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1、北师大版数学八年级下册复习第一章第一章 复习复习第二章第二章 复习复习阶段综合测试一（月考）阶段综合测试一（月考）第三章第三章 复习复习阶段综合测试二（期中一）阶段综合测试二（期中一）阶段综合测试三（期中二）阶段综合测试三（期中二）第四章第四章 复习复习第五章第五章 复习复习阶段综合测试四（月考二）阶段综合测试四（月考二）第六章第六章 复习（一）复习（一）第六章第六章 复习（二）复习（二）阶段综合测试五（期末一）阶段综合测试五（期末一）阶段综合测试六（期末二）阶段综合测试六（期末二）数学北师版（bs）第一章 复习第一章第一章 | 复习复习知识归纳1等腰三角形的性质等腰三角形的性质性质性质(1)

2、：等腰三角形的两个底角：等腰三角形的两个底角_性质性质(2)：等腰三角形顶角的：等腰三角形顶角的_、底边上的、底边上的_、底边上的高互相重合底边上的高互相重合2等边三角形的性质等边三角形的性质等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于603等腰三角形的判定等腰三角形的判定(1)定义：有两条边定义：有两条边_的三角形是等腰三角形的三角形是等腰三角形(2)等角对等边：有两个角等角对等边：有两个角_的三角形是等腰三角形的三角形是等腰三角形相等相等 相等相等 相等相等 平分线平分线 中线中线数学北师版（bs）第一章第一章 | 复习复习4用反证法证明的一般步

3、骤用反证法证明的一般步骤(1)假设命题的结论不成立；假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，应用正确的推理方法，得出与定义、公理、从这个假设出发，应用正确的推理方法，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；已证定理或已知条件相矛盾的结果；(3)由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确5等边三角形的判定等边三角形的判定(1)有一个角等于有一个角等于60的的_三角形是等边三角形；三角形是等边三角形；(2)三边相等的三角形叫做等边三角形；三边相等的三角形叫做等边三角形；(3)三个角相等的三角形是等边三角形；三个角相等的三角形是

4、等边三角形；(4)有两个角等于有两个角等于60的三角形是等边三角形的三角形是等边三角形等腰等腰 数学北师版（bs）第一章第一章 | 复习复习6直角三角形的性质及判定直角三角形的性质及判定性质性质(1)：在直角三角形中，如果一个锐角等于：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它，那么它所对的直角边等于斜边的所对的直角边等于斜边的_；性质性质(2)：直角三角形的两个锐角互余：直角三角形的两个锐角互余判定：有两个角互余的三角形是直角三角形判定：有两个角互余的三角形是直角三角形7勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的勾股定理：直角三角形两条直角边的平方

5、和等于斜边的_逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是这个三角形是_三角形三角形一半一半 平方平方 直角直角 数学北师版（bs）第一章第一章 | 复习复习8线段的垂直平分线的性质定理及判定定理线段的垂直平分线的性质定理及判定定理性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离距离_判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的_上上点拨点拨 线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相等线段的垂直平分线

6、可以看作和线段两个端点距离相等的所有点的集合的所有点的集合9三线共点三线共点三角形三条边的垂直平分线相交于三角形三条边的垂直平分线相交于_，并且这一点到三，并且这一点到三角形三个顶点的距离角形三个顶点的距离_相等相等 垂直平分线垂直平分线 相等相等 一点一点 数学北师版（bs）第一章第一章 | 复习复习10角平分线的性质定理及判定定理角平分线的性质定理及判定定理性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离_判定定理：在一个角的内部，且到角的两边判定定理：在一个角的内部，且到角的两边_相等的相等的点在这个角的平分线上点在这个角的平分线上注意注意 角的平分线

7、是在角的内部的一条射线，所以它的逆定角的平分线是在角的内部的一条射线，所以它的逆定理必须加上理必须加上“在角的内部在角的内部”这个条件这个条件11三角形三条角平分线的性质三角形三条角平分线的性质三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离距离_相等相等 距离距离 相等相等 数学北师版（bs）考点攻略第一章第一章 | 复习复习 考点一线段垂直平分线性质的应用考点一线段垂直平分线性质的应用例例1 如图如图11，在，在abc中，中，de垂直平分垂直平分ac交交ab于点于点e，a30，acb80，则，则bce_.50 解析解析 根据线段垂

8、直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得线段两端点的距离相等，得eaec，所以，所以aace30.又因为又因为acb80，故，故bce803050.图图11数学北师版（bs）第一章第一章 | 复习复习方法技巧方法技巧若题目中出现或经过构造出现线段垂直平分线，注意若题目中出现或经过构造出现线段垂直平分线，注意利用利用“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”解决问题。同时，在求一些边长、周长或角的度数时，如果能解决问题。同时，在求一些边长、周长或角的度数时，如果能恰当地

9、运用线段垂直平分线的性质，可以大大简化解题过程，恰当地运用线段垂直平分线的性质，可以大大简化解题过程，同学们在学习中要注意到这一点！同学们在学习中要注意到这一点！数学北师版（bs）第一章第一章 | 复习复习例例2 考点二全等三角形性质的应用考点二全等三角形性质的应用图图12数学北师版（bs）第一章第一章 | 复习复习数学北师版（bs）第一章第一章 | 复习复习 方法技巧方法技巧 与全等三角形有关的开放型试题形式多样，设计新颖，与全等三角形有关的开放型试题形式多样，设计新颖，能培养同学们的逆向思维能力、创新能力和综合运用知识的能力。能培养同学们的逆向思维能力、创新能力和综合运用知识的能力。解答条

10、件开放型试题，需要执果索因，逆向推理，逐步探求结论解答条件开放型试题，需要执果索因，逆向推理，逐步探求结论成立的条件。同时要注意挖掘图形中的隐含条件，如对顶角、公成立的条件。同时要注意挖掘图形中的隐含条件，如对顶角、公共角、公共边等，然后合理选择全等三角形的知识解决。另外，共角、公共边等，然后合理选择全等三角形的知识解决。另外，要注意这类题的答案往往不唯一，只要合理即可。要注意这类题的答案往往不唯一，只要合理即可。数学北师版（bs）第一章第一章 | 复习复习例例3 图图13 考点三勾股定理的应用考点三勾股定理的应用解析解析 这个有趣的问题是勾股定理的典型应用，此问题看上去是这个有趣的问题是勾股

11、定理的典型应用，此问题看上去是一个曲面上的路线问题，但实际上能通过圆柱的侧面展开而转化一个曲面上的路线问题，但实际上能通过圆柱的侧面展开而转化为平面上的路线问题，值得注意的是，在剪开圆柱侧面时，要从为平面上的路线问题，值得注意的是，在剪开圆柱侧面时，要从a开始并垂直于开始并垂直于ab剪开，这样展开的侧面是个矩形，才能得到直剪开，这样展开的侧面是个矩形，才能得到直角，再利用勾股定理解决此问题角，再利用勾股定理解决此问题数学北师版（bs）第一章第一章 | 复习复习图图14方法技巧方法技巧利用勾股定理解决最短路线问题的实质是解决旋转体利用勾股定理解决最短路线问题的实质是解决旋转体的问题，也是把立体图

12、形转化为平面图形的问题，即将原图形的的问题，也是把立体图形转化为平面图形的问题，即将原图形的侧面展开转化为平面图形侧面展开转化为平面图形即即“展曲为平展曲为平”问题，特别要注意问题，特别要注意圆柱、圆锥的侧面展开问题。这种由三维立体和二维平面的相互圆柱、圆锥的侧面展开问题。这种由三维立体和二维平面的相互转化，充分体现了新课程标准下的素质教育对学生空间想象能力转化，充分体现了新课程标准下的素质教育对学生空间想象能力、图形识别能力及理解能力的要求，是考查空间观念和严谨认真、图形识别能力及理解能力的要求，是考查空间观念和严谨认真态度的很好题型。态度的很好题型。数学北师版（bs）第一章第一章 | 复习

13、复习例例4 考点四等腰三角形的判别考点四等腰三角形的判别图图15数学北师版（bs）第一章第一章 | 复习复习解析解析 要证明要证明def为等腰三角形，只需证明为等腰三角形，只需证明dedf.连接连接ad，利，利用三角形全等可得这一结论对于用三角形全等可得这一结论对于e，f在在ab，ca延长线上的情况延长线上的情况，可利用同样的方法证明，可利用同样的方法证明图图16数学北师版（bs）第一章第一章 | 复习复习图图17数学北师版（bs）第一章第一章 | 复习复习方法技巧方法技巧等腰三角形的应用主要体现在利用等腰三角形的性等腰三角形的应用主要体现在利用等腰三角形的性质与判定上，尤其是利用质与判定上，

14、尤其是利用“三线合一三线合一”的性质对线段或角进行的性质对线段或角进行转化，从而摆脱用全等三角形证明线段相等或角相等的思维定转化，从而摆脱用全等三角形证明线段相等或角相等的思维定势，更简捷地说明两线段或角相等。在中考中，等腰三角形常势，更简捷地说明两线段或角相等。在中考中，等腰三角形常与其他知识结合，多以证明或计算题形式出现，综合性强。与其他知识结合，多以证明或计算题形式出现，综合性强。数学北师版（bs）第一章第一章 | 复习复习例例5图图18 考点五角平分线与考点五角平分线与“截长补短截长补短”图图19数学北师版（bs）第一章第一章 | 复习复习解析解析 结论是结论是cdadbc，可考虑用，

15、可考虑用“截长补短法截长补短法”中的中的“截长截长”，即在，即在cd上截取上截取cfcb，只要再证，只要再证dfda即可，这即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的数学北师版（bs）第一章第一章 | 复习复习方法技巧方法技巧“截长补短法截长补短法”是解决这一类问题的一种特殊方法，利是解决这一类问题的一种特殊方法，利用此种方法常可使思路豁然开朗。掌握好用此种方法常可使思路豁然开朗。掌握好“截长补短法截长补短法”对于更对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助。好的理解数学中的化归思想有较大的帮助。数学北师版（bs）试卷讲练第

16、一章第一章 | 复习复习考查意图三角形的证明是属于数学新课程标准中图形与几何部分的重要内容，在日常测试及中考中，常以填空、选择、证明、计算及综合题考查学生对于三角形全等、等腰三角形、勾股定理及其逆定理的掌握本卷以双基为主，考查学生对于基本知识点的理解及基本解题思路的掌握，重点在于培养学生对几何题的分析能力和逻辑推理能力难易度易1，2，3，4，5，6，7，8，11，12，13，14，15，17，18，19，20中9，10，21，22难16，23，24数学北师版（bs）第一章第一章 | 复习复习知识与技能全等三角形2，16，17，22，24等腰三角形及直角三角形1，4，10，14，20，21，23

17、，24直角三角形和勾股定理及逆定理3，8，15线段的垂直平分线及角平分线5，7，9，13，18，19逆命题6，12数学北师版（bs）第一章第一章 | 复习复习思想方法分类讨论、数形结合亮点第9题用到了分类讨论的思想方法；第10题将动手操作与逻辑推理相结合考查等腰三角形的性质；第16题属于开放型问题，答案不唯一；第22题将等腰直角三角形的性质与三角形全等结合考查；第23题巧妙地对直角三角形较短直角边“加倍”.数学北师版（bs）1以下命题中，是真命题的是以下命题中，是真命题的是()a两条直线只有相交和平行两种位置关系两条直线只有相交和平行两种位置关系b同位角相等同位角相等c两边和一角对应相等的两个

18、三角形全等两边和一角对应相等的两个三角形全等d等腰三角形底边中点到两腰的距离相等等腰三角形底边中点到两腰的距离相等 2下列说法中，正确的是下列说法中，正确的是()a等腰三角形一边上的中线也是这边上的高等腰三角形一边上的中线也是这边上的高b等腰三角形的内角平分线的交点到三等腰三角形的内角平分线的交点到三 个顶点的距离相等个顶点的距离相等c等边三角形每条角平分线都平分对边等边三角形每条角平分线都平分对边d直角三角形一边上的中线等于这边的一半直角三角形一边上的中线等于这边的一半针对第针对第3题训练题训练第一章第一章 | 复习复习d c 数学北师版（bs）1在直角三角形中，一条直角边长为在直角三角形中

19、，一条直角边长为a，另一条边长为，另一条边长为2a，那么，那么它的三个内角之比为它的三个内角之比为()a1 2 3 b2 2 1 c1 1 2 d以上都不对以上都不对2如图如图110，abc中，中，acb90，ba的垂直平分线交的垂直平分线交cb边于点边于点d，若，若ab10，ac5，则图中等于，则图中等于60的角的个数为的角的个数为()a2 b3 c4 d5第一章第一章 | 复习复习针对第针对第8题训练题训练d d 图图110数学北师版（bs）第一章第一章 | 复习复习2 图图1113如图如图111，在，在rtabc中，中，c90，b15，de是是ab的中垂线，垂足为点的中垂线，垂足为点d，

20、交，交bc于点于点e，若，若be4，则，则ac_数学北师版（bs）第一章第一章 | 复习复习针对第针对第9题训练题训练cd数学北师版（bs）第一章第一章 | 复习复习图图112数学北师版（bs）第一章第一章 | 复习复习图图113数学北师版（bs）第一章第一章 | 复习复习针对第针对第23题训练题训练图图114数学北师版（bs）第一章第一章 | 复习复习数学北师版（bs）第一章第一章 | 复习复习针对第针对第24题训练题训练图图115数学北师版（bs）第一章第一章 | 复习复习数学北师版（bs）第二章 复习数学北师版（bs）第二章第二章 | 复习复习知识归纳不等式不等式一、不等式及其基本性质一

21、、不等式及其基本性质1定义定义凡用符号凡用符号“”(或或“”)“”(或或“”)连接的式子叫做连接的式子叫做_2性质性质性质性质1不等式两边都加上不等式两边都加上(或减去或减去)同一个数或同一个整式，不同一个数或同一个整式，不等号的方向等号的方向_性质性质2不等式两边都乘不等式两边都乘(或除以或除以)同一个正数，不等号的方向同一个正数，不等号的方向_性质性质3不等式两边都乘不等式两边都乘(或除以或除以)同一个负数，不等号的方向同一个负数，不等号的方向_不变不变不变不变要改变要改变数学北师版（bs）二、不等式的解集二、不等式的解集1不等式的解集不等式的解集一般地说，一个含有未知数的不等式的所有的解

22、，组成这个不等一般地说，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的式的_2解不等式解不等式求不等式的求不等式的_的过程叫做解不等式的过程叫做解不等式不等式的解集可在数轴上直观地表示出来，如不等式的解集可在数轴上直观地表示出来，如5x15的解集为的解集为x3，即在数轴上即在数轴上(图图21)用表示用表示3的点及其右边部分来表示，这里的黑的点及其右边部分来表示，这里的黑点表示包括点表示包括3这一点如果不等式的解集为这一点如果不等式的解集为1x4(图图22)，则，则用数轴上表示用数轴上表示1的点的右边和点的点的右边和点4的左边之间的部分来表示，这的左边之间的部分来表示，这里的黑点表示包括里的

23、黑点表示包括1这一点在内，而右边的圆圈表示不包括这一点在内，而右边的圆圈表示不包括4这这一点在内一点在内第二章第二章 | 复习复习解集解集解集解集图图21图图22 数学北师版（bs）第二章第二章 | 复习复习三、一元一次不等式和它的解法三、一元一次不等式和它的解法1一元一次不等式一元一次不等式不等式的左、右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未不等式的左、右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做，像这样的不等式，叫做_2一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法步骤和解的情况与一元一次方程对比一元一次不等式的解法步骤和解

24、的情况与一元一次方程对比如下表所示如下表所示 一元一次不等式一元一次不等式数学北师版（bs）第二章第二章 | 复习复习解一元一次方程解一元一次不等式解法步骤(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.在上面的步骤(1)和步骤(5)中，如果乘数或除数是负数，要把_改变方向一般地，一元一次不等式的解集含有无限多个解不等号不等号数学北师版（bs）第二章第二章 | 复习复习四、一元一次不等式组和它的解法四、一元一次不等式组和它的解法1一元一次不等式组一元一次不等式组一般地，关于同一未知数的几个一元

25、一次不等式合在一起，一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个就组成一个_2一元一次不等式组的解集一元一次不等式组的解集一元一次不等式组中各个不等式的解集的一元一次不等式组中各个不等式的解集的_，叫做，叫做这个一元一次不等式组的解集这个一元一次不等式组的解集3解不等式组解不等式组求不等式组的解集的过程，叫做求不等式组的解集的过程，叫做_4解一元一次不等式组的两个步骤解一元一次不等式组的两个步骤(1)求出这个不等式组中各个不等式的解集；求出这个不等式组中各个不等式的解集；(2)利用数轴求出这些不等式的解集的利用数轴求出这些不等式的解集的_，即求出了，即求出了这个不等式组的解集

26、这个不等式组的解集一元一次不等式组一元一次不等式组公共部分公共部分解不等式组解不等式组公共部分公共部分数学北师版（bs）第二章第二章 | 复习复习考点攻略例例1易错地带易错地带 不等式两边都乘（或除以）同一个复数时，不等号的不等式两边都乘（或除以）同一个复数时，不等号的方向要改变。方向要改变。 考点一不等式的性质考点一不等式的性质数学北师版（bs）第二章第二章 | 复习复习 考点二一元一次不等式考点二一元一次不等式(组组)的解法的解法例例2数学北师版（bs）第二章第二章 | 复习复习技巧总结技巧总结数学北师版（bs）第二章第二章 | 复习复习例例3图图23解析解析 两个不等式要分别求解两个不等

27、式要分别求解数学北师版（bs）第二章第二章 | 复习复习图图24方法总结方法总结 不等式组要分别求解，用数轴表示解集时不等式组要分别求解，用数轴表示解集时要注意选取公共部分。要注意选取公共部分。数学北师版（bs）第二章第二章 | 复习复习例例4d数学北师版（bs）第二章第二章 | 复习复习例例5 我国沪深股市交易中，如果买、卖一次股票均需付交易我国沪深股市交易中，如果买、卖一次股票均需付交易金额的金额的0.5%作费用张先生以每股作费用张先生以每股5元的价格买入元的价格买入“西昌电西昌电力力”股票股票1000股，若他期望获利不低于股，若他期望获利不低于1000元，问他至少要元，问他至少要等到该股

28、票涨到每股多少元时才能卖出等到该股票涨到每股多少元时才能卖出(精确到精确到0.01元元)? 考点三不等式的应用考点三不等式的应用方法总结方法总结列不等式解应用题关键是找到表示不等关系的语句列不等式解应用题关键是找到表示不等关系的语句，如本题中，如本题中“期望获利不低于期望获利不低于1000元元”数学北师版（bs）第二章第二章 | 复习复习 考点四一元一次不等式与一次函数的综合考点四一元一次不等式与一次函数的综合甲有存款甲有存款600元，乙有存款元，乙有存款2000元，从本月开始，他们进行零元，从本月开始，他们进行零存整取储蓄，甲每月存款存整取储蓄，甲每月存款500元，乙每月存款元，乙每月存款2

29、00元元(1)列出甲、乙的存款额列出甲、乙的存款额y1(元元)，y2(元元)与存款月数与存款月数x(月月)之间的之间的函数关系式；函数关系式；(2)请问到第几个月，甲的存款额超过乙的存款额？请问到第几个月，甲的存款额超过乙的存款额？解析解析 先列出函数关系式，再根据关系式列出方程或不等式，先列出函数关系式，再根据关系式列出方程或不等式，从而解决问题从而解决问题数学北师版（bs）第二章第二章 | 复习复习方法总结方法总结解题的关键是根据题目中的关系列出函数关系式，解题的关键是根据题目中的关系列出函数关系式，将实际问题转化为数学问题，再根据题目中的不等关系列出不等将实际问题转化为数学问题，再根据题

30、目中的不等关系列出不等式，然后求解。式，然后求解。数学北师版（bs）第二章第二章 | 复习复习试卷讲练考查意图一元一次不等式和一元一次不等式组是课程标准中数与式的重要组成部分，在各类考试及中考中常结合数轴和方程以填空题、选择题和综合题形式出现本卷主要考查了不等式的性质及一元一次不等式(组)的解法和应用，一元一次不等式与一次函数重点考查了一元一次不等式(组)的解法和应用难易度易1，2，3，4，5，6，8，11，12，13，14，15，17，18，19，20，21中7，9，10，22难16，23，24数学北师版（bs）第二章第二章 | 复习复习知识与技能不等式的性质1，3，6，8一元一次不等式的解

31、法2，4，11，17一元一次不等式组的解法5，7，9，12，13，16，18一元一次不等式的应用15，20，23，24一元一次不等式组的应用10，19，21，22一元一次不等式与一次函数9，14数学北师版（bs）第二章第二章 | 复习复习思想方法整体思想13数形结合思想3，6，9，14亮点9题具有新颖性、直观性和综合性，不仅能考查一次函数的性质，同时也考查了不等式的解法；10题考法新颖，设计自然，背景清晰、明快，全面考查了学生的阅读理解、数学知识迁移和解决实际问题的能力.数学北师版（bs）第二章第二章 | 复习复习针对第针对第1题训练题训练c数学北师版（bs）第二章第二章 | 复习复习a针对第

32、针对第7题训练题训练6a9 数学北师版（bs）第二章第二章 | 复习复习针对第针对第16题训练题训练针对第针对第10题训练题训练数学北师版（bs）第二章第二章 | 复习复习针对第针对第13题训练题训练针对第针对第16题训练题训练6 b 数学北师版（bs）第二章第二章 | 复习复习针对第针对第22题训练题训练某工厂计划生产某工厂计划生产a，b两种产品共两种产品共10件，其生产成本和利润如下件，其生产成本和利润如下表：表：a种产品b种产品成本(万元/件)25利润(万元/件)13(1)若工厂计划获利若工厂计划获利14万元，问万元，问a，b两种产品应分别生产多少件？两种产品应分别生产多少件？(2)若工

33、厂计划投入资金不多于若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于万元，且获利多于14万元，问工万元，问工厂有哪几种生产方案？厂有哪几种生产方案？(3)在在(2)的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润数学北师版（bs）第二章第二章 | 复习复习数学北师版（bs）第二章第二章 | 复习复习数学北师版（bs）第二章第二章 | 复习复习针对第针对第23题训练题训练义洁中学计划从荣威公司购买义洁中学计划从荣威公司购买a、b两种型号的小黑板，经洽两种型号的小黑板，经洽谈，购买一块谈，购买一块a型小黑板比购买一块型小黑板比购买一块b型小黑板多用型小黑板多

34、用20元，且元，且购买购买5块块a型小黑板和型小黑板和4块块b型小黑板共需型小黑板共需820元元(1)求购买一块求购买一块a型小黑板和一块型小黑板和一块b型小黑板各需要多少元？型小黑板各需要多少元？(2)根据义洁中学的实际情况，需从荣威公司购买根据义洁中学的实际情况，需从荣威公司购买a、b两种型两种型号的小黑板共号的小黑板共60块，要求购买块，要求购买a、b两种型号小黑板的总费用两种型号小黑板的总费用不超过不超过5240元，并且购买元，并且购买a型小黑板的数量应大于购买型小黑板的数量应大于购买a、b两种型号小黑板总数量的两种型号小黑板总数量的 .请你通过计算，求出义洁中学请你通过计算，求出义洁

35、中学从荣威公司购买从荣威公司购买a、b两种型号的小黑板有哪几种方案？两种型号的小黑板有哪几种方案？数学北师版（bs）第二章第二章 | 复习复习数学北师版（bs）第二章第二章 | 复习复习数学北师版（bs）阶段综合测试一（月考）数学北师版（bs）阶段综合测试一（月考）阶段综合测试一（月考）试卷讲练考查意图三角形的证明中等腰三角形、直角三角形、全等三角形、线段的垂直平分线、角平分线的性质和判定是几何基础知识，一元一次不等式和一元一次不等式组是数与式中的重要组成部分，这些知识点在各类考试中占有一定的比重，这也是本卷所考查的主要内容难易度易1，2，3，4，5，6，7，8，11，12，13，14，15，

36、17，18，19，20中9，16，21，22难10，23，24数学北师版（bs）阶段综合测试一（月考）阶段综合测试一（月考）知识与技能一元一次不等式和一元一次不等式组1，2，3，4，6，8，9，12，15，16，17，18，20，24三角形的证明5，7，10，11，13，14，19，21，22，23思想方法分类讨论思想23，24数形结合思想3，4，12，15亮点12题以实际生活为背景，以开放题的形式展现，体现了数学与生活之间的联系23题中在三个图形中分别作出ab边上的高cd，利用等腰三角形和直角三角形的性质解决问题，提升学生的思维能力.数学北师版（bs）某校学生志愿服务小组在某校学生志愿服务小

37、组在“学雷锋学雷锋”活动中购买了一批牛奶到活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人如果分给每位老人敬老院慰问老人如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下盒牛奶，那么剩下28盒牛盒牛奶；如果分给每位老人奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足不足4盒，但至少盒，但至少1盒则这个敬老院的老人最少有盒则这个敬老院的老人最少有()a29人人 b30人人 c31人人 d32人人阶段综合测试一（月考）阶段综合测试一（月考）针对第针对第6题训练题训练b 数学北师版（bs）阶段综合测试一（月考）阶段综合测试一（月考）针对第针对第7题训练题训练a 数学北师版（bs）阶

38、段综合测试一（月考）阶段综合测试一（月考）针对第针对第10题训练题训练c 数学北师版（bs）阶段综合测试一（月考）阶段综合测试一（月考）数学北师版（bs）阶段综合测试一（月考）阶段综合测试一（月考）针对第针对第12题训练题训练b 小明原有小明原有60元，如图元，如图yk14记录了他今天记录了他今天所有支出，其中饼干支出的金额被涂黑若所有支出，其中饼干支出的金额被涂黑若每包饼干的售价为每包饼干的售价为6元，则小明可能剩下多少元，则小明可能剩下多少元元()a12 b4 c8 d2图图yk14针对第针对第14题训练题训练如图如图yk15，在，在abc中，中，abc，acb的平分线交于点的平分线交于点

39、e，过点，过点e的直线交的直线交ab，ac于点于点m，n，若，若bmme，则，则cn与与en的关系是的关系是()a. cnen bcn enc. cn b)，把余下的部分剪拼成一个矩形，把余下的部分剪拼成一个矩形(如图如图42)，通过计，通过计算两个图形算两个图形(阴影部分阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式的面积，验证了一个等式，则这个等式是是()图图42d数学北师版（bs）第四章第四章 | 复习复习针对第针对第16题训练题训练c数学北师版（bs）第五章 复习数学北师版（bs）知识归纳第五章第五章 | 复习复习字母字母分子分子分母分母不等于零不等于零数学北师版（bs）第五章第五章 |

40、 复习复习分母分母不变不变公因式公因式2分式的符号法则分式的符号法则根据分式的基本性质可得根据分式的基本性质可得 ，据此有分式的符号法则如下：，据此有分式的符号法则如下：即改变分式、分式的分子和分式的即改变分式、分式的分子和分式的_的符号中的任何的符号中的任何两个，分式的值两个，分式的值_三、分式的运算三、分式的运算1分式的乘除运算分式的乘除运算(1)最简分式：一个分式的分子与分母没有最简分式：一个分式的分子与分母没有_时，叫做最时，叫做最简分式简分式(2)分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分约分是把分式化为最简分

41、式或整式式的约分约分是把分式化为最简分式或整式数学北师版（bs）第五章第五章 | 复习复习分母分母分子分子被除式被除式分母分母(3)分式的乘除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分式的乘除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的_，把分母相乘的积作为积的，把分母相乘的积作为积的_；两个分式相除，把；两个分式相除，把除式的分子、分母颠倒位置后再与除式的分子、分母颠倒位置后再与_相乘上述法则用式相乘上述法则用式子表示为子表示为2分式的乘方运算分式的乘方运算分式的乘方：把分子、分母各自乘方用式子表示为分式的乘方：把分子、分母各自乘方用式子表示为 (n为正整数为正整数)3同分母的分式的加减

42、法运算同分母的分式的加减法运算同分母的分式的加减法法则是同分母的分式的加减法法则是_不变，把分子相加减不变，把分子相加减上述法则用式子表示为上述法则用式子表示为数学北师版（bs）第五章第五章 | 复习复习5分式的加、减、乘、除混合运算顺序法则分式的加、减、乘、除混合运算顺序法则先进行乘、除运算，再进行先进行乘、除运算，再进行_运算如有括号，先算括运算如有括号，先算括号内的号内的四、分式方程及其解法四、分式方程及其解法1分式方程分式方程分母中含有未知数的方程叫做分母中含有未知数的方程叫做_方程方程2解分式方程的一般步骤解分式方程的一般步骤(1)在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；

43、在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；(2)解所得的整式方程；解所得的整式方程；(3)把所得的整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，把所得的整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根是原方程的使最简公分母为零的根是原方程的_，应舍去，应舍去加减加减分式分式增根增根数学北师版（bs）考点攻略第五章第五章 | 复习复习方法总结方法总结分式值为分式值为0的条件是分子等于的条件是分子等于0，分母不等于，分母不等于0. 考点一分式有考点一分式有(无无)意义、值为意义、值为0的条件的条件例例1a数学北师版（bs）第五章第五章 | 复习复习例例2解析解析 在解答分式

44、有无意义的问题时，不能先将分式约分如在解答分式有无意义的问题时，不能先将分式约分如果把分子和分母的公因式约去，会导致分母的取值范围扩大而果把分子和分母的公因式约去，会导致分母的取值范围扩大而发生错误发生错误 数学北师版（bs）第五章第五章 | 复习复习例例3 将下列分式约分：将下列分式约分： 考点二分式的约分与通分考点二分式的约分与通分 数学北师版（bs）第五章第五章 | 复习复习例例4 计算：计算：数学北师版（bs）第五章第五章 | 复习复习例例5 考点三分式的四则运算考点三分式的四则运算数学北师版（bs）第五章第五章 | 复习复习技巧总结技巧总结本题是分式的混合运算，既可以先算括号里面的，

45、本题是分式的混合运算，既可以先算括号里面的，再算除法，也可以先用乘法分配律进行计算，最后求差。再算除法，也可以先用乘法分配律进行计算，最后求差。总之，分式混合运算的综合性较强，解题时应遵循运算顺序、总之，分式混合运算的综合性较强，解题时应遵循运算顺序、法则进行变形。有些题目需要注意其结构特点，选择恰当的法则进行变形。有些题目需要注意其结构特点，选择恰当的方法来解决。方法来解决。数学北师版（bs）第五章第五章 | 复习复习例例6 考点四分式的化简、求值考点四分式的化简、求值数学北师版（bs）第五章第五章 | 复习复习例例7 考点五分式方程考点五分式方程技巧总结技巧总结去分母时，方程两边同乘最简公

46、分母，不能漏乘去分母时，方程两边同乘最简公分母，不能漏乘常数项。常数项。数学北师版（bs）第五章第五章 | 复习复习例例8数学北师版（bs）第五章第五章 | 复习复习方法总结方法总结解分式方程应用题和解一元一次方程应用题找相等解分式方程应用题和解一元一次方程应用题找相等关系的方法是相同的，不同的是分式方程的数量关系大多是以分关系的方法是相同的，不同的是分式方程的数量关系大多是以分式的形式出现的。式的形式出现的。解：设该市规定三口之家楼房每月超标部分水每立方米收费解：设该市规定三口之家楼房每月超标部分水每立方米收费x元根据题意，得元根据题意，得解这个方程，得解这个方程，得x2.9，经检验，经检验

47、x2.9是原方程的根且符合题意是原方程的根且符合题意答：该市规定三口之家楼房每月超标部分水每立方米收费答：该市规定三口之家楼房每月超标部分水每立方米收费2.9元元 数学北师版（bs）第五章第五章 | 复习复习易错提示易错提示检验是解分式方程必不可少的步骤。注意：解分式检验是解分式方程必不可少的步骤。注意：解分式方程的检验与解一元一次方程的检验是不同的，解一元一次方程方程的检验与解一元一次方程的检验是不同的，解一元一次方程验根的目的只是检验解答的过程有无错误；而解分式方程验根的验根的目的只是检验解答的过程有无错误；而解分式方程验根的目的是在解答无误的前提下看是否有增根，检验的办法是把结果目的是在

48、解答无误的前提下看是否有增根，检验的办法是把结果代入原方程的各分母，看是否为零，也可直接代入最简公分母，代入原方程的各分母，看是否为零，也可直接代入最简公分母，看是否为零。看是否为零。数学北师版（bs）第五章第五章 | 复习复习试卷讲练考查意图分式及分式方程是课程标准中数与式的重要组成部分，在各类考试及中考中常单独命题或与不等式综合，占有一定的比重，多以填空题、选择题和综合题的形式出现本卷主要考查了分式的概念及意义、分式的加减乘除、分式方程及应用，重点考查了分式的运算及分式方程难易度易1，2，3，4，5，6，7，8，10，11，12，13，14，17，18，19，21，22中9，15，16，2

49、0难23，24数学北师版（bs）第五章第五章 | 复习复习知识与技能分式的相关概念及意义1，2，3，4，6，8，14分式的乘除18，19，21分式的加减5，7，11，16，18，19，21分式方程9，13，14，17，20分式方程的应用10，22，23，24思想方法转化思想19类比思想7，15，20亮点7，20题为“新运算”试题，让学生有探究新知识的欲望，体现了类比和创新能力；23题以人物对话和图形给出信息判断决策新题型，试题具有新颖性.数学北师版（bs）针对第针对第1题训练题训练 第五章第五章 | 复习复习a针对第针对第7题训练题训练 x3 数学北师版（bs）针对第针对第11题训练题训练第五

50、章第五章 | 复习复习针对第针对第17题训练题训练数学北师版（bs）针对第针对第23题训练题训练第五章第五章 | 复习复习近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨，请近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨，请你根据下面的信息，帮小明计算今年你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格月份汽油的价格(只需列只需列出方程，不需要求解出方程，不需要求解)图图51数学北师版（bs）第五章第五章 | 复习复习针对第针对第24题训练题训练甲、乙两人分别从甲、乙两人分别从a、b两地到两地到c地，且甲、乙二人均匀速行驶，地，且甲、乙二人均匀速行驶，甲从甲从a地到地到c地需地需3小时，

51、乙从小时，乙从b地至地至c地需地需2小时小时40分，已知分，已知a、c两地间的距离比两地间的距离比b、c两地间的距离远两地间的距离远10千米，每行千米，每行1千米甲比千米甲比乙少花乙少花10分钟分钟(1)求求a、c两地间的距离；两地间的距离；(2)假设假设ac、bc、ab这三条道路均为直的，则求这三条道路均为直的，则求a、b两地之两地之间距离间距离d的取值范围的取值范围数学北师版（bs）第五章第五章 | 复习复习解：解：(1)设甲、乙每分钟的行进速度分别为设甲、乙每分钟的行进速度分别为x千米千米/分钟，分钟，y千米千米/分钟，分钟，依题意，得依题意，得解得解得 经检验：经检验：x0.1，y0.

52、05是原方程组的解且符是原方程组的解且符合题意合题意a、c两地间的距离两地间的距离3600.118(千米千米)答：答：a、c两地间的距离为两地间的距离为18千米千米(2)b、c两地间的距离为两地间的距离为2600.05400.058(千米千米)，当当a、b、c三点在同一直线时，三点在同一直线时，ab之间的距离最短为之间的距离最短为18810(千米千米)，最长是，最长是81826(千米千米)因此因此d的取值范围是的取值范围是10d26.数学北师版（bs）阶段综合测试四(月考二)数学北师版（bs）试卷讲练阶段综合测试四阶段综合测试四(月考二月考二)考查意图因式分解和分式都是课程标准中数与式的重要组

53、成部分，在各类考试中多以选择题、填空题的形式命题，或在综合题中考查，本卷主要考查这两章相关知识难易度易1，2，3，4，5，6，7，11，12，13，14，17，18，19，22中8，9，16，20，21难10，15，23，24知识与技能因式分解1，7，10，11，12，14，17，18，20，23分式2，3，5，6，8，9，13，19，21，22，24数学北师版（bs）阶段综合测试四阶段综合测试四(月考二月考二)思想方法转化思想21整体思想14数形结合思想20亮点15题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的；16题结合学生

54、生活实际，让学生感受到数学就在身边，体现了学以致用的思想；21题考查新定义概念，新定义题是今年的热点题，它的实质是一种规定，规定某种运算方式或规定某个概念的特征性质，然后要求参考者按照规定去计算、求值，理解概念，解决问题.数学北师版（bs）阶段综合测试四阶段综合测试四(月考二月考二)针对第针对第9题训练题训练d 针对第针对第10题训练题训练对于一个自然数对于一个自然数n，如果能找到自然数，如果能找到自然数a(a0)和和b(b0)，使，使n1abab，则称，则称n为一个为一个“十字相乘数十字相乘数”，例如，例如411111，则，则4是一个是一个“十字相乘数十字相乘数”，在，在120这这20个自然

55、个自然数中，数中，“十字相乘数十字相乘数”共有共有_个个11 数学北师版（bs）阶段综合测试四阶段综合测试四(月考二月考二)针对第针对第14题训练题训练针对第针对第15题训练题训练d a 数学北师版（bs）阶段综合测试四阶段综合测试四(月考二月考二)为保证达万高速公路在为保证达万高速公路在2012年底全线顺利通车，某路段规定在年底全线顺利通车，某路段规定在若干天内完成修建任务已知甲队单独完成这项工程比规定时若干天内完成修建任务已知甲队单独完成这项工程比规定时间多用间多用10天，乙队单独完成这项工程比规定时间多用天，乙队单独完成这项工程比规定时间多用40天，如天，如果甲、乙两队合作，可比规定时间

56、提前果甲、乙两队合作，可比规定时间提前14天完成任务若设规天完成任务若设规定的时间为定的时间为x天，由题意列出的方程是天，由题意列出的方程是()针对第针对第16题训练题训练b数学北师版（bs）阶段综合测试四阶段综合测试四(月考二月考二)针对第针对第21题训练题训练图图yk21数学北师版（bs）阶段综合测试四阶段综合测试四(月考二月考二)针对第针对第24题训练题训练某园林队计划由某园林队计划由6名工人对名工人对180平方米的区域进行绿化，由于平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了施工时增加了2名工人，结果比计划提前名工人，结果比计划提前3小时完成任务若小时完成任务若每人每小时绿化面积相同，求每人

57、每小时的绿化面积每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积数学北师版（bs）第六章 复习（一）数学北师版（bs）一、平行四边形的概念与性质一、平行四边形的概念与性质1两组对边分别两组对边分别_的四边形叫做平行四边形的四边形叫做平行四边形2平行四边形是平行四边形是_对称图形，对称图形，_是它是它的对称中心的对称中心3平行四边形的性质：平行四边形的性质：(1)平行四边形的对边平行四边形的对边_；(2)平行四边形的对角平行四边形的对角_，(邻角邻角_)；(3)平行四平行四边形的对角线边形的对角线_点拨：点拨：(1)平行四边形的对边的性质要从位置与数量两个方面考虑；平行四边形的对边的性质要从位置与

58、数量两个方面考虑；(2)若一条直线过平行四边形的对角线的交点，那么这条直线等分若一条直线过平行四边形的对角线的交点，那么这条直线等分平行四边形的面积平行四边形的面积知识归纳第六章第六章 | 复习（一）复习（一）平行平行中心中心两条对角线的交点两条对角线的交点平行且相等平行且相等相等相等互补互补互相平分互相平分数学北师版（bs）平行平行二、平行四边形的判定二、平行四边形的判定1从对边看：从对边看：(1)两组对边分别两组对边分别_的四边形叫做平行四的四边形叫做平行四边形；边形；(2)两组对边分别两组对边分别_的四边形是平行四边形；的四边形是平行四边形；(3)一组对边一组对边_的四边形是平行四边形的

59、四边形是平行四边形2从对角看：两组对角分别从对角看：两组对角分别_的四边形是平行四边形的四边形是平行四边形3从对角线看：对角线从对角线看：对角线_的四边形是平行四边形的四边形是平行四边形相等相等平行且相等平行且相等相等相等互相平分互相平分第六章第六章 | 复习（一）复习（一）数学北师版（bs）图图61图图62第六章第六章 | 复习（一）复习（一）数学北师版（bs）考点攻略a 考点一平行四边形的性质考点一平行四边形的性质图图63 第六章第六章 | 复习（一）复习（一）数学北师版（bs）解析解析 a 平行四边形两条对角线把它分成的四个三角形中有平行四边形两条对角线把它分成的四个三角形中有两对全等三

60、角形，但是这四个三角形的面积都是相等的，因两对全等三角形，但是这四个三角形的面积都是相等的，因为为aod与与aob是等底等高的，是等底等高的，a正确；平行四边形的对正确；平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等也不一定垂直，所以角线互相平分，但不一定相等也不一定垂直，所以b、c错错误；平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，误；平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，d错误错误故选故选a.方法总结方法总结解题的关键是理解并掌握平行四边形的性质，即解题的关键是理解并掌握平行四边形的性质，即边的性质；对边平行且相等；边的性质；对边平行且相等；角的性质：对角相等，邻角互角的性质：对角相等，邻角互