曲面积分与曲线积分20893

1、106 高斯公式高斯公式 通量与散度通量与散度一、高斯公式一、高斯公式二、通量与散度二、通量与散度高斯公式的物理意义、散度散度的计算、通量、高斯公式的另一形式一、高斯公式一、高斯公式 定理1 设空间闭区域w是由分片光滑的闭曲面s所围成，函数p(x, y, z)、q(x, y, z)、r(x, y, z)在w上具有一阶连续偏导数，则有dvzryqxpwsrdxdyqdzdxpdydz，或 dvzryqxpwdsrqp)coscoscos(s这里s是w的整个边界的外侧，cos 、cos 、cos是s上点(x, y, z)处的法向量的方向余弦 这两个公式称为高斯公式证明 如图所示，把s看成由s1，s

2、2和s3三部分组成，其中s1和s2的方程分别为zz1(x, y)和 zz2(x, y) ，s1 取下侧，s2 取上侧，s3 取外侧设闭区域w在xoy面上的投影区域为d xy简要证明：x y zows2 ：zz2(x, y)s3s1 ：zz1(x, y)dxy 根据三重积分的计算法，有dvzrwxydyxzyxzdzzrdxdy),(),(21xyddxdyyxzyxryxzyxr),(,),(,12 另一方面，有s1),(,),(1xyddxdyyxzyxrdxdyzyxr，s2),(,),(2xyddxdyyxzyxrdxdyzyxr，s30),(dxdyzyxr，sdxdyzyxr),(x

3、yddxdyyxzyxryxzyxr),(,),(,12以上三式相加，得所以有 dvzrwsdxdyzyxr),( 类似地有dvxpwsdydzzyxp),(，dvyqwsdzdxzyxq),(，把以上三式两端分别相加，即得高斯公式 例 1 利用高斯公式计算曲面积分dydzzydxdyyx)()(s，其中s为柱面 x2y21 及平面 z0，z3 所围成的空间闭区域w的整个边界曲面的外侧 解 这里p(yz)x，q0，rxy，xpyz，xq0，xr0由高斯公式，有201030)sin(dzzrrdrd29 wdzrdrdzr)sin(wdxdydzzy)(dydzzydxdyyx)()(sx y

4、zo113 例 2 计算曲面积分s(x2 cos y2 cos z2 cos)ds，其中s为锥面 x2y2z2介于平面 z0 及 zh (h0)之间的部分的下侧，cos 、cos 、cos是s上点(x, y, z)处的法向量的方向余弦 解 设s1为zh(x2y2 h 2)的上侧，则s与s1一起构成一个闭曲面，记它们围成的空间闭区域为wx y zox2y2 h 2hs1s22yxz:而因此s(x2 cos y2 cos z2 cos)dsss1(x2 cos y2 cos z2 cos)ds22222)(2hyxhyxdzzyxdxdy222222hyxhyxzdzdxdy222)(222hyx

5、dxdyyxh421h 由高斯公式得x2 cos y2 cos z2 cos)dswdvzyx)(222222)(2hyxhyxdzzyxdxdy222222hyxhyxzdzdxdyx2 cos y2 cos z2 cos)ds421hh 4421hs1(x2 cos y2 cos z2 cos)ds x2 cos y2 cos z2 cos)ds s1z2 ds2222hyxdxdyhh 4二、通量与散度二、通量与散度 高斯公式的右端可解释为单位时间内离开闭区域w的流体的总质量，左端可解释为分布在w内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量高斯公式的物理意义：dvzryqxpwdssnf 在流速场 f p(x, y, z), q(x, y, z), r(x, y, z)内一定点m(x, y, z)附近任取一包围m点的闭曲面s，设s所围成的区域为w，w的体积为v，则散度：表示单位时间从w的单位体积内所产生的流量，而dsvsnf1mwlimdsvsnf1表示在点m处单位时间内所产生的流量，我们称其为向量场f在点m的散度，记为divf，即 divfmw limdsvsnf1 设p、q、r具有一阶连续偏导数，则散度的计算：divf zryqxp 设s是向