高中数学选修11人教A版练习：第二章圆锥曲线与方程 2.22.2.2双曲线的简单几何性质 Word版含解析

1、起第二章圆锥曲线与方程2.2双曲线双曲线2.2.2双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质a 级级基础巩固基础巩固一、选择题一、选择题1双曲线双曲线 2x2y28 的实轴长是的实轴长是()a2b2 2c4d4 2解析：解析：双曲线方程可变形为双曲线方程可变形为x24y281，所以所以 a24，a2，从从而而2a4.答案：答案：c2等轴双曲线的一个焦点是等轴双曲线的一个焦点是 f1(6，0)，则其标准方程为则其标准方程为()a.x29y291b.y29x291c.y218x2181d.x218y2181解析：解析：由已知可得由已知可得 c6，所以所以 ab22c3 2，所以所以 双曲线的标准方程

2、是双曲线的标准方程是x218y2181.答案：答案：d3下列双曲线中离心率为下列双曲线中离心率为62的是的是()a.x22y241b.x24y221c.x24y261d.x24y2101解析：解析：由由 e62得得 e232，所以所以c2a232，则则a2b2a232，所以所以b2a212.即即 a22b2.答案：答案：b4已知双曲线已知双曲线 c：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为的离心率为52，则则 c 的的渐近线方程为渐近线方程为()ay14xby13xcy12xdyx解析解析：因为双曲线因为双曲线x2a2y2b21 的焦点在的焦点在 x 轴上轴上，所以双曲线的渐近所以双曲线的渐

3、近线方程为线方程为 ybax.又离心率为又离心率为 ecaa2b2a1ba252，所以所以ba12，所以双曲线的渐近线方程为，所以双曲线的渐近线方程为 y12x.答案：答案：c5双曲线双曲线 c：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为的离心率为 2，焦点到渐近焦点到渐近线的距离为线的距离为 3，则则 c 的焦距等于的焦距等于()a2b2 2c4d4 2解析解析： 双曲线的一条渐双曲线的一条渐近线方程为近线方程为xayb0， 即即 bxay0， 焦点焦点(c，0)到该渐近线的距离为到该渐近线的距离为bca2b2bcc 3，故故 b 3，结合结合ca2，c2a2b2得得 c2，则双曲线则双曲线

4、 c 的焦距为的焦距为 2c4.答案：答案：c二、填空题二、填空题6已知双曲线已知双曲线x2a2y2b21 的离心率为的离心率为 2，焦点与椭圆焦点与椭圆x225y291 的的焦点相同焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为那么双曲线的焦点坐标为_，渐近线方程为渐近线方程为_解析解析：因为椭圆的焦点坐标为因为椭圆的焦点坐标为(4，0)，(4，0)，所以在双曲线中所以在双曲线中，c4，且满足且满足ca2，故故 a2，b c2a22 3，所以双曲线的渐近线所以双曲线的渐近线方程为方程为 ybax 3x.答案：答案：(4，0)，(4，0)y 3x7过双曲线过双曲线 x2y231 的左焦点的左焦点 f1，作倾

5、斜角为作倾斜角为6的直线的直线 ab，其其中中 a，b 分别为直线与双曲线的交点分别为直线与双曲线的交点，则则|ab|的长为的长为_解析：解析：双曲线的左焦点为双曲线的左焦点为 f1(2，0)，将直线将直线 ab 方程：方程：y33(x2)代入双曲线方程得代入双曲线方程得 8x24x130，显然显然0，设设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，所以所以 x1x212，x1x2138，所以所以 |ab| 1k2 （x1x2）24x1x21131224138 3.答案：答案：38双曲线双曲线x24y2k1 的离心率的离心率 e(1，2)，则则 k 的取值范围是的取值范围是_解析：解析：双曲线方程可

6、变为双曲线方程可变为x24y2k1，则则 a24，b2k，c24k，eca4k2，又因为又因为 e(1，2)，则则 14k22，解得解得12k0答案：答案：(12，0)三、解答题三、解答题9求适合下列条件的双曲线的标准方程：求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)过点过点(3， 2)，离心率离心率 e52；(2)中心在原点中心在原点，焦点焦点 f1，f2在坐标轴上在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等实轴长和虚轴长相等，且过点且过点 p(4， 10)解解： (1)若双曲线的焦点在若双曲线的焦点在 x 轴上轴上， 设其标准方程为设其标准方程为x2a2y2b21(a0，b0)因为双曲线过点因为双曲线过点(

7、3， 2)，则则9a22b21.又又 ecaa2b2a252，故故 a24b2.由由得得 a21，b214，故所求双曲线的标准方程为故所求双曲线的标准方程为 x2y2141.若双曲线的焦点在若双曲线的焦点在 y 轴上轴上，设其标准方程为设其标准方程为y2a2x2b21(a0，b0)同理可得同理可得 b2172，不符合题意不符合题意综上可知综上可知，所求双曲线的标准方程为所求双曲线的标准方程为 x2y2141.(2)由由 2a2b 得得 ab，所以所以 e1b2a2 2，所以可设双曲线方程为所以可设双曲线方程为 x2y2(0)因为双曲线过点因为双曲线过点 p(4， 10)，所以所以 1610，即

8、即6.所以所以 双曲线方程为双曲线方程为 x2y26.所以所以 双曲线的标准方程为双曲线的标准方程为x26y261.10设双曲线设双曲线 c：x2a2y21(a0)与直线与直线 l：xy1 相交于两个相交于两个不同的点不同的点 a、b.(1)求实数求实数 a 的取值范围；的取值范围；(2)设直线设直线 l 与与 y 轴的交点为轴的交点为 p，若若pa512pb，求求 a 的值的值解解： (1)将将 yx1 代入双曲线方程代入双曲线方程x2a2y21(a0)中得中得(1a2)x22a2x2a20.依题意依题意1a20，4a48a2（1a2）0，所以所以 0a 2且且 a1.(2)设设 a(x1，

9、y1)，b(x2，y2)，p(0，1)，因为因为pa512pb，所以所以(x1，y11)512(x2，y21)由此得由此得 x1512x2.由于由于 x1，x2是方程是方程(1a2)x22a2x2a20 的两根的两根，且且 1a20，所以所以1712x22a21a2，512x222a21a2.消去消去 x2得得2a21a228960.由由 a0，解得解得 a1713.b 级级能力提升能力提升1若若 0ka2，则双曲线则双曲线x2a2ky2b2k1 与与x2a2y2b21 有有()a相同的虚线相同的虚线b相同的实轴相同的实轴c相同的渐近线相同的渐近线d相同的焦点相同的焦点解析解析：因为因为 0k

10、a2，所以所以 a2k0.对于双曲线对于双曲线x2a2ky2b2k1，焦点在焦点在 x 轴上且轴上且 c2a2kb2ka2b2.同理双曲线同理双曲线x2a2y2b21 焦焦点在点在 x 轴上且轴上且 c2a2b2，故它们有共同的焦点故它们有共同的焦点答案：答案：d2已知已知 f1，f2是双曲线是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两焦点的两焦点，以线以线段段f1f2为边作正三角形为边作正三角形 mf1f2，若边若边 mf1的中点的中点 p 在双曲线上在双曲线上，则双曲则双曲线的离心率是线的离心率是_解析解析：如图如图，连接连接 f2p，p 是是 mf1中点中点，则则 pf2mf1，在正三角

11、在正三角形形 mf1f2中中，|f1f2|2c，则则|pf1|c，|pf2| 3c.因为因为 p 在双曲线上在双曲线上，所以所以 |pf2|pf1|2a而而3cc2a所以所以ca2312（ 31）（ 31） （ 31） 31.答案：答案： 313直线直线 l：ykx1 与双曲线与双曲线 c：2x2y21 的右支交于不同的的右支交于不同的两点两点 a，b.(1)求实数求实数 k 的取值范围；的取值范围；(2)是否存在实数是否存在实数 k，使得以线段使得以线段 ab 为直径的圆经过双曲线为直径的圆经过双曲线 c 的的右焦点右焦点 f？若存在？若存在，求出求出 k 的值；若不存在的值；若不存在，说明

12、理由说明理由解解：(1)将直线将直线 l 的方程的方程 ykx1 代入双曲线代入双曲线 c 的方程的方程 2x2y21后后，整理整理，得得(k22)x22kx20，依题意依题意，直线直线 l 与双曲线与双曲线 c 的右支交于不同两点的右支交于不同两点，所以所以k220，（2k）28（k22）0，2kk220，2k220，解得解得 k 的取值范围为的取值范围为k|2k 2.(2)设设 a，b 两点的坐标分别为两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则由则由，得得 x1x22k2k2，x1x22k22.假设存在实数假设存在实数 k， 使得以线段使得以线段 ab 为直径的圆经过以曲线为直径的圆经过以曲线 c 的右焦的右焦点点 f(c，0)，则由则由 fafb，得得(x1c)(x