏教版教学参考书（必修2）第2章平面解析几何初步提及本章教育目标 8,在知识和概念的形成过程

3、中，培养学生的合情推理 能力，数学交流能力，探索能力和逻辑思维能力，唯独不强调运算求解能力；而 在选修1-1、2-1圆锥曲线一章也同样只字不提运算求解能力，导致部分教师在 实际教学中重视知识教学和解题思想、方法，轻视运算过程，自己钻研解题不 够，对解题过程中的运算算理、算法不甚了解，无法有效、高效地指导学生。4 .学生不明算理、机械套用运算公式，不顾运算目标，进行盲目的推理演 算，运算过程中缺乏选择合理、简捷的运算途径的意识，运算过程繁琐，错误率 高，对运算求解能力的内涵缺乏科学认识，误以为是“马虎”、“粗心”造成运算错误，平时复习解题认为“只要方法对，做错了不要紧”。主要问题有：概念模糊不清

4、（新增内容尤甚）学生容易因概念模糊而运算失误。公式、性质记忆不准确.不会熟练进行顺向等价变形，逆向回代、。数据处理能力差（计算、排序、筛选、分类等）.数学语言不过关，导致阅读习惯差，阅读能力差 ，运算无从下手.代数恒等变形常规方法不熟练.识别、驾驭图表的能力差.算法意识差，算理不清，对运算问题缺乏检验、反思、总结的意识.审题不仔细、表达能力差、书写不规范。运算习惯差，急于求成，粗枝大叶，说一套做一套，心里想的和手上写的不一致.心理素质差，演绎了从“不喜欢”到“害怕”到“恐惧”的运算悲剧5 .高考对运算能力的考查力度不降反升，尽管有人坚持“多考想、少考算”，但 “如何想"，很难有操作性

5、的考查方法，况且江苏卷近几年的运算要求一直很高， 因为考查运算求解能力是提高区分度的重要手段，且考查运算比较容易操作。 三、理解运算求解能力数学能力是一种个性心理，它对数学活动的进程方式起着直接的、稳定的调 节作用，数学能力是数学素质在数学活动中的外化，高考考查的数学能力主要包 括空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等能力，其中运算求解 能力的考查要求是：能够根据法则、公式进行运算及变形；能够根据问题的条件 与目标寻找与设计合理简捷的运算途径；能够根据要求对数据进行估计和近似计 算。要正确理解运算求解能力，必须弄清以下几个问题：1 .高中阶段常见运算形式：数的四则运算（含复数运算）

6、代数式的运算（法则、运算律）哥、指、对数运算三角运算向量运算导数运算极限运算（非高考内容）方程与不等式运算（强调算法）概率运算（10）矩阵运算（11）抽象运算2 .运算的方法与技能要求：是否记住数学计算公式、法则，并能准确地运用公式和法则进行运算能否应用概念、性质、定理进行有关的运算能否在进行各种运算时，结果准确、速度迅速、过程合理能否进行各种查表和使用计算器计算（高考不要求）3 .运算的逻辑思维要求：是否合理使用公式、法则运算方法和过程是否简捷能否对自己的运算结果进行检查验算和判断能否自我改正运算中的各类错误能否简化运算过程，运用简缩思维进行“跳步”运算（填空题）能否较熟练地进行心算、速算、

7、估算 是否会进行推理计算4 .运算求解能力的五个要素:.运算的准确运算的准确是对运算能力的基本要求，在运算求解过程中使用的概念要准确 无误，使用的公式要准确无误，使用的法则要准确无误，运算的结果准确无误例1. 2009年江苏高考试题第13题。如图，在平面直角坐标系xOy中，A,A2,B1,B2为 22椭圆xy 4 1（a b 0）的四个顶点，F为其右焦 a b点，直线AB2与直线BiF相交于点T ,线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中 点，则该椭圆的离心率为 .解：由已知条件可得：直线AB2的方程为11a b直线BiF的方程为x X 1c b联立可得两直线交点中的坐标为：(空,区。)a c

8、a c2 2则线段OT的中点M的坐标为：(三,b0)，代入椭圆与 匕1可 a c 2(a c)a b得：4c2 (a c)2 4(a c)2 ,即得：e2 10e 3 0,解之得：e 5 2", e (0,1), /.e 2用 5.在本题中，运算的目标是求离心率，运算程序是先求直线AB2和BF的交点，再由中点公式得到 M点的坐标，代入椭圆方程得到关于 a,b,c的方程化归为 关于离心率e的方程从而求解出e的值.要求学生对运算过程中的每一步都必须准 确无误才能得到正确的结果，难度大，属于难题。.运算的熟练运算的熟练是对考生思维敏捷性的考查，运算速度的快慢与定理、公式、结 论掌握的熟练程

9、度直接相关，熟练掌握各种公式、定理以及常用的恒等变形，熟 练掌握一些常用的运算方法，记忆一些必要的补充公式和结论，对提高运算熟练 程度是有益的。例2. 1996年全国考试题：等差数列烝的前m项和为30,前2m项的和为100,则它的前3m项的和为法一：由已知条件列出关于4和d的方程组:ma12ma1mmqd 3022m(2m 1)-d2,解之得:100a1d10(m 2)2m40进而求得：瓯9 'd3m10(m 2) 3m(3m 1) 40210 .如果学生对数式的恒等变形比较熟练，则可用此法求出结果，但最一般的方法不一定是最优的方法法二：易知等差数列连续相等项的和所组成的数列仍然是等差

10、数列，则运算 量较小.设前m项的和为Si ,中间m项的和为S2,后m项和为S3. 则& Sm 30, S2 S2m Sm 70, S3 2s2 S|110,. 0 Si S2 S3 210.本法熟练运用等差数列的定义和性质，计算量变得很小。法三：从已知条件可知：结果与 m的取值无关，令 m 1,得：S1 a1 30, S2 a1a2 100,52 70 , a3 2a2 a170 5£ a a2 a3 210.法三则是熟练运用简缩思维进行运算的结果。熟练掌握常用的恒等变形，不仅可以提高运算的速度，还可以得到不同的结论， 如两角和与差的正切公式的各种变形，半角的余弦公式，余弦定

11、理的各种变形22221(a 0,b 0)变形得与1窑J土，再变形为baa222y22x a如椭圆方程的一种变形：与当 a bM .这是一个有趣的结论：椭圆上异于长轴端点的任一点与长轴端点的 a连线斜率之积为定值也；在推导椭圆标准方程的过程中，也可由 aJ(x c)2 y2 J(x c)2 y2 2a变形得： 人 叫y2.这一过程揭示了第一定义1al a |x | c与第二定义的等价性.还可以把4铉+口丫+)+干尸=24分子有理化从而计算出构造出二元方程组/四百铲十必彳铲二2日然后两式相加得2，（l+靖廿= 2 a最后两边平方，化简得（牙-c2） x2+a2y2=a2 （a2-c2）.运算的合理

12、运算的合理性是运算能力的核心，一般一个较复杂的运算，往往是由多个较 简单的运算组合而成的，如何合理确定运算目标？设计运算程序，选择运算途 径，并将各部分有机地联系在一起？这是运算合理性的主要标志。运算的合理性表现在运算要符合算理，算理即理由、道理、依据，运算过 程中的每一步变形都要有依据、或依据概念，或依据运算法则和运算律，或依据 公式，可以说运算的每一步变形都是演绎法的体现，都必须步步有理，高考对算 理的考查是通过变形过程中的正误来体现的。运算的合理性表现在运算目标的确定，难度较大的试题，其运算目标通常 比较复杂，需要经过多步运算才能达到最后结果，有时运算的目标模糊不能确运算的合理性还表现在

13、运算途径的选择，合理选择运算途径不仅是运算迅 速的需要，也是运算准确性的保证，是提高运算能力的关健，运算步骤越多、越 繁琐、越容易出错。必须灵活运用公式、法则和有关的运算律，掌握同一个问题 的多种运算方法和途径，并善于通过观察、分析、比较，作出合理的选择。运算求解的程序即算法、步骤，复杂的运算必须按照一定的算法实施，如解方 程、解不等式就有比较明确规范的步骤，利用解析法解决几何问题也有清晰的步骤如建系、设点，把几何问题转化为代数问题、求解代数问题、回到几何问题验证等步骤31例3 .已在等比数列an中，已知Sn是其前n项的和,S5 ,a3 ,则16411111珀/缶4的值为：a a2 a3 a4

14、 a5分析：本题出现了三个条件：等比数列，S5,a3,结论是求前5项的倒数和5项的和，通法是运用求和公式，难点是不知首项和公比,关键是如何将工与q用S5,a3表小,a1指导思想是运用整体思想，把和看做一个整体。即:-(111111a1a1a2a3a4a514) q1qq5 15a(q1)24a1 q (q 1)122-2(aq )S5用3a3此法常规简明，对于一般等比数列求和题具有普适性,比较以下方法:法二：设等比数列an的公比为q,则a1a2 a3 a,a5 a3(11a3( 2q1a1，(q a3q 1a2a32 q q )1a4 1 qa53) q_3161a31-2 qa.a2a334

15、a2a3a4a3t)a3a4我们知道等比数列的各项倒数也成等比数列，因而问题化为求等比数列前此法表面上看构思新颖，构造了一个对称式，其实和法一都采用了共同的思想方法一一整 体思想，这一特法并未简化运算，在技巧上没有明显优势，相反下面方法更具技巧性，且思 维方式有了新变化法三，由an是等比数列，可知a5,a4,a3,a2,a1也是等比数列，且公比是原数列的倒数,再利用等比数列性质:a5a32可得:a5 (1S57)1 1q1 工a a2 a32a3a1-(12 a1a3 11a4q2a5 a316A) q1 q422,11111 、a3 ()a1a2a3a4a5此法逆向改变数列顺序,其公比与原数

16、列各项的例数组成等比数列的公比一样，且求和形 式仅是首项不同，但由等比中项的结论立刻转化，可为妙解，但同样运用转化与整体化思 想，困此，特技仅是数学思想在解题过程中“灵光闪现”的定格，以上三法种掌握法和另两种方法中的一种即可。例4 .盐城市2013届高三第二次模拟试卷第20题：20.设Sn是各项均为非零实数的数列an的前n项和，给出如下两个命题上:111 kn b命题 p ： an是等差数列；命题 q：等式 对任意 n (n N * )恒成aa2 a2 a3anan 1aan 1立，其中k,b是常数。若p是q的充分条件，求k,b的值；对于中的k与b,问p是否为q的必要条件，请说明理由；若p为真

17、命题，对于给定的正整数n (n 1)和正数 M,数列an满足条件a12 a2 1 M ,试求Sn的最大值。解：(1)设an的公差为d ,则原等式可化为11111.11 kn b 寸，1 nd kn b一一一 L 一 ，所以，daa? a2a3anan1a向 1 d a1an 1a1an1即k 1 n b 0对于n N恒成立，所以k 1,b 0. 4分,一一， 一 一， r “4111n(2)当k 1,b 0时，假设p是否为q的必要条件， 即“若 L n对于任a/ a2a3anan 1 aa 1意的n n N 恒成立，则 an为等差数列当n 1时,当n 2时,1a1a21a1a2显然成立111

18、n 1L ，由-得,aa2 a2a3an 便口 aa 111 n n 1,_ ，即 nan n 1 an 1 a1 . anan 1al an 1 an当n 2时，a a3 2a2,即a1、a2、a3成等差数列,当n 3时，n 1an1 n 2ana1，即2anan 1an 1.所以an为等差数列，即必要条件 10分p是否为q的22由aian 1a1 r cos,an 1r sin ,所以 r设0n的公差为1 a1 ndr sin r cosr cos所以an r sinr sinr cosaan n5 Snncos n 1 sinr所以Sn的最大值为(3)另解:16分M nan 1a1设4的

19、公差为dn aanSnn a1nan 1 d n aan 1an 1 a1n 1 a1n 1 an 1（*）设OAOBn 1,n 1由 OA OB OA OB cosOA |OB|汨 n 1 a1 n 1 an i 122 2侍c a an 122所以Sn的最大值为M n2 1注：（*）式也可由柯西不等式得到最大值。.运算的简捷运算的简捷是指运算过程中所选择的运算路径短，运算步骤少，运算时间省，运算的简捷是运算合理性的标志,是运算速度的要求、运算的简捷主要体现在概念的灵活运用，公式的恰当选择,数学思想方法的合理使用。22例4 .过双曲线与4 1 a o,b oa2 b2的左焦点F c,o作圆x

20、2 y22的切线，切点为 E, 4延长 FE 交双曲线右支于点 P1OE - OP OF ,则双曲线的离心率为 2解：设 P Xo, yo，由 OEOFE为PF中E Xo c yo2, 2E在圆上，且OE PFyoXoc2Xo c2y。Xo CXoyo2yo2 a2c4 a 4c2占八、2a又点P在双曲线上，则2c2a得 2c2 a2 2c2 5a2o（舍）-1o 或e2另解：由OEIop则 OEPF',由OG= a可得22又由PF'由PF22PF'OEOF知E为PF中点，连接PF' （F'为右焦点）PF 可彳# PF PF'PF 3aFF

21、9; * 2 * 4即9a2a2 4c2,得 e 回2例6.2012年江苏高考试题第,tuuu uur在ABC中，已知AB AC15题。uuu uuir3BA BC(1)求证:(2)若 cosCtanB. 53tan A解:uuu(1) .AB5uuurAC求A的值.uur uuur3BA BC ,ABACcosA 3BA BC由正弦定理，得:ACsin BcosB,即：AC cosA 3BC cosB.BC, sin B cosA 3sin A cosB . sin A又。A. sin B 3cosBB , sin A cosA 'cosA即：tan B 3tanA.(2) ,cos

22、CsinC2x5，tanC 2.tan.tan A(A B) tan Btan(A B) 21 tan A tan B由（1）得:4 tan A1 3tan 2 A是高考命题的基本做法。.运算的规范在运算求解过程中，通过认真审题，确定解题目标，寻找解题方向，选择 运算途径，最后解决问题，但如何正确呈现运算求解过程，就需要规范的表述。 目前指导学生读评分标准是一条捷径。例7.2012江苏高考试题第18题。求函数极值是:令g (x) 0 ,解得：f(x)x 1,当 x (, 2)时，g(x) 0,增；当 x (1,)时，g(x)x3 3x , g (x) f(x) 2 x3 3x 2 (x 1)2

23、(x 2),2(2).判断-2是极值点得4.g(x)单调递减；当x ( 2,1)时，g (x) 0, g(x)单调递0, g(x)单调递增，所以x 2是g(x)的极小值点,1不是极值点(6 ).许多学生被扣掉4 .另外在三角运算中sin()sin cos cos sin(153)5喏)泉要写3步.四、培养运算求解能力遵循运算求解能力发展的基本规律识、相应要求分别是：懂知发展运算能力的大致过程是：知识-技能-能力: 会技能、能变通。1.建构完善系统的知识体系准确理解数学定义、概念、公式、定理，对于考试说明中的A级知识点要能直接使用，对于 B级、C级知识点要弄清概念的发生、概括、形成过程，主 要公

24、式、定理要掌握其发现、推导过程，还要掌握它们的各种等价变形，如余弦 定理的推导过程与常见的恒等变形。2,22a b c 2bccosA.222b c a cos A 2bcuuu uur b2 c2 a2AB AC 2b2 (2ccos A)b (c2 a2) 0222sin A sin B sin C 2sin B sin C cosA.2 .熟练掌握有关运算的方法、步骤。模仿、操作阶段，运算步骤不宜跳跃， 每一步运算的算理必须明确、清晰，算法和运算过程的表述必须规范、条理，经 过一定量的、有层次的、按部就班的训练后，逐渐简化运算步骤，灵活运用运算 法则、公式，在运算求解过程中，学生能够自觉

25、地认识运算的目的性，准确判断 运算方向，合理选择运算途径，规范表述运算过程和结果，从而由懂到会，由会 到对，由对到熟，由熟到变，由变到通，避免“会而不对，对而不全”的运算错 误。3 .在熟练掌握运算求解的算理、算法及运算技能基础上弄清其隐含的数学思 想方法，并以数学思想方法促进运算技能向能力过渡，一方面，合理使用数学思 想方法可以简化运算，提高速度，其中数形结合可以借助图形直观简化运算量， 等价转化可以将复杂的运算转化为简单的运算，分类、整合可以化整为零，分解 难点或整体思维、优化策略。另一方面，数学思想方法是使基本运算技能内化为 思维能力的纽带，在具体运算求解过程中还要注重充分运用通性通法，

26、通性通法 是指解决具有相同性质数学问题所用的通用方法，是数学思想和数学方法在解决 数学问题中的集中体现，做数学就是要通过解决数学问题找到同类问题的一般方 法。抓实运算求解能力培养的各个环节1 .在定理、公式、法则及重要结论的发现形成推导和应用过程中，教师要重 点示范、讲法算理算法，开始接触各种运算与定理公式推导应用和典型例题时要 尽量详细规范板演，直接应用公式、定理解题时，要多让不同层次学生在黑板上 板演或展示各种解法、暴露运算中存在的各种错误和问题，通过比较算理的合理 性，算法的简捷性，过程的规范性，促进学生迅速形成各种运算技能。2 .加强审题训练，发现运算目标，启发、帮助学生细致分析问题的

27、条件、结 论以及条件与结论间的联系，尤其是如何发现问题中的隐含条件，及早确定运算 目标，并在运算求解过程及时调整运算方向。弄清条件是解题的前提，可分为一级条件（原始条件） 、二级条件（变形条 件）、三级条件（隐含条件）例8.2012江苏试题第10题设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1上，ax 11<x 0f (x) bx 2 x - 其中 a，b R , 0< x< 1x 1分析：本题的运算目标是求出一显性条件f(1) f (3)可得关于a22整体，否则还需再找条件，周期为若心吗，则a 3b的值为a 3b的值，只须求出a, b的值即可，题中有b的一个方程，除非

28、此方程中出现a 3b这一2,区间1,1如何结合，由周期性定义可得f( 1) f(1),这样本题的求解过程化为解方程组f(ff( 1)%.f解：因为函数f(x)是周期为2的函数，所以f( 1)p 13又 f(2) f(2)1b 2联立方程组解得：a 2 ,232 b4 .所以a 3b2 1210.3 .强化限时训练，提高运算速度。选择运算量适度的习限时训练首先在选题，要根据不同层次的学生特点, 题，且兼顾几种解法，这样便于不同层次的学生在现有水平上有所提高，在评讲 时也可提供多种运算途径供学生选择，要尽量减少利用填空题训练运算能力，因 为求解填空题无规范的运算过程，一些难题可以凭猜测得到结论，不

29、利于训练运 算求解能力，影响思维能力的提升。4 .重视解题反思，提升运算能力。在解题教学中，要指导学生学会验算、减少失误，可采用以下方法：复查验算 代值检验 多解对照 逆向运算 观测估算 量纲检查 特值检验 条件检验草稿纸每算一题画上边框，便于检验。选取边界值和特殊值验算。通法求解巧法对照顺向解答逆向回代离心率的范围、三角函数有界性。长度是一次函数、面积是二次函数、体积是三次函数。例如直线斜率不存在时，等比数列公比为 1时。条件是否用足，尤其是隐含条件是否发现运用。逻辑检验一一运算复杂的问题通过逻辑推理可能轻松解决。图形检验一一代数方法几何检验。解题后检验发现问题必须不断纠错、订正到位，订正可

30、分为老师评讲前自 我纠正、老师评讲中对比订正、老师评讲后二次订正，解题后更要总结反思此 题运用了哪些知识和方法，题中有哪些条件，尤其是否存在隐含条件，本题的算 理是否清晰，算法是否简捷，运算过程是否跳步，还有更好的解法吗？5 .重视简化运算，提高求解能力。运算求解能力是其它数学能力的基础，简化运算是提高求解能力的重要环 节。熟记一些常见的运算结论和推理结果有利于寻找解题思路，简化运算过程，提高运算结果的准确性，如四面体的体积公式、勾股数、20以上的自然数的平方，圆的第二定义，圆锥曲线的半径公式，圆锥曲线的第二、第三定义，和 差化积与积化和差公式等。例如四市一模试题第1 3题利用结论在解析几何解

31、题运算中，教给学生简化运算的基本方法，如：恰当建 系、巧妙设元、回归定义、设而不求、数形结合、整体代换、数式化简、特殊引 路、特征分析（定量、定性）、直觉判断、合情推理2 2例9.如图在平面直角坐标系xOy中，椭圆今 41（a b 0）的左焦点为F ,a b右顶点为A,动点M为右准线上一点（异于右准线与x轴的交点），设线段FM交 椭圆C于点P ,已知椭圆C的离心率为2 ,点M的3 横坐标为9.2求椭圆C的标准方程；设直线PA的斜率为ki ,直线MA的斜率为k2,求ki k2的取值范围。分析：本题中求解斜率kik2的表达式是关键，用参数表示斜率通常有以下几 种方法：设Mg,t）；或设PF的斜率为K设AM的斜率为k ；设PA的斜率为k ；设 P（xi,yi）.其中方法-均需解出P点坐标，因而运算量较大，在方法中，可通过 设而不求、边化简边运算、数形结合等方法简化运算。22解：（i） ± L i （过程略）.95(2)设点 P(xi, yi) ( 2 xi93),点 M(2,y2).由于点F ,P,M三点共线，x 2 ,所以ViXiV2 i3 万V213%2(xi 2)'则点"耳探）.因为ki所以ki k2i3yi3(xi 2)'i3yii3yi2X 3 3(