第四节对面积的积分

1、第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 第四节第四节 对面积的曲面积分对面积的曲面积分 若若曲曲面面 是是光光滑滑的的, 它它的的面面密密度度为为连连续续函函数数),(zyx , 求求它它的的质质量量.1. 实例实例 所谓曲面光滑所谓曲面光滑即曲面上各点处都即曲面上各点处都有切平面有切平面, ,且当点在且当点在曲面上连续移动时曲面上连续移动时, ,切平面也连续转动切平面也连续转动. .一、对面积的曲面积分的概念与性质 前面已经介绍了两类曲线积分，对第一前面已经介绍了两类曲线积分，对第一类曲线积分类曲线积分 niiiilsdsyx10),(lim),( 其物理背景是曲线型构件的质量，

2、在此质量问其物理背景是曲线型构件的质量，在此质量问题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，小题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，小段曲线的弧长改为小块曲面的面积，相应地得和段曲线的弧长改为小块曲面的面积，相应地得和式式 niiiiis10),(lim 抽象概括得到对面积的曲面积分的概念抽象概括得到对面积的曲面积分的概念2. 对面积的曲面积分的定义对面积的曲面积分的定义并作和并作和 niiiif1),( is , , 如果当各小块曲面如果当各小块曲面的直径的最大值的直径的最大值0 时时, , 这和式的极限存在这和式的极限存在, ,则称此极限为函数则称此极限为函数),(zyxf在曲面在曲面 上

3、对面积上对面积的的曲面积分曲面积分或或第一类曲面积分第一类曲面积分. .1.1.定义定义即即 dszyxf),(iiiniisf ),(lim10 记为记为 dszyxf),(. dszyxf),( 21),(),(dszyxfdszyxf.3.3.对面积的曲面积分的性质对面积的曲面积分的性质则则及及可分为分片光滑的曲面可分为分片光滑的曲面若若,21 叫被积函数，叫被积函数，其中其中),(zyxf.叫积分曲面叫积分曲面 注注对面积的曲面积分的应用对面积的曲面积分的应用面积面积 dsa质量质量 dszyxm),(重心重心 dsdsxx dsdsyy dsdszz转动惯量转动惯量 dszyix)(

4、22 dszxiy)(22 dsyxiz)(22二、计算法;1),(,22dxdyzzyxzyxfxydyx dszyxf),(),(:. 1yxzz 若若曲曲面面则则按照曲面的不同情况分为以下三种：按照曲面的不同情况分为以下三种：;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzdzx dszyxf),(则则.1,),(22dydzxxzyzyxfyzdzy dszyxf),(),(. 3zyxx ：若曲面若曲面则则),(. 2zxyy ：若若曲曲面面这就是把对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式这就是把对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式简述为：简述为：一代、二换、三投影一代、二换、三投影代：

5、将曲面的方程代入被积函数代：将曲面的方程代入被积函数换：换面积元换：换面积元ds投影：将曲面投影到坐标面得投影区域投影：将曲面投影到坐标面得投影区域注：把曲面投影到哪一个坐标面，取决于曲面方程注：把曲面投影到哪一个坐标面，取决于曲面方程即方程的表达形式即方程的表达形式例例1 1 计计算算 dszyx)(, 其其中中 为为平平面面5 zy被被柱柱面面2522 yx所所截截得得的的部部分分.解解积积分分曲曲面面 ：yz 5 ,投影域投影域 ：25| ),(22 yxyxdxydxdyzzdsyx221 dxdy2) 1(01 ,2dxdy dszyx)(故故 xyddxdyyyx)5(2 xydd

6、xdyx)5(2rdrrd 5020)cos5(2.2125 例例2 计算计算 dsyx)(2222yxz 是锥面是锥面其中其中 与平面与平面 z = 1 所围成的区域的整个边界曲面所围成的区域的整个边界曲面解解分成两部分分成两部分将将 10:221 zyxz 11:222 yxz 21, 在在 xoy 内的投影区域内的投影区域1:22 yxdoxyz1:2 z 1 1)(22 dsyx故故 dyxdxdyzzyx22221)( ddxdyyx)(222 20102222rdrrd 2)(22 dsyx ddsyx)(22220102 rdrrd 21)()(2222 dsyxdsyx 221

7、 例例3 计算计算 dsyx221是介于平面是介于平面其中其中 z = 0 与与 z = h 之间的圆柱面之间的圆柱面222ryx 解解)(:221在第一卦限的部分在第一卦限的部分令令 xry 面的投影区域为面的投影区域为在在zox1 rxhzdzx 00:由对称性由对称性 有有 12222141dsyxdsyx zxdzxdxdzyyr222114 hrdxxrrdzr002224rh 2 例例4 计计算算dsxyz |, 其其中中 为为抛抛物物面面 22yxz （10 z）. 解解xyz依对称性知：依对称性知：轴对称，轴对称，关于关于抛物面抛物面zyxz22 被被积积函函数数| xyz关关

8、于于xoz、yoz 坐标面对称坐标面对称有有 14成立成立，(1 为为第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)dxdyzzdsyx221 dxdyyx22)2()2(1 原式原式dsxyz |dsxyz 14 dxdyyxyxxyxyd2222)2()2(1)(4 其其中中1| ),(22 yxyxdxy, 0, 0 yx 利用极坐标利用极坐标 trxcos , trysin , rdrrrttrdt 102222041sincos4 drrrtdt21050412sin22 令令241ru duuu251)41(41 .42015125 注注对面积的曲面积分有类似与三重积分的对称性对面积的曲面积分

9、有类似与三重积分的对称性 设设对称于对称于xoy （或（或yoz ，或，或 zox ）坐标面）坐标面若若 f（x , y , z ) 关于关于z（或（或 x ，或，或 y ）是奇函数）是奇函数 0),(dszyxf则则若若 f（x , y , z ) 关于关于z（或（或 x ，或，或 y ）是偶函数）是偶函数 1),(2),(dszyxfdszyxf部部分分位位于于对对称称坐坐标标面面一一侧侧的的是是其其中中 1完全类似于三重积分的对称性完全类似于三重积分的对称性例例5 计算计算 dszxyzxy)(为为其中其中 所所截截得得的的部部分分被被柱柱面面锥锥面面axyxyxz22222 解解面面的

10、的投投影影区区域域在在xoy axyxd2:22 22yxz 2222yxyzyxxzyx dszxyzxy)(故故 ddxdyyxyxxy)(222 22cos2022)cos(sincossin2 ardrrrd 2244cos1641cossincossin2 da 2054cos28 da415264a 例例6 6 计计算算 xds, 其其中中 是是圆圆柱柱面面 122 yx, 平平面面2 xz及及0 z所所围围成成的的空空间间立立体体的的表表面面. 解解 321 其其中中1 ：0 z,2 ：2 xz,3 ：122 yx.投投影影域域1d：122 yx显显然然 011 dxdxdyxd

11、s, , 01112 ddxdyxxds讨讨论论3 时时, 将将投投影影域域选选在在xoz上上.（注意：注意：21xy 分为左、右两片分为左、右两片）（左右两片投影相同）（左右两片投影相同）xoz 3xds 31xds 32xds xzdzxdxdzyyx2212 xzddxdzxxx22112 1120212xdzdxxx, xds 00.例例7 7 计计算算dszyx)(222 , 其其中中 为为内内接接于于球球面面2222azyx 的的八八面面体体azyx |表表面面. 解解被被积积函函数数 ),(zyxf222zyx , 关关于于坐坐标标面面、原原点点均均对对称称 , 积积分分曲曲面面

12、 也也具具有有对对称称性性 , 故故原原积积分分 18, (其其中中1 表表示示第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面) 1 ：azyx , 即即yxaz dxdyzzdsyx221 dxdy3 dszyx)(222 1)(8222dszyxdxdyyxayxxyd 3)(8222.324a 例例8 求均匀曲面求均匀曲面222yxaz 的重心坐标的重心坐标解解由对称性由对称性0,0 yx dszdszdxdyzzdsdyx 221):(222ayxd dxdyyxaad 222rdrraada 2002222 a dxdyyxaayxazdsd222222 ddxdya3a 2az 故故 重心坐标为

13、重心坐标为)2, 0 , 0(a例例9 )0(22220 zazyx的均匀半球壳的均匀半球壳求密度为求密度为 轴的转动惯量轴的转动惯量对于对于z解解222:ayxd dsyxiz)(220 dyxdxdyzzyx222201)( dxdyyxaayxd 222220)( 20022201ardrrarda3440a 例例10 计算计算 dsczbyax)(的整个表面的整个表面rzzyx2:222 解解由奇偶对称性由奇偶对称性 0ydsxds分分成成须须将将为为计计算算 zds上半球面上半球面2221:yxrrz 下半球面下半球面2222:yxrrz dsczbyax)( 12 czdsczds ddrc 234 cr ):(222ryxd 四、小结2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算域上的二重积分计算.1、 对面积的曲面积分的概念对面积的曲面积分的概念; dszyxf),(iiiniisf ),(l