圆度误差处理模型及算法研究

1、圆度误差处理模型及算法研究杨亚辉 李会荣陕西国防工业职业技术学院 陕西户县 710300摘要：介绍了圆度误差处理的四种基本数学模型，并介绍了其对应的误差处理算法，提出圆度误差算法研究方向。关键词：圆度 误差处理 算法在加工回转类工件时，受工件材料、切削刀具、机床主轴回转等因素的影响，零件将产生圆度误差。因此，圆度误差是评定回转类工件加工精度的一项重要指标。在误差测量过程中，可以通过半径变化量测量或坐标测量获取误差原始数据，再通过一定的评定方法对数据进行处理，就可获得误差结果。借助于计算机技术处理误差，可得到较为准确的误差结果，处理误差的计算机算法已成为当前研究的热点。1 概述圆度是表示零件上圆

2、的要素实际形状，与其中心保持等距的情况，即通常所说的圆整程度。圆度误差就是实际圆偏离理想圆的状况，其误差区域用包容实际圆上各点的两同心圆环表示，并且同心圆环半径差为最小，该半径差即为圆度误差值，如图1所示。图1 圆度误差示意图2 数学模型在获取实际圆上各测量点数据后，可以采用最小区域法、最小二乘法、最大内接圆法和最小外接圆法这四种数据处理模型。圆度误差的评定应按最小区域法。常用的近似方法有最小外接圆法、最大内接圆法以及最小二乘法。在对圆度误差处理过程中，评定基准圆用方程表示为： （1）用di表示圆上各实际测量点到评定基准圆圆心的距离： （2）圆度误差结果用f表示如下： （3）式中，用dmax表

3、示实际圆上各测量点到评定基准圆圆心的最大距离；用dmin表示实际圆上各测量点到评定基准圆圆心的最小距离。2.1最小区域法用最小包容法来评定圆度误差，是用符合最小包容区域的包容圆作为评定基准圆，其符合交叉准则，即两同心圆包容实际圆，并且至少有四个测量点内外相间地分布在两个圆周上，如图2所示。图2 评定圆度误差的最小区域判别准则根据式（2）、（3）得到函数 （4）其关键是得到最小区域圆圆心（x0，y0）坐标，根据（3）式即可求出圆度误差值。2.2最小二乘法所谓最小二乘圆，是指实际圆上各测量点到评定基准圆的圆周距离的平方和为最小。以最小二乘圆为评定基准圆，以其圆心为圆心做实际圆的外接圆和内接圆包容实

4、际圆，该内接圆、外接圆的半径差为圆度误差值。如图3所示。图3 评定圆度误差的最小二乘圆设最小二乘圆的方程式为（1），得到函数： （5）求解函数的最小值，会得到最小二乘圆心（x0，y0）及最小二乘半径r，用（3）式可以计算出圆度误差值。2.3最小外接圆法采用最小外接圆法评定圆度误差，是以外接于实际圆且半径为最小的圆作为评定基准圆。以相同的圆心做实际圆的内接圆，两同心圆的半径差即为圆度误差。该基准圆要满足的条件：实际圆上至少有两点或三点通过基准圆，如为两点通过，则两点的连线为基准圆的直径；如三点通过，则三点连线应形成锐角三角形，并且实际圆上的所用点被该基准圆包容。如图4所示。图4 评定圆度误差的最

5、小外接圆由式（2）、（3）得到函数 （6）式（6）经优化求解，会求出最小外接圆心坐标（x0，y0），用（3）式可以计算出圆度误差值。2.4最大内接圆采用最大内接圆法评定圆度误差，是以内接于实际圆且半径为最大的圆作为评定基准圆。以相同的圆心做实际圆的外接圆，两同心圆的半径差即为圆度误差。该基准圆要满足的条件：实际圆上至少有两点或三点通过基准圆，如为两点通过，则两点的连线为基准圆的直径；如三点通过，则三点连线应形成锐角三角形，并且实际圆上的所用点被该基准圆包容。如图5所示。图5 评定圆度误差的最大内接圆由式（2）、（3）得到函数 （7）式（7）经优化求解，会求出最大内接圆心坐标（x0，y0），用（

6、3）式可以计算出圆度误差值。3 误差评定算法3.1最小区域法最小区域法评定圆度的核心问题是求出评定基准圆的圆心坐标，采用二位搜索法，程序设计思路如下：（1）选择交替的四个点作为控制点，交叉连直线，求两直线的斜率K1和K2。，（2）做两条直线的垂直平分线，得到交点求解方程组，得到交点坐标O（x，y）。（3）设定交点坐标O（x，y）为圆心，做一组同心圆。（4）判定实际圆上其它测量点是否在同心圆区域内，如在，将相应数据记录；如实际圆上任一测量点不在同心圆区域内，则不符合评定准则，则选取的四点组合无效。（5）重复步骤（1）到（4），知道符合评定准则的测量点所有组合完成。（6）对第四步记录的数据进行比较

7、，结果中最小的即为圆度误差值。其流程图如图6所示。图6 最小区域法求解圆度误差流程图3.2最小二乘法在采用最小二乘法评定圆度误差时，首先求出最小二乘圆圆心（x0，y0）坐标： （8）在上式中： （9）在求出最小二乘圆圆心（x0，y0）坐标后，有（2）（3）式可得到圆度误差值。由于在推导圆心的过程中，有时需要对坐标进行多次变换，当满足圆心坐标足够小时，方可结束坐标变换。如图7所示为其程序框图。图7 最小二乘法求解圆度误差3.3最小外接圆在采用最小外接圆法评定圆度误差时，可按两种情况进行分析：条件a，直线准则，有两点与基准圆接触，且两点的连线是基准圆的直径；条件b，三角形准则，有三点与基准圆接触，且三点的连线构成锐角三角形。在满足条件a或b的条件下形成评定基准圆，如果实际圆上所有测量点都在该基准圆的内部，那么该基准圆就是最小外接圆。如图8所示为求解程序流程图。图8 最小外接圆法求解圆度误差的程序流程图3.4最大内接圆最大内接圆法求解圆度误差的过程可参照最小外接圆法，在此不再赘述。4 结论随着计算机技术的发展及新国标的颁布，圆度误差评定计算机化已成为趋势；最小二乘法容易实现，已在圆度仪等设备上得到应用；圆度处理的算法还需进一步优化，尤其是未来采用测量信号分离、滤波等，对测量结果精度有更高要求时显得尤为重要。参考文献：1李柱,徐振高,蒋向前.互换性与测量技术-几何产品技术规范与认证GPS