曲线积分与曲面积分习题课

1、第十章 习题课曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分一一 基本要求基本要求1理解两类曲线和曲面积分的概念理解两类曲线和曲面积分的概念, ,了解了解两类积分的性质以及两类积分的关系两类积分的性质以及两类积分的关系. .2掌握计算两类曲线、曲面积分的方法掌握计算两类曲线、曲面积分的方法.3掌握格林公式并会运用平面曲线积分掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件与路径无关的条件.4.了解高斯公式了解高斯公式,并会用公式求曲面积分并会用公式求曲面积分.5会用曲线积分和曲面积分求一些几何会用曲线积分和曲面积分求一些几何量与物理量（弧长量与物理量（弧长,质量质量,重心重心,转动惯量转动惯量,引力、功

2、和流量等）引力、功和流量等）. . 二二. .要点提示要点提示( ),( ),xtytt 22( , )( ),( )( )( ),lf x y dsftttt dt 22( )( ),dstt dt 弧微分弧微分设设l：（1）对弧长（第一类）对弧长（第一类）1.曲线积分的计算曲线积分的计算化为定积分计算化为定积分计算 （2）对坐标（第二类）对坐标（第二类）( ),( ),xtyt ( , )( , )( ),( )( )( ),( )( )lp x y dxq x y dyptttqttt dt 设设l： ,ab 从从到到2曲面积分的计算（化为二重积分）曲面积分的计算（化为二重积分）( ,

3、, )f x y z ds :( , )zz x y 22:( , ),1yzxx y z dsxx dydz 22:( , ),1xzyy x z dsyy dxdz 若若（1）对面积（第一类）的曲面积分）对面积（第一类）的曲面积分 22 , , ( , )1( , )( , )xyxydf x y z x yzx yzx y dxdy 若 下侧，则若 上侧，则（2）对坐标（第二类）的曲面积分）对坐标（第二类）的曲面积分 ( , , ), , ( , )xydr x y z dxdyr x y z x y dxdy :( , )zz x y ( , , ), , ( , )xydr x y

4、z dxdyr x y z x y dxdy ( , , )( , ), ,yzdp x y z dydzp x y zy z dydz :( , ),xx y z :( , ),yy x z ( , , ). ( , ),zxdq x y z dzdxq x y z xz dzdx :( , )zz x y ()dlqpdxdypdxqdyxy 3.格林公式格林公式 平面上曲线积分与二重积分的关系平面上曲线积分与二重积分的关系（1）曲线积分与路径无关的条件）曲线积分与路径无关的条件l取正向取正向.以及等价关系以及等价关系.qpxy （2）添加曲线使积分曲线弧段成为闭曲线，）添加曲线使积分曲线

5、弧段成为闭曲线，利用格林公式求曲线积分利用格林公式求曲线积分.4.4.高斯公式高斯公式 曲面积分与三重积分的关系曲面积分与三重积分的关系()pqrdvpdydzqdzdxrdxdyxyz . 为为外外侧侧三 问题与思考问题问题1 1 下列运算正确吗？下列运算正确吗？ 22222222232224122xyaldxyaxydsadsaxydada 解（解（1）正确）正确. (2) 错误，因为二重积分的积分包括圆错误，因为二重积分的积分包括圆的边界和内部，正确的是的边界和内部，正确的是 222222240012axyaxyddrrdra 22222222232224122xyaldxyaxydsa

6、dsaxydada 问题问题1 设设 为平面为平面xza222xya 3(1)()2xz dsadsaa 的的面面积积 3(2)()2xz dxdyadxdyaa 的的面面积积在柱面在柱面下面两个积分的解法是否正确？下面两个积分的解法是否正确？内那一部分的上侧，内那一部分的上侧，三 问题与思考正确正确错误错误是是 在在xoy面上的投影，面上的投影， 因为第二个积分是对坐标的曲面积分，因为第二个积分是对坐标的曲面积分，dxdyds()dxz dxdyadxdyadxdy 222:d xya如果如果 是下侧，则是下侧，则3()dxz dxdyadxdya 故正确的作法是：故正确的作法是： 3ada

7、 的的面面积积其中的微元其中的微元3()2,xz dsa 3()2xz dxdya 问题问题2. 如何正确理解两类曲线积分和曲面积分的如何正确理解两类曲线积分和曲面积分的概念？概念？答：由于实际需要答：由于实际需要, ,曲线积分与曲面积分为两种曲线积分与曲面积分为两种类型类型, ,有关质量重心转动惯量等数量积分问有关质量重心转动惯量等数量积分问题导出第一类线面积分题导出第一类线面积分; ;有关变力作功有关变力作功, ,流体流过流体流过曲面的流量等向量问题导出第二类线、面积分曲面的流量等向量问题导出第二类线、面积分. . 前者被积函数化为数量函数沿区域积分前者被积函数化为数量函数沿区域积分, ,

8、无需无需考虑方向性考虑方向性, ,而后者被积函数是向量函数而后者被积函数是向量函数, ,必须考必须考虑方向虑方向. .因此因此, ,一个函数的积分可以由积分区域的一个函数的积分可以由积分区域的有向或无向分为两种类型的积分有向或无向分为两种类型的积分. . 在所学过的积分中区域无向的积分有：在所学过的积分中区域无向的积分有：重积分重积分, ,第一类曲线积分和第一类曲面积分第一类曲线积分和第一类曲面积分区域有向的积分有：区域有向的积分有：定积分定积分, ,第二类曲线积分和第二类曲面积分第二类曲线积分和第二类曲面积分. . 曲线的方向是由起点到终点（定积分）曲线的方向是由起点到终点（定积分）或切向量

9、的方向来确定或切向量的方向来确定, ,曲面的方向则由曲曲面的方向则由曲面上点的法向量所指向的侧来确定面上点的法向量所指向的侧来确定. .问题问题3 设设 是半球面是半球面2222(0)xyzry 0zds 0zdxdy 的外侧的外侧. .有人说：有人说：“由对称性知由对称性知故同样也有故同样也有 ”, 对吗对吗?不对不对 讨论题 由此给出对弧长的曲线积分的由此给出对弧长的曲线积分的几何意义几何意义. 已知一柱面的准线（平面曲线）和高，已知一柱面的准线（平面曲线）和高，可以利用积分求出它的面积吗？可以利用积分求出它的面积吗？提示：由定积分的几何意义推广提示：由定积分的几何意义推广.答：柱面的侧面

10、积答：柱面的侧面积( , )lf x y ds （准线准线y=y(x)为底边，为底边，z=f (x,y)为为高高的面积）的面积）oxyz),(yxfz y=y(x)( , )( )0( , )lf x y dsyy xzzf x y 表表示示柱柱面面介介于于平平面面与与之之间间部部分分的的面面积积. .)(:xyyl 准准线线oxyz),(yxfz )(xyy 柱面：柱面：平面上对弧长的曲线积分几何意义：平面上对弧长的曲线积分几何意义：例例1 计算计算 12llxy dsxy dx :1,1,00,1lxy从从到到。 1,0 0,1oyx四 典型题目解解 21:1,12l yx dsy dxd

11、x 10122lxy dsdx 12lllxy dsdsds或或 2:1,:10,l yx x 0111lxy dxdx 22222, :nlxydsl yax 例求例求上半圆周上半圆周 222nnllxydsads解解 改写改写l：222,0 xyay221nnladsa 因为积分曲线因为积分曲线l关于关于y轴对称，函数轴对称，函数 2xy是是x221,43xy 22(234)dlxyxys 222d(34)dllxy sxys 2d0lxy s 22(34)d12d12llxyssa 22(234)d12lxyxysa 例例3 设设l为椭圆为椭圆其周长为其周长为a，求，求解解 原式原式=的

12、奇函数，因此有的奇函数，因此有而而所以所以 l取顺时针方向取顺时针方向. .()d()d()dlzyxxzyxyz 221,2xyxyz 221xy cos ,sin ,xt yt 2zxy 2cossin ,ztt t 从从 变到变到0. 2 例例4 4 计算曲线积分计算曲线积分其中其中l是曲线是曲线因此可令因此可令再由再由得得解解 这里这里l由一般方程给出，首先要将一般由一般方程给出，首先要将一般从从z轴正向看去，轴正向看去，方程化为参数方程方程化为参数方程. 注意到注意到02(2 cos )( sin ) (2cos2 sin ) costtttt 02(2sin2cos2cos21)d

13、2tttt 于是于是cos , sin , 2cossin ,xtytztt l参数方程参数方程t 从从 变到变到0. 2 ()d()d()dlzyxxzyxyz (cossin )(sincos )dttttt25 x ds 例例求求2222xyzr：，第第一一卦卦限限部部分分. .222221xyrdxdydszzdxdyrxy2221:zrxy解解法法2222:,0,0 xydxyrxy 22222222:,0,0 xyxydrx dxdydxyr xyrxy 32422200cos6rrddrr 222221xyrdxdydszzdxdyrxy222:zrxy2x ds 解法解法2 由

14、对称性（轮换性）由对称性（轮换性）222x dsy dsz ds 222213x dsxyzds2224143386rrdsrr 22226 xyzxy dxdy 例例求求， 22:10zxyz的下侧的下侧.22 :1xyxoydxy下下解解向向面面的的投投影影区区域域 222222=xydxyzxy dxdyxy dxdy 2120023dd 2xdydzzdzdxyzdxdy 是是介于介于 2240 xyx 13z 之间的部分，它的法向量指向前侧之间的部分，它的法向量指向前侧. .20yzdxdy 解解 由于曲面由于曲面在在xoy面的投影为一半圆周面的投影为一半圆周曲线，曲线，所以所以例例7 求求面积为面积为0，zxy,zdzdx 21:4yx (0,13)xz22:4yx x,|13,02zdz xzx 120zxzxddzdzdxzdz