第二章 极限与连续04991

1、1第二章 极限与连续( (一一) ) 数列与函数的极限数列与函数的极限1.变量的变化过程（三种）变量的变化过程（三种）：0,xxxn ;)(lim,)(;) 1 (axfaxfxxxxx记作极限以时当两种情况和表示;)(lim,)(axfaxfxx记作极限以时当例如：xxxxxxeeelim, 0lim,lim不存在.xxxxxxeeelim,lim, 0lim不存在.2axfaxfxxxxxxxxxx )(lim,)(,),()2(00000应记作为极限以时当;,;,)(lim,)(,00000000 xxxxxxxxxxxxaxfaxfxxxx的一侧无限趋于从小于沿轴表示的一侧无限趋于从大

2、于轴沿表示应记作为极限以时当.lim; 0lim;lim:111111111不存在例如xxxxxxeee3anfaxfnx )(lim,)(lim)3(则有若.,)()4(0无关与函数在该点有无定义有无极限在点函数xxf)()(lim:)()(lim:)(. 200000 xfaxfxfaxf、xxfxxxx 记为左极限记为右极限右极限的左在点函数4.)()(lim)(lim)(lim.)(0000用左右极限法在分段点处的极限要含绝对值函数求分段函数即左右极限存在且相等条件是处极限存在的充分必要在点函数axfxfaxfxxfxxxxxx 注注3.极限的性质极限的性质:唯一性；局部有界性；局部保

3、号性；唯一性；局部有界性；局部保号性；局部比较性。有极限必有界局部比较性。有极限必有界,反之不然反之不然.4.极限存在的两个准则极限存在的两个准则:夹逼准则夹逼准则;单调有界准则单调有界准则5axazyzxynnnxnnnnnnnnnn lim,limlim,:)2(;:)1(则若恒有当若存在自然数夹逼定理必有极限单调有界数列单调有界准则5.5.两个重要极限两个重要极限)(,()(11(lim)1(lim)11(lim)0)(, 0( 1)()(sinlim1sinlim)(1000 xxexexxxxxxxxxxxxxxxx )(1)(lim)(1)(1)(1)(1)(1lim1)(lim:

4、xgxfxgxfxfxgexfxf 型注6例9. 完成下列填空_;sin)1ln(lim)6(_;)11(lim)5(_;)21 (lim)4(_;5sin2tanlim)3(_;sincos1lim)2(_;sinlim) 1 (01000 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx分析： 1)sin(limsinlim) 1 (xxxxxx721222sinlim2sinlim2cos2sin22sin2limsincos1lim)2(00200 xxxxxxxxxxxxxxx5252lim5255sin22tanlim5sin2tanlim) 3(000 xxxxxxxxxxxxx82)2

5、()2()21 (lim)21 (lim)4(exxxxxx2)12(lim)12()21(0100)121 (lim)11(lim)5(eexxxxxxxxxxxx1ln)1 (limln)1ln(limsin)1ln(1limsin)1ln(lim)6(101000exxxxxxxxxxxxxx95.函数极限的运算法则函数极限的运算法则)0()(lim)4()0()(lim)(lim)()(lim) 3()(lim)(lim)()(lim)2()(lim)(lim)()(lim) 1 (,)(lim;)(lim)()()(00aaxfbbaxgxfxgxfabxgxfxgxfbaxgxfx

6、gxfbxgaxfbxgxxxxxx则设;,:为零的极限都存在且分母不必须是各部分的应用极限运算法则时注1001lim01limlim1sinlim:0000 xxxxxxxxx例如6.6.无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量.,.)(, 0)(lim:)1(0)(0反之不然无穷小量极限为零的变量称简言之时为无穷小量或当则称若无穷小量 xxxxfxfxxx.)(,)(lim:)2(0)(0时为无穷大量或当则称若无穷大量 xxxxfxfxxx11注注：（：（1 1）无穷小量与无穷大量不是绝对的无穷小量与无穷大量不是绝对的, ,它是与某个它是与某个变化过程联系在一起的变化过程联系在一起的. .当我

7、们说某个量是无穷小量或当我们说某个量是无穷小量或无穷大量一定要指明变化过程无穷大量一定要指明变化过程. .（2 2）无穷大量是无界量，反之不然；）无穷大量是无界量，反之不然；.sin:量时是无界量但不是无大当例如xxxy（3 3）无穷小的运算性质）无穷小的运算性质 有限个无穷小的代数和仍为无穷小；有限个无穷小的代数和仍为无穷小； 有限个无穷小的乘积仍为无穷小；有限个无穷小的乘积仍为无穷小； 无穷小量与有界变量（含常量）的乘积仍为无穷小；无穷小量与有界变量（含常量）的乘积仍为无穷小；（4 4）无穷大与无穷小的关系）无穷大与无穷小的关系在同一变化过程中，无穷大的倒数是无穷小；无穷在同一变化过程中，

8、无穷大的倒数是无穷小；无穷小的倒数是无穷大。小的倒数是无穷大。125.5.无穷小的比较无穷小的比较设 , 1lim)4(.),0(lim)3(.,lim)2()(0, 0lim)1(,记为是等价无穷小与则称是同阶无穷小与则称低阶的无穷小是比则称记为高阶的无穷小是比则称如果个无穷小量是同一变化过程中的两设 cc13.)()(;)()(;)()(;)()()( ,0, 232)(:10较低阶的无穷小是比较高阶的无穷小是比是同阶无穷小与是等价无穷小与时则当设例xxfdxxfcxxfbxxfaxxfxx3ln2ln)3ln32ln2(lim)00(232lim.:00 xxxxxxx根据极限值做结论个

9、无穷小比的极限无穷小的比较就是求两分析 由于 极限值非零且不等于1,根据无穷小阶的比较,知(b)成立.14例11. 判断下列结论的正确性（1）当n足够大时，越来越接近常数a，则)(limaxnn)()(lim)()(lim),(lim)4()(00sinlim1sinlimsinlim1sinsinlim)3(000必存在则存在已知xg，xgxfxfxxxxxxxxxxxxxxx（2）xxxcoslim（ ）)()()(lim,)(),()5(00 xgxgxgx，fxxxx则有时当 15n时，分析： 对于（1）当 时，要求|axn要任小，而不是越来越小，如当n0001. 01n越来越接近0，

10、但不能趋向于0.（2）当 时，xxxsin是一个无界函数，但非无穷大.无界函数与无穷大的区别在于，对于任意给的大的正数m，前者不能找到一个x0,使得对于满足不等式xx |的一切x，都有mxx |sin|，而后者必存在这样的正数x.（3）极限不存在，不能用极限运算法则.（4）极限 可能为零)(lim0 xfxx16分析：（ 举反例排除a、b、d）例12. 在同一变化过程中，下列结论正确的是（ c ）（a）两个无穷大之差为无穷小；（b）无穷大量与有界量的乘积仍为无穷大；（c）有限个无穷大乘积仍为无穷大；（d）无穷大除以极限不为零的变量，其商仍为无穷大.)()0()( (三三) )函数的连续性函数的

11、连续性1.連連续的概念续的概念定义定义1:设函数设函数f(x)在点在点 的邻域内有定义，如果当自的邻域内有定义，如果当自变量变量x在点在点 处取得的改变量处取得的改变量 时，函数相应的时，函数相应的改变改变 量量 即，即， 0 x0 x0 y0)()(limlim0000 xfxxfyxx0 x17.)().)()(lim)3();()(lim)2();()()1(:)(:)(200000处连续在点则称极限值等于函数值有极限存在有定义的某邻域内有定义在点满足条件设函数函数点连续的三条件定义xxfxfxfxfxxfxfxxxx 则称函数则称函数f(x)点点 处连续，称点处连续，称点 为连续点。为

12、连续点。0 x0 x注：一般而言，证明的命题用连续函数的第一个定义注：一般而言，证明的命题用连续函数的第一个定义方便；判定函数在某点是否连续，尤其是分段函数在方便；判定函数在某点是否连续，尤其是分段函数在分段点处是否连续用定义分段点处是否连续用定义2 2方便。方便。18.)(),()(lim;)(),()(lim:)(30000000处右连续在点则称函数处左连续在点则称函数如果右连续处左在点定义xxfxfxfxxfxfxf、xxxxx .,)(,),()(:)(4上连续在则称处左连续在右连续处在内连续在若区间连续定义baxfbxaxbaxf 2.2.函数的间断点函数的间断点:)(0一一处出现以

13、下三种情形之处出现以下三种情形之在在若若xxf)()(),()(lim)3(;)(lim)2( ;)()1(00000不连续点不连续点的间断点的间断点为为则称点则称点不存在不存在处无定义处无定义在点在点xfxxfxfxfxxfxxxx 193.3.间断点的类型间断点的类型第第类间断点类间断点:左右极限都存在的间断点左右极限都存在的间断点.其中其中.),()()2(.),()()()1(0000000称为跳跃间断点若称为可去间断点若xxxfxfxxxfxfxf 第第类间断点：左右极限至少有一个不存在的间断点类间断点：左右极限至少有一个不存在的间断点.)()(000称为无穷间断点则之中至少有一个为

14、若xxx、fxf 4.4.连续函数的运算法则连续函数的运算法则则处连续均在点如果函数,)(),()1(0 xxxgxf 20)0)()()(),()(),()( xgxgxfxgxfxgxf也在点也在点 处连续处连续.0 xx 连续处在则复合函数处连续在处连续在设函数0000(,)()(,)()2(xxxgfyxguufyxxxgu .)(,)()3(1上连续且严格单调也在对应区间则它的反函数单调且严格在某区间上连续设函数yfxxfy .)4(区间上连续一切初等函数在其定义214.4.闭区间上连续函的性质闭区间上连续函的性质.,)(,)(: 1上有界在则续上连在设函数连续函数的有界性定理bax

15、fbaxf;,)(:)(2小值各一次上至少取得最大值与最则在上连续在设函数最值定理定理babaxf )(,)()(,)(:)(3fbammbfafbaxf使得上至少存在一个则在任一实数之间的与最小值或最大值与是介于上连续在设函数介值定理定理220)(,),(, 0)()(,)(:).(4 fbabfafbaxf使得内至少存在一点则在且续上连在设函数零点或根的存在定理定理例：方程例：方程 在在3与与2之间（之间（ ）02223xxx（a）有一个实根； （b）有二个实根；（c）至少有一个实根； （d）无实根.分析：因为函数分析：因为函数2223xxxy在闭区间在闭区间3，2上连续，上连续，知应选（

16、知应选（c）012)2(, 08)3(ff由零点存在定理3223二、基本问题与解法二、基本问题与解法问题问题( (一一) ) 求极限求极限. .有理分式的极限有理分式的极限)0, 0( ,)()()(00110110 baxqxpbxbxbaxaxaxfmnmmmnnn设有时当,)1(0 xx nmnmnmbaxbxaxqxpmnnxmnnx, 0,lim)()(lim0000)()(24。、xqxpmn再代值解因式消去零因子后分母分也可将分子时当注,0)()(:00 时，用同除法求得或当)()2( nx. .无理式的极限无理式的极限中至少有一个含根式且设)(),(,)()()(xqxpxqx

17、pxf .)(,)()2(;,)1(0分母有理化的方法并结合使用分子分母的最高次幂同除分子同除法反复用时或当同有理分式极限的求法时当、nxxx 25xxxxxxsin114lim. 122 求例1112sin114sin114lim,:22111122limttttttttxtttttt分子、分母同除原式令解)(lim. 2xxxxx 求例21)(lim:xxxxxxxx同除分子有理化原式解 26例3. 求nnnnn3223lim11解：分子、分母同除n3原式31)32(2)32(3limnnn例4. 求xxxxx1111lim330解：分子、分母分别有理化得2/3),0 ,1 ,0 ,00(

18、00.未定式的极限（指以下七种极限）27)0)(0( 1)()(sinlim1sinlim00 xxxxxxxx时，当.利用重要极限求极限利用重要极限求极限特征：特征：1）在某个变化过程中呈三角函数）在某个变化过程中呈三角函数 型；型； 2）正弦变量与分母变量相同且都趋于零）正弦变量与分母变量相同且都趋于零.”00“11arctanlimarcsinlimtanlim:000 xxxxxxxxx注)0)(,0()(1(lim)1(lim)11(lim)(1010 xxexexxxxxxxx 时当228. 11,)3;)1 ()2;1 ) 1:等于与括号外的指数的乘积第二项第一项是括号内有两项的

19、形式无穷小可化为型在某个变化过程中呈特征无穷大，注注:满足第一特征可以考虑用重要极限满足第一特征可以考虑用重要极限;满足第二特满足第二特征一定能够用重要极限征一定能够用重要极限;第三个特征告诉你怎么用第三个特征告诉你怎么用.例例1.1.求下列极限求下列极限xxxxxxxx)1sin1(coslim)2(;121sinlim)1(22 2921121lim11211sinlim121sinlim)1(:222 xxxxxxxxxxxx原式解exxxxxxx 222)2sin1(lim)1sin1(coslim)2(原式例例2.求下列极限求下列极限babxbxaxaxbabxbxbxaxaxaxb

20、xaxxxxxsinlimsinlim)1sinsin(limsinsinlim) 1 (00002)2(sin2)2(4lim)2(sin2limcos1lim)2(22022020 xxxxxxxxx30eexxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 12)1(2lim12)1(22121122)1221(lim)1221(lim)1232(lim)4.()11(lim)1(lim)3(ennnnnnnnnnnnnnn)11 (lim1)1(111sinlim1sin) 1(lim)4(12cos1120)sin1(lim)5(exxx 2. .利用等价无穷小代替求极限利用等价无穷小代替

21、求极限注注: 只有求无穷小比的极限时，才能考虑用等价无穷只有求无穷小比的极限时，才能考虑用等价无穷小代替，并且要对整个分子或整个分母（含无穷小的因小代替，并且要对整个分子或整个分母（含无穷小的因31式）或同时对分子、分母进行代替，乘除运算尽管用，式）或同时对分子、分母进行代替，乘除运算尽管用，加减运算不宜用。加减运算不宜用。常用的等价无穷小常用的等价无穷小:当当0 xxxxxxxarctan,tan,sinxxxxxxxxarctan,arcsin,tan,sin)1(xxxxarctanarcsintansin2)(cos12cos1 )2(22xxxx axaxxxxxxxxln1,)1l

22、n()1ln()1ln()3(2 32xexexx 11)4( 一般地.1111)5(nxxnxxnn )0(1)1 (xxx例例3. 求下列极限求下列极限babxxbxaxbxxbxaxbxxaxxxxxx 20020020limlimtanlimtansinlimtansinlim)1(21)(lim)1ln(11lim)2(221020 xxxxxxxx33xxxxxxxx1sin11tan1limsin1tan1lim)3(00 12121sinlimtanlim1sin1lim1tan1lim21021000 xxxxxxxxxxxx81)(lim21)cos1(lim)cos1co

23、s(1lim)4(4222104221040 xxxxxxxxx例例4. 求下列极限求下列极限xxxxxxxxxxx21cossin3lim)1ln()cos1 (1cossin3lim) 1 (2020342321cossin3lim0 xxxxxx同除221lim211)(1lim21)11() 11(lim)(cos111lim)2(22022022020 xxxxnxxnnxxxxnnxxxxnxxnnxnnx为正整数3.利用罗比塔法则求极限利用罗比塔法则求极限)()()(lim),00()()(lim 或axgxfxgxf35一般不注意对数与反三角函数将其改写成分式型对于型或变量替换

24、等方法化为化根式有理型利用通分对于用罗比塔法则型后再或变换化为定式可通过适当的变形对于其它未型型和罗比塔法则适用于,0;00;00”“”00“)1 、，)(ln00)(:”1“”“0;xfexfe、 为底的指数函数化为以型利用对数恒等式对于下放为分母362) 罗彼塔法则可連续地用，每用一次都要化简，充分利用罗彼塔法则可連续地用，每用一次都要化简，充分利用极限四则运算法则、等价无穷小代替以及极限四则运算法则、等价无穷小代替以及非零因子的极限非零因子的极限先求出耒简化算式，先求出耒简化算式，检查发现不是未定式，就不要用罗彼检查发现不是未定式，就不要用罗彼塔法则。塔法则。3) 使用罗彼塔法则过程中，

25、出现循环现象、有常见极限不存使用罗彼塔法则过程中，出现循环现象、有常见极限不存在的情况在的情况(并非无穷大并非无穷大)就要改用它法。如果分子、分母求导就要改用它法。如果分子、分母求导后，算式俞趋复杂，就要按后，算式俞趋复杂，就要按2)的方法处理。的方法处理。例例4. 求下列极限求下列极限xxxxxexxxsintanlim)2(;1)1ln(lim).1 (20237注注: : 此处利用了极限运算法则此处利用了极限运算法则, ,分子分母分别求导分子分母分别求导(2) 此题直接用罗比塔法则很麻烦，应先将极限存在的非零此题直接用罗比塔法则很麻烦，应先将极限存在的非零因子分离出耒先求其极限因子分离出

26、耒先求其极限.31tanlim316tansec2lim31seclimtanlimsintanlimsin1tanlim020220303020 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx原式1111lim1lim11lim)1() )1(ln(lim)() 1 (:222xxeexxeexexxxxxxxxx原式解例5. 求xxxdttxtx2)sin(1lim2038解：原式12sin3sinlim2sin3sin2limsinlim)sin(lim232203322202020232xxxxxxxxxxxxduuuuxtxdttxtxxxxxxxx罗比塔法则分子令例6. 求)(

27、)cossin1(lim2220型xxxx解：原式分母等价无穷小代替通分xxxxxx222220sincossinlim3934124sin4lim64cos1lim24sin41lim42cos2sin2lim2sin41lim02030304220 xxxxxxxxxxxxxxxxxxx罗比塔法则例7. 设0, 0ba常数，求)(lim11xxxbax)0(型解：原式babbaatbatxxbattttttxxxln)lnln(limlim11lim0011罗比塔法则令40 xxxxxxxxx2221222111cos)1(lim2)1(cos1lim2)1(2tanlim)0)(1( :

28、 解2sin1lim2sincos2)1 (2lim212221xxxxxxx)sin2sin2cos2(xxx 2221114)1(1)(11limarctanlim)0()2( xxxxxxxxx 原原式式21)1 (lim222xxxx例例8.求下列极限求下列极限)1arctan4(lim)2(:2tan)1 (lim) 1 (1xxxxxxx41例9.设求, 0a)1ln()1(lim220axaxxax解：原式xaaxxaaxxaaxaxxaaxxx2)11()1ln(2lim)1ln()1 (lim22202220 xaaxaxxaax2)1 ()1ln(2lim202212)1l

29、n(2lim22320aaaxxaaxax42例10. 求下列极限) , 0 , 1(00型(1)1limlim02sinlimcossin21limsinlnlimsin1lnlimlnsin0sin03030202022eeeeeexxxxxxxxxxxxxxxxxxx解2：令1lim, 0lnsinlimlnlimlnsinln,002002sin2eyxxyxxyxyxxxx（2）xxxxxxxxeex222tancosln0coslncot0cot0limlim)(coslim434. 利用变量代换求极限利用变量代换求极限通过线性变换、指数变换、三角变换、无理变换、通过线性变换、指数

30、变换、三角变换、无理变换、加一减一、乘一除一、分解折项、倒代换等化为常加一减一、乘一除一、分解折项、倒代换等化为常规型规型212tanlimcoslnlimtancoslnlim0200eeeexxxxxxxxx罗比塔法则例11. 0limlim1lim55210102ttttxxettetxxe令44xxxxxxx2tan)1 (lim)2();11ln(lim) 1 (.12212求例 则原式令解,1:tx2121lim)1ln(lim)1ln(11lim110002020ttttttttttt 422sin1lim2cos1lim2sin)1(limcossin)1)(1(lim2tan

31、)1(lim)2(121122121 xxxxxxxxxxxxxxxx极限存在的非零极限存在的非零因子先其求极限因子先其求极限45)()1tan(lim.132为自然数求例nnnnn322tantan0101)tan1(lim)tan(lim)1tan(limttttttttttxxxtttttxx 令3131tanlim230)1tan(limennenntttet 解解: :离散型不能直接用罗比塔法则，先将离散变量连离散型不能直接用罗比塔法则，先将离散变量连续化续化, ,化为函数的极限化为函数的极限, ,再用罗比塔法则再用罗比塔法则. .46.分段函数的极限分段函数的极限求分段函数在分段点

32、处的极限用左、右极限法解： 用x代换n1原式3030sinlimsinsinlimxxxxxxxx等价无穷小代换616sinlim3cos1lim020 xxxxxx例14. 求nnnn1sin1sin1lim347例15. 求下列函数在分段点处的极限1,211,11)()2( ;0,cos10,2sin) 1 () 1 (222xxxxxxgxxxxxxf解： （1）2)(lim221limcos1lim)00(, 222sin2lim2sinlim)00(02202000 xfxxxxfxxxxfxxxxx48)(lim),01 ()01 ()2321(lim)01 (2) 1(lim11

33、lim)01 ()2(121121xgggxgxxxgxxxx故不存在.例16. 求)|sin12(lim410 xxeexxx解： （含绝对值符号的函数也是分段函数）112)(sin12(lim)0(410 xxeefxxx491|sin12lim110)sin12(lim)0(41043404xxeexxeeeefxxxxxxxx分母同除第一项分子求极限问题小结求极限问题小结: :求一个函数的极限首先判定属于哪一种类型，如果求一个函数的极限首先判定属于哪一种类型，如果不是公式型或常规型就要通过适当的变形变换化简不是公式型或常规型就要通过适当的变形变换化简50使之能用上述方法求解。特别注意有

34、非零因子的极使之能用上述方法求解。特别注意有非零因子的极限要先求限要先求; ;尽量要用等价无穷小代换化简尽量要用等价无穷小代换化简; ;尽量利用尽量利用极限运算法则分项求，或分子分母分别求。通常求极限运算法则分项求，或分子分母分别求。通常求一个函数的极限不是只用一种方法就能夠凑效，而一个函数的极限不是只用一种方法就能夠凑效，而是需要综合用各种方法包括利用微积分的有关知识是需要综合用各种方法包括利用微积分的有关知识才能解出。才能解出。51)1)11ln()11ln(cos1sin)3(limln)1ln(cos1sin)3(lim)1(2222xxxxxxxxxxxxxxx 其中例例17.求下列

35、极限求下列极限1010cos11sin1sin3limcos1sin1sin3lim1cos1sin)3(lim222 xxxxxxxxxxxxxxxxxxx52)()cos1(21)1(lim)cos1(cos1lim)2(sinsin000sin0分子提公因子 xxeexxeexxxxxxx323lim43cos1lim441sinlim2121sinlim2221020302sin0 xxxxxxxxxxxexxxxx)cos1(21)cos1(cos1;sin1(sinxxxxxxexx 其中53301)3cos2(lim)3(xxxx 61)21(31lim31coslim,31co

36、s)31cos1ln(3cos2ln11)3cos2(320303cos2ln xxxxxxxxxxxxexxxxxx原式原式) 0)(ln)(lim),(ln)(11)()(ln)()( xfxgxfxgexfxfxgxg54a，ecxxbxaxx求求已知已知2)1()21ln()cos1(tanlim)4(20 422020)1(lim)21ln(lim)cos1(limtanlim)1()21ln()cos1(tanlim,:2200000 aaaxecxxxxbxxaxecxxxxbxxaxxxxxxxx原式原式得得分子分母同除分子分母同除解解55的值确定已知baxbaxfx, 0)(

37、),;(lim. 1 问题问题( (二二) ) 极限、连续问题中常数的确定极限、连续问题中常数的确定 mnmnmnbabxbxbaxaxammmnnnx, 0,lim00110110运算依据运算依据: :babaxxxx, 0)11(lim. 12求设例 11001011)()1(lim:2babaaxbxbaxax原式解5621)()(lim)2(21211:, 1)1(lim)(lim2111lim)1)(1(1lim11lim)(lim)()()(lim)1( :01111110000 bxfxfaaaaxxfxxxxxxxfaxfxfaxfxxxxxxxxxx由于是有知由解的值的值确定

38、确定已知已知bacxbaxfx,)(),;(lim. 20)( 0),;(,0)()3(0),;(,0)()2(0),;(,0)()1(baxfxbaxfxbaxfxxx必有时若必有时若必有时若 运算依据运算依据: :57babaxxxx, 0)1(lim. 22求设例 xbaxxxbabxabaxxxbxabxaxxx 22222221111)21()1(lim11)21()1(lim同除21, 10210101)21()1(lim2 baabaaabxax解解:左边左边(分子有理化分子有理化)=.)2( ;)1(1)(,1, 11,1,11(. 3连续有极限处在使函数的值确定设例 xxfb

39、axaxxbxxxxf58的值求已知例babxaxxx, 0)3sin(lim. 4230 0663cos27lim663sin9lim0)33cos3(lim0333cos3lim)(0)3(sinlim,3sinlim:002022030330bxxbxxbxaxxbxaxbxaxxxbxaxxxxxxxx由由原式原式解解 29, 0627303bbaa59例5. 设baxbaxxx, 3) 1sin(lim221求解： 由题设知，5, 422) 1cos(22lim) 1sin(lim010)(lim2122121baaxxaxxbaxxbabaxxxxx罗比塔法则又60问题问题(三三)

40、 函数连续性与间断点的判定函数连续性与间断点的判定.)3( ;)2( ;)1(:)(.)(. 100等于函数值等于函数值极限值不极限值不极限不存在极限不存在无定义无定义间断间断一则一则处出现以下三种情形之处出现以下三种情形之在点在点函数函数若若续的三条件来判定续的三条件来判定段点的连续性要用点连段点的连续性要用点连分分特别是判定分段函数在特别是判定分段函数在相等且等于函数值相等且等于函数值左右极限存在左右极限存在处连续处连续在点在点函数函数xxfxxf2.间断点的判定间断点的判定找出函数的定义域找出函数的定义域,若点若点 无定义无定义,则则 为间断点为间断点;0 x0 x若有定义若有定义,再看

41、再看 是否为初等函数定义区间内的点是否为初等函数定义区间内的点,若若0 x61是是, 则为连续点则为连续点;若不是若不是,则看极限则看极限 是否存在是否存在,0 x)(lim0 xfxx若不存在若不存在,则则 为间断点为间断点;若存在若存在,则看极限值是否等于函则看极限值是否等于函0 x数值数值,若若)()(lim00 xfxfxx ,则则 为连续点为连续点;若不相等若不相等,则则0 x0 x点点 为间断点为间断点.例例1.判定下列函数在指定点是否连续判定下列函数在指定点是否连续?并指出间断点并指出间断点的类型的类型0,0,20, 1)()2(1,11)()1(2 xxxxxxfxxxxf62

42、0,0,210,1cos)()4(0,)()3(21 xxxxxxfxexfx21111111( )111lim( )limlim121lim( ), lim( )1xxxxxxf xxf xxxf xf xx（）时，不存在，故在点处不连续。又均存在且相等，所以为第一类可去间断点。解解:6300,20, 1)()2(xxxxxxf2)2(lim)(lim, 1) 1(lim)(lim2)0(00000 xxfxxffxxxxx，时，00lim( )lim( )( )0 xxf xf xf xx在处不连续。左、右极限均存在但不相等，第一类跳跃间断点。6410000,(0)( )0( ),( )0

43、limlimlimxxxxxff xxf xef xx 不存在，在处不连续。又不存在。所以为第二类间断点或为无穷型间断点。1(3)( )0 xf xex2cos1014( )0(0)1202xxxf xxfx （ ）时，652220002202sincos12lim( )limlim2()12 lim2xxxxxxf xxxxx 处连续。在0)()0()(lim0 xxffxfx例2. 讨论函数0,110,210,)1ln()(xxxxxxxxf在点 的连续性.0 x66解：21111lim11lim00(, 1)1ln(lim)1ln(lim)00(00100 xxxfxxxfxxxxx因为

44、)(lim),00()00(0 xfffx所以不存在，从而0)(xxf在点不连续.例3. 求的间断点.)()11(lim22xfxxxnnn解：先求函数的 表达式，再求间断点.)(xf67xxfxnx1)(, 0lim2当 时，1|xxx，fxxx，fx1)(1|;)(1|时当时当1|,11|,1|,1)(xxxxxxxf例4. 设)(),()(),(x，fxgxf有定义在为连分段点为1也是间断点.续函数，且)(, 0)(xgxf有间断点，则下列函数中必有间断点的为（ ）68)()(xfga2)()(xgb)()(xgfc)()()(xfxgd分析： （a）不一定有间断点，如0, 10, 1)

45、(xxxg., 1)(, 1)(为连续则xfgxf（b）不一定有间断点，如1)()(2xg，xg则同上连续（c）不一定有间断点，如则和中，xgxfa)()()()(xgf连续；d一定有间断点，反证法，若)()()(xhxfxg连续，则)()()(xfxhxg连续，一假设矛盾，故（d）正确.69例例2.当当 时时,下列四个无穷小量中下列四个无穷小量中,哪个是比其它三哪个是比其它三个更高阶的无穷小个更高阶的无穷小( )0 xxxdxcxbxasin)( ; 11)( ;cos1 )( ;)(22 .sin02sinlim2cos1limsinlim11cos12111,21cos1 ,0:2002

46、022222更高阶的无穷小量更高阶的无穷小量是是故故而而同阶无穷小量同阶无穷小量是与是与与与即即时时当当分析分析xxxxxxxxx，xxxxxxxxxxx 70_;, 2)1 (lim. 1120axxaxxnx则已知2ln0,cos0,sin)()2( ;sinln)() 1 (. 2xxxxxfxxxf讨论下列函数的连续性 0, 00|,|1)()4(;0, 10, 00, 1)()3(xxxxfxxxxxxf)4()3()2( ;)()1(在定义域内不连续为初等函数连续、xf三、课后练习三、课后练习713.设常数._)21 (12lim,21nnannana则nnanannan)21 (

47、11)21 (12分析：aaannnneanan211211)21()21 (11 (lim)21 (11 (lim故原式aea211ln211724.若._;, 5)(cossinlim0babxaexxx则1-4分析：由)1,sin0(45)(coslim51)(cossinlim105)(cossinlim000 xexx，xbbxebxxaaeaebxxxxxxxxx时当5.)()2ln(1lim20dxxexx)(; 0)(; 2)(;23)(dcba分析：因为xxxexxx)2ln(lim, 21lim020故选（d）73)(xf1x6.若函数 在 点处连续，且极限 存在，则12)

48、23(lim1xxfx.2) 1 (f分析：因为 处连续，所以，有1)(xxf在2) 1 (2)23(lim2)23(lim11fxfxfxx所以有0) 1(lim12)23(lim) 1(12)23(lim2)23(lim1111xxxfxxxfxfxxxx由此可知，2) 1 (, 02) 1 (ff即7.设.81) 1 ()23(1lim, 4) 1 (1fxfxfx则748._211lim20 xxxx41（提示：罗比塔法则）9._cos11lim20 xexxx0（提示：罗比塔法则）10._)tan11(lim20 xxxx31（通分，罗比塔法则）11._)1ln()cos1 (1cossin3lim20 xxxxxx23提示：当 时，0 xxxx)1ln(, 2cos1原式23)1coslim3(211c