第1节多元函数的基本概念

1、1第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学8.1 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 8.2 偏导数与高阶偏导数偏导数与高阶偏导数 8.3 全微分及其应用全微分及其应用 8.4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 8.5 隐函数的求导法则隐函数的求导法则 8.6 多元函数的极值及其多元函数的极值及其 应用应用 返 回calculus 第八章 多元函数微分学 返回 第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学目的要求目的要求 1.1.了解平面区域、点的邻域、开区域与闭区了解平面区域、点的邻域、开区域与闭区域等概念域等概念 2.2.理解

2、多元函数的概念，会求二元函数的定理解多元函数的概念，会求二元函数的定义域义域重点重点1.1.二元函数的概念二元函数的概念2.2.二元函数的连续性的概念二元函数的连续性的概念 3. 3. 了解二元函数的极限与连续性的概念以及了解二元函数的极限与连续性的概念以及有界闭区域上连续函数的性质有界闭区域上连续函数的性质第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 在在一元函数一元函数的微积分中，所讨论的对象都是的微积分中，所讨论的对象都是一元函数一元函数y=f(x)y=f(x)，即函数只依赖于一个自变量。，即函数只依赖于一个自变量。 在数学上，这种由多个因素才能确定的变量，在数学上，这种由多个因素

3、才能确定的变量，就是就是多元函数多元函数。 但在很多实际问题中，往往牵涉到多方面的因素，但在很多实际问题中，往往牵涉到多方面的因素，反映到数学上，就是一个变量依赖于多个变量的反映到数学上，就是一个变量依赖于多个变量的情形。情形。第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 一元函数的定义域是在一元函数的定义域是在数轴数轴上讨论，一上讨论，一般是一个区间（开区间、闭区间、半开半闭般是一个区间（开区间、闭区间、半开半闭区间）。区间）。平面上进行讨论，二元函数平面上进行讨论，二元函数z=f (x,y)的定义域的定义域在几何上表示一个在几何上表示一个平面区域平面区域。量多了一个，它的定义域很自然

4、地要扩充到量多了一个，它的定义域很自然地要扩充到但是对于二元函数而言，由于自变但是对于二元函数而言，由于自变一、平面区域一、平面区域 2.1 2.1 多元函数的基本概念多元函数的基本概念. ),(0 00 0pu记记为为( (不包含圆周不包含圆周) )，为半径的圆的内部为半径的圆的内部d d为一正数，为一正数，d d,),(000平平面面上上的的一一定定点点是是设设xoyyxp,为为圆圆心心则则以以0 0p 0 00 0 ppppu),(即即 22020)()(),( yyxxyx1、邻域、邻域（一）平面区域（一）平面区域一、平面区域一、平面区域的的后后，称称为为去去掉掉中中心心上上述述邻邻域

5、域0 00 00 0pp),p(u去心去心邻域邻域,. )p(u0 0简简记记为为. )(0 00 0pu简简记记为为称为点称为点 d d的的0p邻域邻域,),p(u0 0记记为为0p (neighborhood)任任一一点点，上上平平面面为为平平面面上上的的一一点点集集，是是设设xoypxoye内内点点：(1) 边界点：边界点：)3(的的某某个个邻邻域域，若若存存在在 p e:的的关关系系有有以以下下三三种种与与则则ep使使得得若若存存在在,0 d d:(2)外外点点, 的点的点既含有属于既含有属于的任何邻域内的任何邻域内若在若在ep的所有边界点集合称为的所有边界点集合称为e.的的内内点点是

6、是则则称称点点ep.的的外外点点是是则则称称点点ep.的边界点的边界点为点集为点集则称则称epe的边界。的边界。,),(epu ,),(, epu0 0使使得得即即存存在在,的点的点又含有不属于又含有不属于点点e2 2、区域、区域(region)(boundary) ,2 20 00 02 22 24 41 1ryxpyxyxe 点点设点集设点集例例: :中中总总有有的的去去心心邻邻域域，如如果果对对于于任任意意给给定定的的),(0 00 0pup (point of accumulation)2 2、区域、区域(region):(4)聚聚点点的的边边界界e. 3 3,.4 41 11 12

7、20 02 20 0 yx若若,.4 41 12 22 20 02 20 02 20 02 20 0 yxyx或或若若 ，也也可可不不属属于于本本身身可可属属于于中中的的点点eepe,ep 为为则则称称的聚点的聚点. .,的的内内点点为为则则点点ep,的的边边界界点点为为则则点点ep;的的聚聚点点也也是是 e;的的聚聚点点也也是是e .,4 41 12 20 02 20 02 20 02 20 0 yxyxyxe或或yo2 21 1 ,中中或或设设点点集集1 10 02 22 22 22 2 yxyxyxe例例: :中中总总有有的的去去心心邻邻域域，如如果果对对于于任任意意给给定定的的),(0

8、 00 0pup (point of accumulation)2 2、区域、区域(region):(4)聚聚点点 ，也也可可不不属属于于本本身身可可属属于于中中的的点点eepe,ep 为为则则称称的聚点的聚点. .,),(的的边边界界点点是是原原点点e0 00 0.的的聚聚点点但但不不是是exyo1 1 如果点集如果点集e内任意两点都能用全属于内任意两点都能用全属于e的折线或的折线或曲线连接起来，则称曲线连接起来，则称e为连通的为连通的. . 连通的开集称为开区域，简称区域连通的开集称为开区域，简称区域. .,为为开开集集则则称称的的内内点点的的点点都都如如果果点点集集eee:)(开开集集5

9、 5(6)连通：连通：(7)区域：区域： .41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo.41| ),(22 yxyx例如，例如，区域及其它的边界所成的集合称为闭区域区域及其它的边界所成的集合称为闭区域.2 2、区域、区域(region)xyo例例例例)1,1(xyo为无界开区域为无界开区域.0),( yxyxe区域区域1,10),( yxxyxe区域区域(8)有界与无界区域：有界与无界区域：否则称否则称e为为无界区域无界区域.使使一一切切点点如如果果存存在在正正数数对对于于区区域域,me,mapmapaep ，即即不不超超过过间间的的距距离离与与某某一一定定点点为为有有界界区区域域，则则称

10、称 e为有界闭区域为有界闭区域.2 2、区域、区域(region)注：注：n n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念 nrpppppu ,|),(00d dd d内点、边界点、区域等概念也可定义内点、边界点、区域等概念也可定义邻域：邻域：2 2、区域、区域(region) 导言：导言：多元函数是多元函数微积分学研究多元函数是多元函数微积分学研究的对象的对象. .同一元函数类似对于多元函数也有极同一元函数类似对于多元函数也有极限、连续等基本概念限、连续等基本概念.二、二、 多元函数的概念多元函数的概念在多元函数中的推广，它与一元函数相关内容在多元函数中的推广，它与一元函数相关内容类似

11、类似且密切相关，在这部分内容的学习中应注且密切相关，在这部分内容的学习中应注意与一元函数的意与一元函数的对比对比.在研究方法上把握在研究方法上把握一般一般与与特殊特殊之间辩证关系之间辩证关系.这些内容作为一元函数这些内容作为一元函数第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念矩形面积矩形面积 s 与长与长 x，宽，宽 y 之间关系为之间关系为 其中长其中长 x 和宽和宽 y 是两个独立的变量是两个独立的变量, 例例2 2著名著名 的生产的生产douglascobb 函数为函数为 ，lckq 这里这里 为常数，为常数，, c0, 0 kls= x y (x0, y0)例例1矩形面积矩形面积

12、 s 有惟一确定值对应有惟一确定值对应.当当x, y 的值取定后的值取定后, 内内,在它们变化范围在它们变化范围q就就 有惟一确定的值相对应有惟一确定的值相对应.值取定后值取定后, 当当k, l的的q是一个依赖于是一个依赖于k和和l的变化而变化的量的变化而变化的量q表示产量，表示产量，分别表示投入的劳动力数量和资本数量，分别表示投入的劳动力数量和资本数量， 在西方经济学中，在西方经济学中，二二、 多元函数的概念多元函数的概念第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念),(yx,),( ,),(dyxzyx ),(yxfz 其中其中 称为称为自变量自变量，yx,),(fd).(df设设d

13、为为 中的一个非空点集，中的一个非空点集，2rzdyxzf),(yx记为记为实数实数z的取值范围称为的取值范围称为值域值域，记为记为),(yx的变化范围的变化范围d称为函数的称为函数的定义域定义域，量量，z称为称为因变因变又记为又记为记为记为 f ：dr ，二元函数二元函数，则称映射则称映射f 为定义在为定义在d上的上的一确定的实数一确定的实数z与之对应，与之对应，都有都有惟惟使得对于使得对于d中中每一个有序实数对每一个有序实数对射射f ，若有一个映若有一个映1.定义定义二二. . 多元函数的概念多元函数的概念类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数定义域定义域d( f )

14、、对应法则、对应法则f函数的表示法：函数的表示法：（1）二元显函数）二元显函数 z=f(x,y)（2）二元隐函数）二元隐函数 f(x,y,z)=0确定函数的两要素：确定函数的两要素：多元函数多元函数二二. . 多元函数的概念多元函数的概念 2.二元函数的定义域二元函数的定义域 当用某个解析式表达二元函数时，当用某个解析式表达二元函数时，凡是使解析式凡是使解析式有意义的自变量所组成的有意义的自变量所组成的平面点集平面点集为该二元函数的为该二元函数的定义域定义域，.,1 22的示意图的示意图并作出并作出的定义域的定义域求函数求函数ddyxz 例例1 1解解, 0122 yx. 1),(22 yxy

15、xd,1 22 yx即即所以函数的定义域为所以函数的定义域为xy二元函数的定义域通常为二元函数的定义域通常为平面区域平面区域.要使函数有意义须满要使函数有意义须满足足有界闭区域有界闭区域二二. . 多元函数的概念多元函数的概念( (自然定义域自然定义域) )例例2 2.1)ln(22dyxxyxyz的的定定义义域域求求函函数数 解解 010022yxxyxy函数的定义域为函数的定义域为1, 0, 0),(22 yxxyxyyxdxyxy 要使函数有意义须满足要使函数有意义须满足无界开区域无界开区域 2.二元函数的定义域二元函数的定义域例例3.14arcsin2222的的定定义义域域求求 yxy

16、xz解解要使函数有意义要使函数有意义,必须必须 01142222yxyx41,22 yx即即故所求定义域为故所求定义域为 41),(22 yxyxd有界闭区域有界闭区域xyo41 2.二元函数的定义域二元函数的定义域 .,)3arcsin(),(222并并作作图图的的定定义义域域求求yxyxyxf solution. 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxd 例例4 2.二元函数的定义域二元函数的定义域 ?)ln(ln)(ln 是是同同一一函函数数吗吗与与yxxzyxxz solution. , 0)( )(ln yxxyxxz的

17、定义域为的定义域为 ,00 )ln(ln yxxyxxz的定义域为的定义域为 )ln(ln)(ln不是同一函数不是同一函数与与yxxzyxxz ).,(,),( 22yxfyxyxyxf求求设设 solution. )(),(yxyxyxyxf 2)(yxyxyx ,)(112yxyxyx .11),(2xyyyxf 例例5例例6换元法换元法 3.3.二元函数的几何图形二元函数的几何图形 设函数设函数 z = f (x, y) 的定义域为的定义域为d. ).,(yxfz ),(zyxm),(),(),(dyxyxfzzyx ),(yx),(zyxmxyz平面上的投影平面上的投影.而定义域而定义

18、域 d 正是这曲面正是这曲面在在oxy该几何图形通常是该几何图形通常是一张曲面一张曲面. 这个点集称为这个点集称为二元函数的图形二元函数的图形.得到空间点集得到空间点集d上的一切点时上的一切点时, 当当(x, y) 取遍取遍确定空间一点确定空间一点这样这样, 就就对应的函数值为对应的函数值为 ,),(dyxp 点点对于任意取定的对于任意取定的d一元函数一元函数 表示表示 x y平面上的平面上的一条曲线一条曲线y = f (x)221yxz 二元函数二元函数例例2 2xyzyxz 1二二元元函函数数例例1 1表表示示平平面面即即上上半半球球面面分分上上方方的的部部单单位位球球面面）在在半半径径为

19、为的的球球面面（称称为为,xoy,表表示示以以原原点点为为中中心心):(rd)1:(22 yxd 3.3.二元函数的几何图形二元函数的几何图形xyzoxyzsin 例例4图形如右图图形如右图.2222azyx 例例3如右图，为如右图，为球面球面.),(222ayxyxd 222yxaz .222yxaz 单值分支单值分支: 3.3.二元函数的几何图形二元函数的几何图形4. 多元函数的定义多元函数的定义 .,),(, 11记记为为元元函函数数的的为为则则称称的的值值和和它它对对应应按按照照一一定定法法则则总总有有确确定定变变量量如如果果对对于于每每一一个个点点维维空空间间内内的的点点集集设设有有

20、nxxuudxxpdnnn ),(21nxxxfu ),(:xfy 一元函数一元函数一个自变量一个自变量. ),(:yxfz 二元函数二元函数两个自变量两个自变量. ),(:zyxfu 三元函数三元函数三个自变量三个自变量. ),(:1nxxfun 元函数元函数n个自变量个自变量. n元函数在几何上表示元函数在几何上表示n+1维空间上的一般曲面维空间上的一般曲面. 二二. . 多元函数的概念多元函数的概念注意注意 (1) 多元函数也有单值函数和多值函数，如多元函数也有单值函数和多值函数，如2222azyx 在讨论过程中通常将其拆成几个单值函数后在讨论过程中通常将其拆成几个单值函数后再分别加以讨

21、论再分别加以讨论.(2) 多元函数也有分段函数，如多元函数也有分段函数，如 0 00 ),(222222yxyxyxxyyxf(3) 点函数点函数u=f(p)能表示所有的函数能表示所有的函数.(4) 函数有加减乘除数乘及复合运算函数有加减乘除数乘及复合运算(略略)二二. . 多元函数的概念多元函数的概念 (5)一元函数的一元函数的单调性单调性、奇偶性奇偶性、周期性周期性等等性质的定义在多元函数中不再适用，但性质的定义在多元函数中不再适用，但有界性有界性的定义仍然适用的定义仍然适用. .二二. . 多元函数的概念多元函数的概念三三. .多元函数的极限多元函数的极限 axfxxaaxfxxxxfx

22、x )(lim)()( 0000时时的的极极限限，记记为为为为，则则称称常常数数无无限限趋趋近近时时，附附近近有有定定义义，若若在在设设设函数设函数 z = f (x, y) 在点在点 的某一去心的某一去心),(000yxp时时当当0 00 0yyxx,方式方式趋于趋于定点定点 时时, ),(000yxp,),(lim00ayxfyyxx .),(lim),(),(ayxfyxyx 0 00 0或或记作记作的的极限极限，则称则称 a 为函数为函数 z = f (x, y)常数常数 a, 函数值函数值 f (x, y) 趋于一个趋于一个确定确定如果如果动点动点 p(x, y) 在该邻域内以在该邻

23、域内以任意任意邻域内有定义邻域内有定义, 1.定义定义（一）二元函数的极限（一）二元函数的极限 ( (二重极限二重极限) )指当指当p (x, y) 以以任意方式与方向任意方式与方向趋趋于定点于定点p0(x0, y0), 二元函数极限的说明二元函数极限的说明： (2)对于二元函数极限的对于二元函数极限的不存在不存在, 以不同路径趋于点以不同路径趋于点 时时, ),(000yxp在某一路径上点在某一路径上点p (x, y) 趋于点趋于点 的极限不存在的极限不存在,),(000yxp则可以断定函数在则可以断定函数在 点的极限不存在点的极限不存在.),(000yxp),(0 00 0yxxy特征特征

24、.即极限趋近方式具有即极限趋近方式具有任意性任意性于于a. 函数都无限接近函数都无限接近（1）对于二元函数极限的）对于二元函数极限的存在存在是是或或函数趋于不同的值函数趋于不同的值;则有则有若当点若当点 p (x, y)（两种路径）（两种路径）三三. .多元函数的极限多元函数的极限 例例1 1 考察函数考察函数 在在 处的极限是处的极限是否存在否存在. . x y -1.0-0.5-0.5-0.2-0.20 00.20.20.50.51.01.0-1.0-1.00.000.000.600.600.920.921.001.000.920.920.600.600.000.00-0.5-0.5-0.

25、60-0.600.000.000.720.721.001.000.720.720.000.00-0.60-0.60-0.2-0.2-0.92-0.92 -0.72-0.720.000.001.001.000.000.00-0.72-0.72 -0.92-0.920 0-1.00-1.00 -1.00-1.00 -1.00-1.00-1.00-1.00 -1.00-1.00 -1.00-1.000.20.2-0.92-0.92 -0.72-0.720.000.001.001.000.000.00-0.72-0.72 -0.92-0.920.50.5-0.60-0.600.000.000.720.

26、721.001.000.720.720.000.00-0.60-0.601.01.00.000.000.600.600.920.921.001.000.920.920.600.600.000.002222),(yxyxyxf )0,0(做出函数在点做出函数在点 附近的函数值表，如下附近的函数值表，如下)0 , 0(函数函数 在在 处的极限不存在处的极限不存在. .),(yxf)0 , 0(三三. .多元函数的极限多元函数的极限 例例1 1 证明函数证明函数 在在 处的极限处的极限不存在不存在. .2222),(yxyxyxf )0 , 0(让让 沿直线沿直线 而趋于而趋于 ，),(yxkxy

27、)0 , 0(22220limyxyxkxyx 它将随它将随k 的不同而具有不同的值的不同而具有不同的值. .极限极限 不存在不存在. .222200limyxyxyx 证证则有则有 2211kk )1()1(lim22220kxkxx 因此，因此，三三. .多元函数的极限多元函数的极限例例2 2 讨论函数讨论函数222222,0( , )0,0 xyxyxyf x yxy 解解 当当p(x,y)沿沿 x 轴轴趋于趋于(0,0)时时, 0,0)xy（ 当当p(x,y)沿沿 y轴趋于轴趋于(0,0)时时, 当当(x, y)(0, 0)时的极限。时的极限。)0,0( yx),(limyxfyx0

28、00 0),(lim0 00 0 xfx 0 00 0 xlim,0 0 ),(limyxfyx0 00 0),(limyfy0 00 0 ,0 0 三三. .多元函数的极限多元函数的极限当当p(x,y)沿沿 y=kx( ) 趋于趋于(0,0)时时,.0 k当当k取不同值时取不同值时,),(lim00yxfyx取不同值，取不同值，222222,0( , )0,0 xyxyxyf x yxy ),(lim00yxfyx22220limxkxkxkxyx 21kk .),(lim00不不存存在在故故yxfyx三三. .多元函数的极限多元函数的极限确定极限不存在的方法：确定极限不存在的方法： （2）

29、找两种不同趋近方式，找两种不同趋近方式，此时也可断言此时也可断言),(yxf在点在点若极限存在若极限存在,但两者不相等，但两者不相等，例例3 3 证明证明 不存在不存在 26300limyxyxyx 处极限不存在处极限不存在),(0 00 00 0yxp例例3 3 证明证明 不存在不存在 证证26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k的不同而变化的不同而变化，故极限不存在故极限不存在确定极限不存在的方法：确定极限不存在的方法：不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形

30、yxyxz 播放播放确定极限不存在的方法：确定极限不存在的方法：2. 2. 二元函数极限的计算二元函数极限的计算 对于未定型，不再有对于未定型，不再有lhospital法则，须化法则，须化成确定型成确定型. 二元函数极限与一元函数极限具有二元函数极限与一元函数极限具有类似类似的性的性质与运算法则质与运算法则. . 计算二元函数的极限时，常把二元函数极限计算二元函数的极限时，常把二元函数极限转化为一元函数极限问题，再利用四则运算法则、转化为一元函数极限问题，再利用四则运算法则、夹逼定理、作变量代换、两个重要极限、无穷小夹逼定理、作变量代换、两个重要极限、无穷小替换、对函数作恒等变换约去零因子、还可利用替换、对函数作恒等变换约去零因子、还可利用多元初等函数的连续性多元初等函数的连续性. 三三. .多元函数的极限多元函数的极限解解:例例4 4 求求 2 22 22 22 20 00 01 1yxyxyx sin)(lim2. 2. 二元函数极限的计算二元函数极限的计算 2 22 22 22 20 00 01 1yxyxyx sin)(lim. 0 0 二元函数极限与一元函数极限具有二元函数极限与一元函数极限具有类似类似的性质与运的性质与运算法则算法则. . 二元函数极限与一元函数极限具有二元函数极限与一元函