第1节定积分的概念与性质

1、1第六章第六章陶陶 宝宝数学与统计学院数学与统计学院2微积分学习注意事项微积分学习注意事项 1、课前预习、认真听讲、课后复习、多做作业. 2、微积分作业规范： 字迹工整，卷面整洁，题目之间空行.3、平时成绩考核:旷课一次扣10分,三次旷课取消考试资格!作业一次不交扣10分,三次不交取消考试资格!3一、曲边梯形的面积一、曲边梯形的面积第一节第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 由连续曲线由连续曲线 y = f (x) ( f (x) 0), 直线直线 x=a, x=b (ab)及及x轴所围成的平面图形的面积轴所围成的平面图形的面积)(xfy byoxa? s4abxyoabxyo用矩形面

2、积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）5,1210bxxxxxann 个分点，个分点，曲边梯形如图所示，曲边梯形如图所示，内插入若干内插入若干在区间在区间,baabxyoi ix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba长度为长度为，个小区间个小区间分成分成把区间把区间，上任取一点上任取一点在每个小区间在每个小区间iiixx ,1 iiixfs )( 为高的小矩形面积为为高的小矩形面积为为底，为底，以以)(,1iiifx

3、x 分割分割近似近似6iniixfs )(1 曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为iniixfs )(lim10 时时，趋趋近近于于零零即即小小区区间间的的最最大大长长度度当当分分割割无无限限加加细细)0(,max,21 nxxx曲边梯形面积为曲边梯形面积为求和求和取极限取极限（1 1）分割）分割（3 3）求和）求和（4 4）极限）极限（2 2）近似）近似72. 变速直线运动的路程变速直线运动的路程设某物体作变速直线运动设某物体作变速直线运动, ,( ),vv t 且且( )0,v t 求在一段时间内物体所经过的路程求在一段时间内物体所经过的路程s s. .解决步骤解决步骤: :1)

4、1) 分割分割. .1,iiitt 任任取取将它分成将它分成1,(1, 2,),iittin 在每个小段上物体经在每个小段上物体经2) 2) 近似近似. .(),iv 以以代代替替变变速速得得()iiisvt 01,1,ttn 在在中中任任意意插插入入个个分分点点(1, 2,)isin(1, 2, )in 已知速度已知速度n 个小段个小段过的路程为过的路程为83) 近似和近似和.1()niiisvt 4) 取极限取极限 .01lim()niiisvt 1(max)ii nt 上述两个问题的共性上述两个问题的共性: : 解决问题的方法步骤相同解决问题的方法步骤相同 : :“分割分割 , , 近似

5、近似 , , 求和求和 , , 极限极限 ” ” 所求量极限结构式相同所求量极限结构式相同: : 特殊乘积和式的极限特殊乘积和式的极限9设设函函数数)(xf在在,ba上上有有界界，记记,max21nxxx ，如如果果不不论论对对,ba在在,ba中任意插入中任意插入若若干干个个分分点点，bxxxxxann 1210把把区区间间,ba分分成成 n个个小小区区间间， 各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为1 iiixxx，), 2 , 1( i, 在各小区间上任取一点在各小区间上任取一点 作和作和iinixfs )(1 ， 二、定积分的定义二、定积分的定义定义定义怎怎样样的的分分法法，也也不不论论

6、在在小小区区间间,1iixx 上上点点i 怎怎样样的的取取法法，若若 iinixf )(lim10 存存在在， ，,1iiixx 10iinibaxfxxf )(limd)(10 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量：积积分分区区间间,ba称称这这个个极极限限为为函函数数)(xf 在在区区间间,ba上上的的定定积积分分，记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限11说明：说明： baxxfd)( battfd)( bauufd)(1. baxxfd)(是是一一个个数数值值, ,它它只只与与被被积积函函数数)(xf与与积积分分区区间间,ba有有关关, ,而而与与积积分分变变量量用用

7、什什么么字字母母无无关关, ,如如 2. 可积的可积的充分充分条件：条件： 闭闭区区间间,ba上上连连续续的的函函数数必必在在,ba是是可可积积的的； ,ba上上有有有有限限个个间间断断点点的的有有界界函函数数在在,ba也也可可积积. . 12思考题思考题将和式极限：将和式极限：12(1)limsinsinsinsinnnnnnnnn 表示成定积分表示成定积分.13思考题解答思考题解答原式原式 nnnnnnnnsin)1(sin2sinsin1lim ninnin1sin1limnninin 1sinlim1.sin10 xdxix i 14三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义, 0)(

8、xf basxxfd)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积, 0)( xf basxxfd)(曲边梯形面积的相反数曲边梯形面积的相反数)(xfy byoxa)(xfy byoxa151s2s3s4s4321d)(ssssxxfba 若要求阴影部分的面积若要求阴影部分的面积, 则为则为.d| )(| baxxf 16例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分.d102xx 解解每每个个小小区区间间的的长长度度均均为为n1， 取取右右端端点点nii ，(ni, 2 , 1 ) iininxfs )(1 nnini121 niin1231，6)12)(1(13 nnnnxx d 102 nns li

9、m.31 ,1n ,0 , n即即将将1 , 0n等等分分，分分点点为为nixi ，(ni, 2 , 1 )xyo112xy 17d22204aaaxx d2222aaaaxx 推广：推广：18四、定积分的基本性质四、定积分的基本性质规定规定:（1）当当ba 时时，0d)( baxxf； （2）当当ab 时时， abbaxxfxxfd)(d)(. 19 在下面的性质中在下面的性质中,假定定积分都存在假定定积分都存在,且不考虑且不考虑积分上下限的大小积分上下限的大小性质性质1 1 bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(（此性质可以推广到有限多个函数和的情况）（此性质可以推广到有

10、限多个函数和的情况）性质性质2 2 babaxxfkxxkfd)(d)(k为常数为常数)性质性质1,21,2合称合称线性性线性性. . 20说明说明：不论：不论a, b, c的相对位置如何的相对位置如何, 上式总成立上式总成立.例如例如, , cba cbbacaxxfxxfxxfd)(d)(d)( cbcabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(这个性质称为定积分的这个性质称为定积分的区间可加性区间可加性. .则则性质性质3 3 bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(.d)(d)( bccaxxfxxf证略证略.由于由于21性质性质4 41dd.bbaaxxba则则0d)( xxf

11、ba. . )(ba 证证性质性质5 5如如果果在在区区间间 ,ba上上0)( xf， , 0)( xf, 0)( if), 2 , 1(ni , 0 ix, 0)(1 iinixfiinixf )(lim10 . 0)( badxxf22推论推论1 1若若, ),()(baxxgxf , , .d)(d)( babaxxgxxf则则证证),()(xgxf , 0)()( xfxg, 0)()( dxxfxgba, 0)()( babadxxfdxxg于是于是 dxxfba )( dxxgba )(.23推论推论1 1若若, ),()(baxxgxf , , .d)(d)( babaxxgxx

12、f则则推论推论2 2 babaxxfxxfd)(d)()(ba 证证,)()()(xfxfxf ,d)(d)(d)(xxfxxfxxfbababa 即即.d)(d)( babaxxfxxf24解解例例2 2比比较较积积分分 10dxx与与 10d)1ln(xx的的大大小小. . , )1ln()(xxxf 令令,01111)( xxxxf则则，0 x于于是是)(xf单单调调增增加加, , ，0)0()( fxf，)1ln( xx .0 x于是于是.d)1ln(d1010 xxxx25性质性质5 5（估值定理）（估值定理）设设 m及及m分别是分别是)(xf在区间在区间,ba上的最大值及上的最大值

13、及最小值，则最小值，则 . )(d)()(abmxxfabmba 26例例 3 3 估估计计积积分分dxxx 24sin的的值值.解解,sin)(xxxf 2sincos)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx 2,4 x, 0 )(xf在在2,4 上上单单调调下下降降,故故4 x为为极极大大点点，2 x为为极极小小点点,27,22)4( fm,2)2( fm,442 ab,422sin4224 dxxx.22sin2124 dxxx28例例3 估计定积分值的范围:221(1)ed ; xx解解 (1)设 ,为估计定积分的值,先求出f(x)在区间1,2上的最大值和最小值.2( )e xf

14、x2( )2 exf xx 令 ,得唯一驻点x=0,( )0f x 且为极大值点,也是最大值点最大值 m=f(0)=e0=12922413eed3xx由定积分性质3可知又 f(1)=e1, f(2)=e4,所以最小值 m=f(2)=e4.30例例4. 试证:.2dsin120 xxx证证: 设)(xf,sinxx则在),0(2上 , 有)(xf2sincosxxxx)tan(xx2cosxx0)0()()(fxff2即2, 1)(xf), 0(x2故xxxfxd1d)(d2220002即2dsin120 xxx31性质性质6 6（积分中值定理）（积分中值定理）设设)(xf在在,ba上上连连续续

15、, ,则则存存在在,ba , ,使使 . )(d)(abfxxfba 证证，mxxfabmba d)(1 ，)(d)()( abmxxfabmba 由闭区间上连续函数的介值定理知，由闭区间上连续函数的介值定理知，,d)(1)( baxxfabf 使使, ,ba .)(d)(abfxxfba 即即估值定理估值定理32 在区间在区间,ba上至少存在一上至少存在一个点个点 ，积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：xyoab )( f使使得得以以区区间间,ba为为以以曲曲线线)(xfy 底底边边，为曲边的曲边梯形的面积为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为等于同一底边而高为)( f的的一一

16、个个矩矩形形的的面面积积。一一般般称称 baxxfabd)(1为为连连续续函函数数)(xf在在 ,ba 上的上的平均值平均值. . 33解解由积分中值定理知有由积分中值定理知有,2, xx使使dttfttxx 2)(3sin),2)(3sinxxf dttfttxxx 2)(3sinlim)(3sinlim2 f )(3lim2 f . 6 34设设)(xf在在 1, 0上上可可微微，且且满满足足 210d)(2)1(xxxff， 证证例例4 4* *设设)()(xxfxf ， 则则)1()1(ff ， 210d)(2)1(xxxff试试证证: : 存存在在)1, 0( ，使使 .)()( ff ,d)(2210 xxf)(xf在在1, 0上上连连续续， 由积分中值定理，由积分中值定理， )21, 0( ，使使 210d)(2)1(xxff)(212 f , )( f 于于是是)()1(