人教版高中数学选修11：2.2 双 曲 线 课时提升作业十四 2.2.2.2 Word版含解析

1、起课时提升作业(十四)双曲线方程及性质的应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.直线l过点(2,0)且与双曲线x2-y2=2仅有一个公共点,则这样的直线有()a.1条b.2条c.3条d.4条【解题指南】先判断点与曲线的位置关系,再结合题意求解.【解析】选c.点(2,0)即为双曲线的右顶点,过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点,另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点,故这样的直线只有3条.2.(2015·温州高二检测)已知双曲线e的中心为原点,f(3,0)是e的焦点,过f的直线l与e相交于a,b两点,且ab的中点为n(-12,-15

2、),则e的方程为()a.x23-y26=1b.x24-y25=1c.x26-y23=1d.x25-y24=1【解题指南】中点弦问题,借助点差法求解.【解析】选b.由c=3,设双曲线方程为x2a2-y29-a2=1,kab=0+153+12=1,设a(x1,y1),b(x2,y2),则x12a2-y129-a2=1,x22a2-y229-a2=1,-,得(x1+x2)(x1-x2)a2-(y1+y2)(y1-y2)9-a2=0,又n(-12,-15)为ab中点,所以x1+x2=-24,y1+y2=-30.所以-24(x1-x2)a2=-30(y1-y2)9-a2.所以y1-y2x1-x2=4(9

3、-a2)5a2=1.所以a2=4.所以双曲线方程为x24-y25=1.3.设直线l过双曲线c的一个焦点,且与c的一条对称轴垂直,l与c交于a,b两点,|ab|为c的实轴长的2倍,则c的离心率为()a.2b.3c.2d.3【解题指南】用a,b表示|ab|,由|ab|=4a求a,b的等量关系,进而求离心率.【解析】选b.由题意不妨设l:x=-c,则|ab|=2b2a,又|ab|=2×2a,故b2=2a2,所以e=1+b2a2=1+2=3.4.(2015·西安高二检测)过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点a作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条渐

4、近线的交点分别为b,c.若ab=12bc,则双曲线的离心率是()a.2b.3c.5d.10【解析】选c.右顶点为a(a,0),则直线方程为x+y-a=0,可求得直线与两渐近线的交点坐标ba2a+b,aba+b,ca2a-b,-aba-b,则bc=2a2ba2-b2,-2a2ba2-b2,ab=-aba+b,aba+b.又2ab=bc,所以2a=b,所以e=5.5.已知f1,f2分别为双曲线的左、右焦点,p为双曲线右支上的任意一点,若|pf1|2|pf2|的最小值为8a,则双曲线的离心率e的取值范围是()a.(1,+)b.(1,2c.(1,3d.(1,3【解析】选d.依题意知|pf1|-|pf2

5、|=2a,|pf1|2|pf2|=4a2+|pf2|2+4a|pf2|pf2|=4a+4a2|pf2|+|pf2|8a,当且仅当4a2|pf2|=|pf2|时等号成立.此时|pf2|=2a,|pf1|=4a,因为|pf1|+|pf2|2c.所以6a2c,即1<e3.【误区警示】本题求解时常常忘记检验双曲线定义满足的条件导致范围扩大.二、填空题(每小题5分,共15分)6.直线y=x+4与双曲线x2-y2=1的交点坐标为.【解析】联立方程组得y=x+4,x2-y2=1,消去y得x2-(x+4)2=1,则x=-178,代入y=x+4得y=158.故直线y=x+4与双曲线x2-y2=1的交点坐标

6、为-178,158.答案:-178,158【补偿训练】过点(0,1)且斜率为1的直线交双曲线x2-y24=1于a,b两点,则|ab|=.【解析】直线为y=x+1,与双曲线联立得y=x+1,x2-y24=1,得3x2-2x-5=0.所以x1+x2=23,x1x2=-53,所以|ab|=2·49+203=823.答案:8237.若直线y=kx与双曲线x29-y24=1相交,则k的取值范围为.【解题指南】借助双曲线与渐进线的关系,数形结合求解.【解析】双曲线x29-y24=1的渐近线方程为y=±23x,若直线与双曲线相交,数形结合,得k-23,23.答案:-23,238.(201

7、5·全国卷)已知f是双曲线c:x2-y28=1的右焦点,p是c左支上一点,a0,66,当apf周长最小时,该三角形的面积为.【解题指南】apf周长最小时,p点是点a与双曲线c:x2-y28=1的左焦点的连线与双曲线的交点.【解析】由已知a=1,b=22,c=3,所以f(3,0),f(-3,0),又a0,66,所以|af|=32+(66)2=15,apf周长l=|pa|+|pf|+|af|,又|pf|-|pf|=2,所以|pf|=|pf|+2,所以l=|pa|+|pf|+2+15|af|+17=32,当且仅当a,p,f三点共线时,apf周长最小,如图所示.设p(x,y),直线af的方程

8、为x-3+y66=1,联立得x-3+y66=1,x2-y28=1,消去x得6y2+36y-966=0,解得y=-86(舍)或y=26,则p(x,26).因为sapf=saff-spff=12×6×66-12×6×26=126.答案:126三、解答题(每小题10分,共20分)9.经过点m(2,2)作直线l交双曲线x2-y24=1于a,b两点,且m为ab中点.(1)求直线l的方程.(2)求线段ab的长.【解析】(1)设a(x1,y1),b(x2,y2),代入双曲线方程得x12-y124=1,x22-y224=1,两式相减得x12-x22-y124-y224=

9、0,(x1+x2)(x1-x2)-14(y1+y2)(y1-y2)=0.因为m为ab的中点,所以x1+x2=4,y1+y2=4,所以4(x1-x2)-(y1-y2)=0,kl=y1-y2x1-x2=4,所以l的方程为y-2=4(x-2),即y=4x-6.(2)将y=4x-6代入到x2-y24=1中得3x2-12x+10=0,故x1+x2=4,x1x2=103,所以|ab|=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=23102.【补偿训练】过点p(8,1)的直线与双曲线x2-4y2=4相交于a,b两点,且p是线段ab的中点,求直线ab的方程.【解析】设a,b的坐标分别为(x1,y1),(x2,y

10、2),则x12-4y12=4,x22-4y22=4.-得(x1+x2)(x1-x2)-4(y1+y2)(y1-y2)=0.因为p是线段ab的中点,所以x1+x2=16,y1+y2=2.所以y1-y2x1-x2=x1+x24(y1+y2)=2.所以直线ab的斜率为2.所以直线ab的方程为y-1=2(x-8),即2x-y-15=0.10.(2015·大连高二检测)双曲线的两条渐近线的方程为y=±2x,且经过点(3,-23).(1)求双曲线的方程.(2)过双曲线的右焦点f且倾斜角为60°的直线交双曲线于a,b两点,求|ab|.【解析】(1)因为双曲线的两条渐近线方程为y

11、=±2x,所以可设双曲线的方程为2x2-y2=(0).又因为双曲线经过点(3,-23),代入方程可得=6,所以所求双曲线的方程为x23-y26=1.(2)设a(x1,y1)、b(x2,y2),过f且倾斜角为60°的直线方程为y=3(x-3),联立y=3(x-3),2x2-y2=6,得x2-18x+33=0,由根与系数的关系得x1+x2=18,x1x2=33,所以|ab|=1+k2|x1-x2|=1+3·(x1+x2)2-4x1x2=2324-132=163,即弦长|ab|=163.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知f是双曲线x23a2-y

12、2a2=1(a>0)的右焦点,o为坐标原点,设p是双曲线c上一点,则pof的大小不可能是()a.15°b.25°c.60°d.165°【解题指南】先求渐近线的夹角,再借助双曲线与渐近线的关系,数形结合求解.【解析】选c.双曲线的渐近线方程为y=±33x,所以渐近线的倾斜角为30°或150°,所以pof不可能等于60°.2.(2015·冀州高二检测)过双曲线x2a2-y25-a2=1(a>0)右焦点f作一条直线,当直线斜率为2时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为3时,直线与双曲线

13、右支有两个不同交点,则双曲线离心率的取值范围为()a.(2,5)b.(5,10)c.(1,2)d.(5,52)【解析】选b.由题意可知,5-a2>0,2<5-a2a2<3,从而4<5-a2a2<9,所以e=1+5-a2a2(5,10).二、填空题(每小题5分,共10分)3.已知a(1,2),b(-1,2),动点p满足apbp.若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与动点p的轨迹没有公共点,则双曲线离心率的取值范围是.【解题指南】先由直接法确定点p的轨迹(为一个圆),再由渐近线与该轨迹无公共点得到不等关系,进一步列出关于离心率e的不等式

14、进行求解.【解析】设p(x,y),由题设条件,得动点p的轨迹为(x-1)(x+1)+(y-2)·(y-2)=0(x±1),即x2+(y-2)2=1(x±1),它是以(0,2)为圆心,1为半径的圆(a,b两点除外).又双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax,即bx±ay=0,由题意,可得2aa2+b2>1,即2ac>1,所以e=ca<2,又e>1,故1<e<2.答案:(1,2)4.(2014·浙江高考)设直线x-3y+m=0(m0)与双曲线x2a2-y2b

15、2=1(a>b>0)两条渐近线分别交于点a,b,若点p(m,0)满足|pa|=|pb|,则该双曲线的离心率是.【解题指南】求出a,b的坐标,写出ab中点q的坐标,因为|pa|=|pb|,所以pq与已知直线垂直,寻找a与c的关系.【解析】由双曲线的方程可知,它的渐近线方程为y=bax与y=-bax,分别与x-3y+m=0(m0)联立方程组,解得a-ama-3b,-bma-3b,b-ama+3b,bma+3b,设ab的中点为q,则q-ama-3b+-ama+3b2,-bma-3b+bma+3b2,因为|pa|=|pb|,所以pq与已知直线垂直,所以kpq=-3,解得2a2=8b2=8(

16、c2-a2),即c2a2=54,ca=52.答案:52三、解答题(每小题10分,共20分)5.已知双曲线3x2-y2=3,直线l过其右焦点f2,且倾斜角为45°,与双曲线交于a,b两点,试问a,b两点是否位于双曲线的同一支上?并求弦ab的长.【解析】因为直线l过点f2且倾斜角为45°,所以直线l的方程为y=x-2.代入双曲线方程,得2x2+4x-7=0.设a(x1,y1),b(x2,y2).因为x1·x2=-72<0,所以a,b两点分别位于双曲线的左、右两支上.因为x1+x2=-2,x1·x2=-72,所以|ab|=1+12|x1-x2|=2

17、83;(x1+x2)2-4x1x2=2·(-2)2-4-72=6.6.(2015·北京高二检测)直线l:y=kx+1与双曲线c:2x2-y2=1的右支交于不同的两点a,b.(1)求实数k的取值范围.(2)是否存在实数k,使得以线段ab为直径的圆经过双曲线c的右焦点f?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.【解析】(1)将直线l的方程y=kx+1代入双曲线c的方程2x2-y2=1后,整理得,(k2-2)x2+2kx+2=0.依题意,直线l与双曲线c的右支交于不同两点,故k2-20,=(2k)2-8(k2-2)>0,-2kk2-2>0,2k2-2>0.解得k的取值范围是-2<k<-2.(2)设a,b两点的坐标分别为(x