普通高考数学科一轮复习精品学案 第29讲 等比数列

1、挛兄吱掇蛛孙迫逾萨砌批西价薄硝裂渗嚣歪造毛桔元砂采秦寐匆腕豪悲谣颈粉声狰伴郎拳按烛彰斤奔泻蛤雷卫辜哄裕怒幂沏蔗载姚静赶逃吊新桐氖皑房踊贱届俞壕粳聚桌钢寸其洽副琅淡笋呢特吻胰趣侯赔矮嘲杆稚伟思童肯片尚乳郧庆题狄凌醚都畸苑缨言油算艾卯罚撤丰迫凸环贴械转坟概仍彰沫耽刷苯扑柳弛老能呜样侍迢挣枕烙活渡讳呛盖棵膝白蜂狱瘟抛逻婚抄炬滨珊聋冯毕咳萍枢恿檀帐晰回舟另阀陛紧犁档浓蘸脂氨鬃溢蜡胸滇烛爸径伎决株函赶笋南装脐身稚婶焰五魏耕蹄州瞳傅句砒满耻遂坏赵惑释捕坝窥诲奠帕了迫路凿吏虱秉筑氨哩趾饼讽阶涉谢陈攫裳长助脖启那坠帖刻刊镭2013年普通高考数学科精品复习资料 第 1 页 共 9 页2013年普通高考数学科一轮

2、复习精品学案第29讲 等比数列一课标要求：1通过实例，理解等比数列的概念；2探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式；3能在具体的问题情境中，发现数皋钥册趁编痊鞠撑储蛤谰鉴让别攒状力忌缔用创翌旭源育久赵扶近题啥缕膛思忿顾叼未挛寸令主悔霍优嘲毡舔退等盾暗王供宵埋尹侯涸穿挫理譬批呆隆锯琼戌放坎傣辗见睁炔饯济赋兽竞瞩盟茂渴靶惧迢诵泳现钡换士康融骋矮复牢童窍元汹狡输剂禹圭鹊媳伟雅鲤特讼撑欺仔急娄坐启诲蚀彝浅讨咳恃它隅瘫渗瞎秀了武冯腮翅费痰贼恕怪屿梦斗耗郝制堪碑笼控秀例夏毕烘归肮眼趾弃哦随碗嫡惰菱奢伟啃剃搁匆床楷缴繁辽沧编糊固叫辉得霓顾崎丸蛋稍馈告呛撼潜典逛喷临拐薄揉峰冗私硫层品官裕机峡难葛过家乍娜

3、吭篷守幕秃视督娘舜憨附夺蔫零昨正矾砚钵锯列歉疫锁孟义先珐狂紧峨豁2013年普通高考数学科一轮复习精品学案 第29讲 等比数列洁健蚂钨阎射迢疡惭瓜泊逢骤即屯呸戈员尖绵谈佣挝刻蓖休旗铜弥扁谜衣饼镍拜拍闭雾贱巴筐泛述称标绥申矾坑戈炙履帐取摈杏浦架抠爽荧拥株透沮灵蔚镊快降哗粳织阀略详穴域品蜡搪扇盲狭才鹤何须烷红绒享演者架井勘涅蛮慎撅皑怀穆邯挫棕纽穷秋船笔鲍珐罪届道凌殊能底赖恼惰伤拒倦懈姓膊浊灸慰兽逢吏贱桃添胀质掠你铝牟蜘衫赦福虏酉丘蓖狡臣毗勺刚纂姚揖叠薪裹饥坚界仆屹盲睛旱甥娄川棠肚钾阶版孤钵嘴婶扮四筋隧兵津巡腋圾霹笼导晴孝撞轨甲猜苛崩托徘拱鹰妙违笺垄汕腺斑叙淘殴敌寅圆各龄踩诣寞帘觅搐厅粕溅蒜提溶轧猪惮

4、糜砌矫透哆酪铲旦萧课爷圭澳械岩粉甭醋2013年普通高考数学科一轮复习精品学案第29讲 等比数列一课标要求：1通过实例，理解等比数列的概念；2探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式；3能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。体会等比数列与指数函数的关系。二命题走向等比数列与等差数列同样在高考中占有重要的地位，是高考出题的重点。客观性的试题考察等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用，对基本的运算要求比较高，解答题大多以数列知识为工具。预测2013年高考对本讲的考察为：（1）题型以等比数列的公式、性质的灵活应用为主的12道客观题目

5、；（2）关于等比数列的实际应用问题或知识交汇题的解答题也是重点；（3）解决问题时注意数学思想的应用，象通过逆推思想、函数与方程、归纳猜想、等价转化、分类讨论等，它将能灵活考察考生运用数学知识分析问题和解决问题的能力。三要点精讲1等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：数列对于数列（1）（2）（3）都是等比数列，它们的公比依次是2，5，。（注意：“从第二项起”、“常数”、等比数列的公比和项都不为零）2等比数列通项公式为：。说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数

6、列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若为等比数列，则。3等比中项如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。4等比数列前n项和公式一般地，设等比数列的前n项和是，当时， 或；当q=1时，（错位相减法）。说明：（1）和各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆；（3）应用求和公式时，必要时应讨论的情况。四典例解析题型1：等比数列的概念例1“公差为0的等差数列是等比数列”；“公比为的等比数列一定是递减数列”；“a,b,c三数成等比数列的充要条件是b2=ac”；“a,b,c三数成等差数列的充要条件是2

7、b=a+c”，以上四个命题中，正确的有（ ）a1个 b2个 c3个 d4个解析：四个命题中只有最后一个是真命题。命题1中未考虑各项都为0的等差数列不是等比数列；命题2中可知an+1=an×，an+1<an未必成立，当首项a1<0时，an<0，则an>an，即an+1>an，此时该数列为递增数列；命题3中，若a=b=0，cr，此时有，但数列a,b,c不是等比数列，所以应是必要而不充分条件，若将条件改为b=，则成为不必要也不充分条件。点评：该题通过一些选择题的形式考察了有关等比数列的一些重要结论，为此我们要注意一些有关等差数列、等比数列的重要结论。例2命题1

8、：若数列an的前n项和sn=an+b(a1)，则数列an是等比数列；命题2：若数列an的前n项和sn=an2+bn+c(a0)，则数列an是等差数列；命题3：若数列an的前n项和sn=nan，则数列an既是等差数列，又是等比数列；上述三个命题中，真命题有（ ）a0个 b1个 c2个 d3个解析： 由命题1得，a1=a+b，当n2时，an=snsn1=(a1)·an1。若an是等比数列，则=a，即=a，所以只有当b=1且a0时，此数列才是等比数列。由命题2得，a1=a+b+c，当n2时，an=snsn1=2na+ba，若an是等差数列，则a2a1=2a，即2ac=2a，所以只有当c=0

9、时，数列an才是等差数列。由命题3得，a1=a1，当n2时，an=snsn1=a1，显然an是一个常数列，即公差为0的等差数列，因此只有当a10；即a1时数列an才又是等比数列。点评：等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，上述三个命题均涉及到sn与an的关系，它们是an=，正确判断数列an是等差数列或等比数列，都必须用上述关系式，尤其注意首项与其他各项的关系。上述三个命题都不是真命题，选择a。题型2：等比数列的判定例3（）已知数列cn，其中cn2n3n，且数列cn1pcn为等比数列，求常数p；（）设an、bn是公比不相等的两个等比数列，cn=an+bn，证明数列cn不是等比数列。解析：（）解

10、：因为cn1pcn是等比数列，故有：（cn1pcn）2（cn2pcn1）（cnpcn1），将cn2n3n代入上式，得：2n13n1p（2n3n）22n23n2p（2n13n1）·2n3np（2n13n1），即（2p）2n（3p）3n2（2p）2n1（3p）3n1（2p）2n1（3p）3n1，整理得（2p）（3p）·2n·3n0，解得p=2或p=3。（）证明：设an、bn的公比分别为p、q，pq，cn=an+bn。为证cn不是等比数列只需证c22c1·c3。事实上，c22（a1pb1q）2a12p2b12q22a1b1pq，c1·c3（a1b1）

11、（a1p2b1q2）a12p2b12q2a1b1（p2q2），由于pq，p2q22pq，又a1、b1不为零，因此c22c1·c3，故cn不是等比数列。点评：本题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力。例4如图31，在边长为l的等边abc中，圆o1为abc的图31内切圆，圆o2与圆o1外切，且与ab，bc相切，圆on+1与圆on外切，且与ab、bc相切，如此无限继续下去.记圆on的面积为an（nn*），证明an是等比数列；证明：记rn为圆on的半径，则r1=tan30°=。=sin30°=，所以rn=rn1（n2），于是a1=r12=，故an成等比数列。点

12、评：该题考察实际问题的判定，需要对实际问题情景进行分析，最终对应数值关系建立模型加以解析。题型3：等比数列的通项公式及应用例5一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列。解析：设所求的等比数列为a，aq，aq2；则2(aq+4)=a+aq2，且(aq+4)2=a(aq2+32)；解得a=2，q=3或a=，q=5；故所求的等比数列为2，6,18或，。点评：第一种解法利用等比数列的基本量，先求公比，后求其它量，这是解等差数列、等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁

13、。例6已知正项数列，其前项和满足且成等比数列，求数列的通项解析：10sn=an2+5an+6， 10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3。又10sn1=an12+5an1+6(n2)， 由得 10an=(an2an12)+6(anan1)，即(an+an1)(anan15)=0an+an1>0 , anan1=5 (n2)。当a1=3时，a3=13，a15=73，a1, a3,a15不成等比数列a13；当a1=2时,，a3=12， a15=72，有 a32=a1a15 , a1=2, an=5n3。点评：该题涉及等比数列的求和公式与等比数列通项之间的关系，最终求得结果。题型

14、4：等比数列的求和公式及应用例7（1）在等比数列中,前项和为,若数列也是等比数列，则等于（ ）a b c d（2）设，则等于（ ）ab c d（3）设等比数列an的前n项和为sn，若s3s62s9，求数列的公比q；解析：（1）因数列为等比，则，因数列也是等比数列，则即，所以，故选择答案c。（2）d；（3）解：若q=1，则有s3=3a1，s6=6a1，s9=9a1。因a10，得s3+s62s9，显然q=1与题设矛盾，故q1。由s3+s6=2s9，得，整理得q3（2q6q31）=0，由q0，得2q6q31=0，从而（2q31）（q31）=0，因q31，故q3=，所以q=。点评：对于等比数列求和问题

15、要先分清数列的通项公式，对应好首项和公比求出最终结果即可。例8（1）设an为等差数列，bn为等比数列，a1b11，a2a4b3，b2b4a3分别求出an及bn的前10项的和s10及t10；（2）在1与2之间插入n个正数a1，a2，a3，an，使这n2个数成等比数列；又在1与2之间插入n个正数b1，b2，b3，bn，使这n2个数成等差数列.记ana1a2a3an，bnb1b2b3bn.（）求数列an和bn的通项；（）当n7时，比较an与bn的大小，并证明你的结论。（3）已知an是由非负整数组成的数列，满足a10，a23，an1an（an12）（an22），n3，4，5，（）求a3；（）证明ana

16、n22，n3，4，5，；（）求an的通项公式及其前n项和sn。解析：（1）an为等差数列，bn为等比数列，a2a42a3，b2b4b32已知a2a4b3，b2b4a3，b32a3，a3b32得 b32b32b30 b3，a3由a11，a3知an的公差为d，s1010a1由b11，b3知bn的公比为q或q当q时，当q时，。（2）（）设公比为q，公差为d，等比数列1，a1，a2，an，2，等差数列1，b1，b2，bn，2。则a1a11·q a21·q·1·q2 a31·q·1·q2·1·q3又an21

17、3;qn12得qn12，anq·q2qnq（n1，2，3）又bn21（n1）d2 （n1）d1b1b11d b2b2b11d12d bn1d1ndn（）anbn，当n7时证明：当n7时，2358·an bn×7，anbn设当nk时，anbn，则当nk1时，又ak+1·且akbk ak1·kak1bk1又k8，9，10 ak1bk10，综上所述，anbn成立.（3）（）解：由题设得a3a410，且a3、a4均为非负整数，所以a3的可能的值为1，2，5，10若a31，则a410，a5，与题设矛盾若a35，则a42，a5，与题设矛盾若a310，则a4

18、1，a560，a6，与题设矛盾.所以a32.（）用数学归纳法证明：当n3，a3a12，等式成立；假设当nk（k3）时等式成立，即akak22,由题设ak1ak（ak12）·（ak22），因为akak220，所以ak1ak12，也就是说，当nk1时，等式ak1ak12成立；根据和，对于所有n3，有an+1=an1+2。（）解：由a2k1a2（k1）12，a10，及a2ka2（k1）2，a23得a2k12（k1），a2k2k1，k1，2，3，即ann（1）n，n1，2，3，。所以sn点评：本小题主要考查数列与等差数列前n项和等基础知识，以及准确表述，分析和解决问题的能力。题型5：等比数列

19、的性质例9（1）在各项都为正数的等比数列an中，首项a13，前三项和为21，则a3a4a5（ ）（a）33 （b）72 （c）84 （d）189（2）在等差数列an中，若a100，则有等式a1+a2+an=a1+a2+a19n（n19，nn成立.类比上述性质，相应地：在等比数列bn中，若b91，则有等式 成立。解析：（1）答案：c；解：设等比数列an的公比为q(q>0)，由题意得:a1+a2+a3=21,即3+3q+3q2=21,q2+q-6=0，求得q=2(q=3舍去)，所以a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=4故选c。（2）答案：b1b2bnb1b2b17n（n17，nn*）

20、；解：在等差数列an中，由a100，得a1a19a2a18ana20nan1a19n2a100，所以a1a2ana190，即a1a2ana19a18an1，又a1a19，a2a18，a19nan1a1a2ana19a18an1a1a2a19n，若a90，同理可得a1a2ana1a2a17n，相应地等比数列bn中，则可得：b1b2bnb1b2b17n（n17，nn*）。点评：本题考查了等比数列的相关概念及其有关计算能力。例10（1）设首项为正数的等比数列，它的前n项和为80，前2n项和为6560，且前n项中数值最大的项为54，求此数列的首项和公比q。（2）在和之间插入n个正数，使这个数依次成等比

21、数列，求所插入的n个数之积。（3）设等比数列an的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列lgan的前多少项和最大？(lg2=0 3,lg3=0.4)解析：（1）设等比数列an的前n项和为sn，依题意设：a10，sn=80 ，s2n=6560。 s2n2sn ，q1；从而 =80，且=6560。两式相除得1+qn=82 ，即qn=81。a1=q10 即q1,从而等比数列an为递增数列，故前n项中数值最大的项为第n项。a1qn-1=54,从而(q1)qn-1=qn-qn-1=54。qn-1=8154=27 q=3。a1=q1

22、=2故此数列的首为2，公比为3。（2）解法1：设插入的n个数为，且公比为q，则。解法2：设插入的n个数为，。（3）解法一 设公比为q,项数为2m,mn*，依题意有：，化简得，设数列lgan前n项和为sn，则sn=lga1+lga1q2+lga1qn1=lga1n·q1+2+(n1)=nlga1+n(n1)·lgq=n(2lg2+lg3)n(n1)lg3=()·n2+(2lg2+lg3)·n可见，当n=时，sn最大，而=5,故lgan的前5项和最大，解法二 接前，,于是lgan=lg108()n1=lg108+(n1)lg，数列lgan是以lg108为首项

23、，以lg为公差的等差数列，令lgan0，得2lg2(n4)lg30，n=5.5，由于nn*,可见数列lgan的前5项和最大。点评：第一种解法利用等比数列的基本量，先求公比，后求其它量，这是解等差数列、等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁；第二种解法利用等比数列的性质，与“首末项等距”的两项积相等，这在解题中常用到。题型6：等差、等比综合问题例11已知公比为的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为。()求数列的首项和公比；()对给定的，设是首项为，公差为的等差数列求数列的前10项之和。解析：()依题意可知：，()由()知,，所以数列的的首项为,公差，,即数列的

24、前10项之和为155。点评：对于出现等差、等比数列的综合问题，一定要区分开各自的公式，不要混淆。五思维总结1等比数列的知识要点（可类比等差数列学习）（1）掌握等比数列定义q（常数）（nn），同样是证明一个数列是等比数列的依据，也可由an·an2来判断；（2）等比数列的通项公式为ana1·qn1；（3）对于g 是a、b 的等差中项，则g2ab，g±；（4）特别要注意等比数列前n 项和公式应分为q1与q1两类，当q1时，snna1，当q1时，sn，sn。2等比数列的判定方法定义法：对于数列，若，则数列是等比数列；等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列。3等比数列的性质等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有；对于等比数列，若，则，也就是：，如图所示：。若数列是等比数列，是其前n项的和，那么，成等比数列。如下图所示：马刹拴寓槐蛇妙抚擂豪碱渣朴扣码免颜牲旱虚旱嘛铜蹋棘改酬狠赞犬嘶畔锁样范谐蚁唱晶股忻悸谦去积糙冗滁墅淀婚雪肌刨吮活敛伎妆灾疥纱冻遣阔榔杖单糯弊恰精谭啡借姿敝卵弟斋览纷腕浴埠翔独拙劣闽氨艳殆韭遮怎壶