高一数学同角三角函数的基本关系练习题练习题

1、同角三角函数的基本关系【课前复习】1 .叙述任意角三角函数的定义.2 .计算下列各式的值：sin 230° + cos 230° =; sin 2420° + cos 2420° =;sin 455二5 二cos45 n=； tan 6 - cot 6 =.【学习目标】1 .掌握同角三角函数的基本关系式： sin 2 a+cos2 a = 1, cosct =tan a , tan a cot a =1.2 .运用同角三角函数的基本关系式解决求值问题.【基础知识精讲】本课时的重点是同角三角函数关系式及其变式的应用，难点是三角函数值符号在不同象限时的确定.

2、1 .同角三角函数的基本关系式，反映三角函数之间的内在联系.它们都是根据三角函数的定义推导出来的.亦可 以利用单位圆用几何方法推出.2 .对同角三角函数基本关系式的应用应注意：(1)关系式中要注意同角.例如sin 2 a +cos2B =1就不恒成立.k 二(2)关系式仅当a的值使等式两边都有意义时才成立.如，当 a = 2 (kG Z)时，tan a cot a =1就不成立.(3)对公式除了顺用，还应用逆用、变用、活用.例如，由sin2a + cos2 a = 1 ,可变形为 cos 2a = 1 sin 2a , cos a2,(sin 工'cos.：s) -1=± V

3、1 sin a , 1 = sin 2 a + cos2 a , sin a cos a =2等.(4)注意"1"的代换，可用 sin 2 a+cos2 a , tan a cot a等去代换1.3 .用同角三角函数的基本关系式时一定要注意“同角”，至于角的表达形式是无关重要的，如：sin 22a +cos22aa sin 2a a cos=1, tan 2 =2 , tan4 a - cot4 a = 1 等.4 . sin 2a是(sin a ) 2的简写，读作“sin &的平方"，而不能写成 sin “2,前者是&的正弦值的平方，后者是 a的

4、平方的正弦，两者是不同的.5 .同角三角函数的基本关系式有哪些应用？(1)已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求出其余两个；(2)化简三角函数式；(3)证明简单的三角恒等式.其中，根据角 a三边所在象限求出其三角函数值，是本课时的一个难点，它的结果不唯一，需要讨论，正确运用 平方根及象限角的概念，是解决这一难点的关键.6 .根据一个任意角的正弦、余弦、正切中的一个值求其余两个值(简称“知一求二”)时，如何判断是一组结果还是两组结果？如果角所在象限已指定，那么只有一组解；如果角所在象限没有指定，一般应有两组解.7 .基本关系式的重要等价变形有哪几个？常用的有以下几个：sin 2 a =1

5、cos2 a ；cos2a = 1 sin 2 a ; sin a =cos a tan a ； cos a = tan £ ； (sin a ±cos a )8 = 1 + 2sin a cos a ;【学习方法指导】例1已知a是第三象限角且tan a =2,求cos a的值.分析：本题是1992年高考题，虽然简单，但有很高的训练价值，下面给出两种解法.解法一：（公式法）由 tan a = 2 知 cos a =2, sin a = 2cos a , sin 2 a = 4cos2 a ,而 sin 2 a + cos2a = 1 , ： 4cos2 a 1+ cos a

6、 = 1 , cos a = 5 -,5由a在第三象限知cos a = 5解法二：（锐角示意图法）5先视a为锐角，作锐角示意图，如图44 1,则cosABO 5.5a是第三象限角，：cos a = 5 .当已知角的一个三角函数值是字母时，如何求其他三角函数值？例 2已知 sin a = m （| m<1 ），求 tan a , cos a .分析：由sin a求cos a ,需用公式sin 2a + cos2 a =1,但cos a取正或取负应根据 a所在象限来确定，所以需 对a分类讨论.解：(1)当一1<m<1,且 miO 时，若 a 在第一、四象限，则 cos a = )

7、1 -sin2 a = J1 -m2 ,sin一mm 1 -m2tan a = cos°f = <1 -m2 =1 - m2；2若a在第二、三象限，则 cos a =- F1 m ,sin 二一m ,1 -m2'2tan a = cos a1 m(2)若 m= 0,贝 U a = k Tt (kZ),-.tan a =0, cos a = ± 1.点评：当已知角 a的一个三角函数值为字母时，应对 a分类讨论.4例3已知tan a = 3 ,求下列各式的值：2 cos 二 3sin ;(1) 3cosa+sina ； (2) 2sin 2 a + sin a c

8、os a -3cos2 a .分析：根据题目的条件，可将欲求值的式用tan a来表达.解:(1)原式=42 3 (-)3_2 3tan:q / 4 3 ( 一力3 +tana =3(2)原式=2222sin 二+sin 二 cos: -3cos : 2tan 二+tan : -322' 2"sin a +cos a = tan a +14 242 (- )2 (- )-3334 2匚)1725点评：本例的解法，体现了一种转化与化归的数学思想方法，把含有正弦、余弦的分式和齐次式转化为只含有正切 的式子是常用的三角变换技巧.【知识拓展】1.根据同角三角函数的基本关系式及三角函数的

9、定义，可得出八个式子.2 .2,2,sin a +cos a =1,. 22<1 +tan « =sec 口,i,221 + cot 0= csc a即工tan 二 cot: =1sin 工 csc- -1cos ： sec =1sin ;tan =二cos .：icot ：=cos二sin工2.同角三角函数的基本关系式是整个三角函数一章的重点内容之一，应牢记三个基本公式，并能正确地运用它们 进行三角函数求值、化简、证明.在应用中逐渐掌握解题技巧：如“1”的变形，切化弦思想，等价转化的思想.本周强ft练习*.【同步达纲训练】一、选择题1 .右 sin a5 ,且a是第二象限角，

10、则tan a的值等于(4334A. - 3B. 4C. + 4D. + 312.已知sina + cos a = 5,且 00a<Tt,那么tan a等于（）4334A. - 3B. - 4C. 4D. 33.若 sin 4a+ cos4 a = 1,贝U sin a + cos a等于（）A. +2B. 1C. 1D. +1二、填空题cos.二二 2sin ;4 .若 sin a + 3cos a = 0,则 2 cosot 3sin 3 的值为.5 .已知 tan a =2,则 sin a cosa =.三、解答题6 .已知 tan 0 +cost 0 =2,求：（1） sin 9

11、- cos 9 的值；（2） sin 9 + cos 9 的值；（3） sin 3 9 + cos3 9 的值.适旅定作业后南高答案!参考答案【课前复习】1 .（略）2 . 1 1 1 1【同步达纲训练】3sin 工一、1 . A根据a是第二象限角，由平方关系可得cos a 二=5 ,从而 tan a =cos a1 sin 0 +cosa = 一522Sin a +cos a =1 得sina=4'3 sina = 一2. A解方程组cosa-5_35或54 coset =1L5434又因为00a <无，故取sin a = 5 ,这时cos a = 5 ,求得tan a = 3

12、 .3 . D （ sin 2 a + cos 2a） 2= sin 4 a + cos4 a + 2sin 2 a cos2 a = 1 + 2sin 2 a cos2 a , sin 2 a + cos2 a = 1 sin 2tx cos2 a =0sin a cos当 sin a = 0 时，cos a = + 1当 cos a = 0 时，sin a = + 1.;所以 sin a + cos a = + 1.51 2tan:1-65二、4. 11由已知可得 tan a =3,于是原式=2 -3tana 2+9 =11._. 22._51sin :工，cos、工1155. 2 since cos a =since cosa= tan a + tan a =2+ 2 = 2.一 .2 .2 .sin 1 cos r sin cos i三、6.解：(1)-. tan 9 +cot 9 =2, ： cosQ + sin9 =2, sin6 cosQ=21 .sin 0 - cos 0 = 2；工(2) ( sin 9 + cos 9 ) 2 = sin 2 9 +2sin 9 - cos 9 +cos2 9 = 1 + 2X 2=21同号，从而sin。+cos 0 =又 tan