专项24-切线长定理及三角形的内切圆-重难点题型

切线长定理及三角形的内切圆-重难点题型【知识点1切线长定理及三角形的内切圆】（1）切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角（2）三角形内切圆三角形内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆内切圆的圆心是三角形三个内角的角平分线的交点，叫做三角形的内心三角形的内心到三角形三边的距离相等【题型1切线长定理（周长问题）】【例1】（永定区模拟）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，直线FG切⊙O于点E，交PA于F，交PB于点G，若PA＝8cm，则△PFG的周长是（）A．8cm B．12cm C．16cm D．20cm【变式1-1】（龙凤区期末）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝9，CD＝15，则四边形ABCD的周长为．【变式1-2】（崇川区月考）如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为．【变式1-3】（锡山区校级月考）如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是AB上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E．若PA＝4，求△PED的周长．【题型2三角形的内切圆（求半径）】【例2】（张店区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，⊙O是Rt△ABC的内切圆，则⊙O的半径为（）A．1 B．3 C．2 D．2【变式2-1】（新丰县期末）已知一个直角三角形的两直角边长分别为4、3，则其内切圆的半径为．【变式2-2】（东台市期末）在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，则这个三角形的内切圆的半径是（）A．5 B．2 C．5或2 D．2或7−【变式2-3】（江岸区校级月考）如图，△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC＝14，则△ABC的内切圆半径为．【题型3三角形的内切圆（求面积）】【例3】（遵化市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝2，AF＝3，则△ABC的面积是（）A．6 B．7 C．73 D．12【变式3-1】（河北模拟）如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN＝4，则⊙O的面积为（）A．π B．2π C．4π D．0.5π【变式3-2】（荆门一模）如图，点O为△ABC的内心，∠A＝60°，OB＝2，OC＝4，则△OBC的面积是（）A．43 B．23 C．2【变式3-3】（黄冈期中）如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E为切点，F点在AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积．【题型4三角形的内切圆（求角度）】【例4】（莱芜区三模）如图，锐角△ABC内接于⊙O，I为△ABC内心，已知∠OAB＝50°，则∠AIB的度数为（）A．110° B．125° C．130° D．135°【变式4-1】（夏津县期末）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，I是△ABC的内心，则∠BIA的度数是．【变式4-2】（龙岩期末）如图，PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交PA、PB于C、D两点，若∠P＝40°，则∠PAE+∠PBE的度数为（）A．50° B．62° C．66° D．70°【变式4-3】（沙坪坝区校级月考）如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝108°，则∠COD的度数是．

切线长定理及三角形的内切圆-重难点题型（解析版）【知识点1切线长定理及三角形的内切圆】（1）切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角（2）三角形内切圆三角形内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆内切圆的圆心是三角形三个内角的角平分线的交点，叫做三角形的内心三角形的内心到三角形三边的距离相等【题型1切线长定理（周长问题）】【例1】（永定区模拟）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，直线FG切⊙O于点E，交PA于F，交PB于点G，若PA＝8cm，则△PFG的周长是（）A．8cm B．12cm C．16cm D．20cm【分析】由于PA、FG、PB都是⊙O的切线，可根据切线长定理，将△ABC的周长转化为切线长求解．【解答】解：根据切线长定理可得：PA＝PB，FA＝FE，GE＝GB；所以△PFG的周长＝PF+FG+PG，＝PF+FE+EG+PG，＝PF+FA+GB+PG，＝PA+PB＝16cm，故选：C．【变式1-1】（龙凤区期末）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝9，CD＝15，则四边形ABCD的周长为48．【分析】根据切线长定理得到AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，得到AD+BC＝AB+CD＝24，根据四边形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，∴AD+BC＝AB+CD＝24，∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝24+24＝48，故答案为：48．【变式1-2】（崇川区月考）如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为14．【分析】根据切线的性质知：AE＝EF，BC＝CF；根据△CDE的周长可求出正方形ABCD的边长；在Rt△CDE中，利用勾股定理可将AE的长求出，进而可求出直角梯形ABCE的周长．【解答】解：设AE的长为x，正方形ABCD的边长为a，∵CE与半圆O相切于点F，∴AE＝EF，BC＝CF，∵EF+FC+CD+ED＝12，∴AE+ED+CD+BC＝12，∵AD＝CD＝BC＝AB，∴正方形ABCD的边长为4；在Rt△CDE中，ED2+CD2＝CE2，即（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得：x＝1，∴AE+EF+FC+BC+AB＝14，∴直角梯形ABCE周长为14．故答案为：14．【变式1-3】（锡山区校级月考）如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是AB上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E．若PA＝4，求△PED的周长．【分析】由PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，根据切线长定理得到PA＝PB＝4，同理得DC＝DA，EC＝EB，再根据三角形周长的定义得到△PED的周长＝PD+DE+PE，然后利用等相等代换得到△PDE的周长＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB．【解答】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，∴PA＝PB＝4，∵过点C的切线分别交PA、PB于点D、E，∴DC＝DA，EC＝EB，∴△PED的周长＝PD+DE+PE＝PD+DC+CE+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝4+4＝8．【题型2三角形的内切圆（求半径）】【例2】（张店区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，⊙O是Rt△ABC的内切圆，则⊙O的半径为（）A．1 B．3 C．2 D．2【分析】根据三角形内切圆与内心的性质和三角形面积公式解答即可．【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，∴AC=A如图，分别连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，∵⊙O是△ABC内切圆，D、E、F为切点，∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB于D、E、F，OD＝OE＝OF，∴S△ABC＝S△BOC+S△AOC+S△AOB=12BC•DO+12AC•OE+12AB•FO=12（∵∠C＝90°，∴12×AC•BC=12（BC+AC+∴OD=3×4故选：A．【变式2-1】（新丰县期末）已知一个直角三角形的两直角边长分别为4、3，则其内切圆的半径为1．【分析】连接OE、OQ，根据圆O是三角形ABC的内切圆，得到AE＝AF，BQ＝BF，∠OEC＝∠OQC＝90°，OE＝OQ，推出正方形OECQ，设OE＝CE＝CQ＝OQ＝r，得到方程4﹣r+3﹣r＝5，求出方程的解即可．【解答】解：如图，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB=A∴∠C＝90°，连接OE、OQ，设圆O是三角形ABC的内切圆，∴AE＝AF，BQ＝BF，∠OEC＝∠OQC＝∠C＝90°，OE＝OQ，∴四边形OECQ是正方形，∴设OE＝CE＝CQ＝OQ＝r，∵AF+BF＝5，∴4﹣r+3﹣r＝5，∴r＝1，故答案为：1．【变式2-2】（东台市期末）在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，则这个三角形的内切圆的半径是（）A．5 B．2 C．5或2 D．2或7−【分析】根据Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，分两种情况讨论：当BC边为直角边和斜边两种情况求解即可．【解答】解：设直角三角形ABC内切圆的圆心为点I，半径为r，三边上的切点分别为D、E、F，连接ID、IE、IF，得正方形，则正方形的边长即为r，如图所示：当BC为直角边时，AC=A根据切线长定理，得AD＝AF＝AB﹣BD＝6﹣r，CE＝CF＝BC﹣BE＝8﹣r，∴AF+FC＝AC＝10，即6﹣r+8﹣r＝10，解得r＝2；当BC为斜边时，AC=BC2根据切线长定理，得BD＝BF＝6﹣r，CE＝CF＝27−r∴BC＝BF+CF＝6﹣r+27−r解得r=7答：这个三角形的内切圆的半径是2或7−故选：D．【变式2-3】（江岸区校级月考）如图，△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC＝14，则△ABC的内切圆半径为4．【分析】过点A作AH⊥BC于H，设BH＝x，则CH＝14﹣x，根据勾股定理可得x的值，可得△ABC的面积，根据△ABC的内切圆圆心为I，切点分别为D，E，F，连接ID，IE，IF，AI，BI，CI，可得ID＝IE＝IF，根据S△ABC＝S△AIB+S△BIC+S△AIC，列式计算即可得△ABC的内切圆半径．【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H，∵AB＝13，AC＝15，BC＝14，设BH＝x，则CH＝14﹣x，在Rt△ABH中，AH2+x2＝132，在Rt△AHC中，AH2＝152﹣（14﹣x）2，∴132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，∴132﹣x2＝152﹣196+28x﹣x2，解得x＝5，在Rt△ACH中，AH=A∴△ABC的面积=12BC•AH∵△ABC的内切圆圆心为I，切点分别为D，E，F，连接ID，IE，IF，AI，BI，CI，∴ID＝IE＝IF，∴S△ABC＝S△AIB+S△BIC+S△AIC，∴84=12AB•ID+12BC•IE+∴84=12∴ID＝4．∴△ABC的内切圆半径为4．故答案为：4．【题型3三角形的内切圆（求面积）】【例3】（遵化市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝2，AF＝3，则△ABC的面积是（）A．6 B．7 C．73 D．12【分析】利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形OECD是正方形，进而利用勾股定理得出答案．【解答】解：连接DO，EO，∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∴OE⊥AC，OD⊥BC，CD＝CE，BD＝BF＝2，AF＝AE＝3又∵∠C＝90°，∴四边形OECD是矩形，又∵EO＝DO，∴矩形OECD是正方形，设EO＝x，则EC＝CD＝x，在Rt△ABC中BC2+AC2＝AB2故（x+2）2+（x+3）2＝52，解得：x＝1，∴BC＝3，AC＝4，∴S△ABC=1故选：A．【变式3-1】（河北模拟）如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN＝4，则⊙O的面积为（）A．π B．2π C．4π D．0.5π【分析】设⊙O与正方形ABCD的边CD切于E，与BC切于F，连接OE，OF，得到四边形OECF是正方形，求得CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°，根据全等三角形的性质得到EM＝NF，得到OE＝2，于是得到结论．【解答】解：设⊙O与正方形ABCD的边CD切于E，与BC切于F，连接OE，OF，则四边形OECF是正方形，∴CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°，∵∠MON＝90°，∴∠EOM＝∠FON，∴△OEM≌△OFN（ASA），∴EM＝NF，∴CM+CN＝CE+CF＝4，∴OE＝2，∴⊙O的面积为4π，故选：C．【变式3-2】（荆门一模）如图，点O为△ABC的内心，∠A＝60°，OB＝2，OC＝4，则△OBC的面积是（）A．43 B．23 C．2【分析】过点C作CH⊥BO的延长线于点H，根据点O为△ABC的内心，∠A＝60°，可得∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝90°+12∠A＝120°，所以∠COH＝60°，利用含30度角的直角三角形可得CH【解答】解：如图，过点C作CH⊥BO的延长线于点H，∵点O为△ABC的内心，∠A＝60°，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝90°+12∴∠COH＝60°，∵OB＝2，OC＝4，∴OH＝2∴CH＝23，∴△OBC的面积=12×OB•CH=12故选：B．【变式3-3】（黄冈期中）如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E为切点，F点在AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积．【分析】设AF＝x，由切线长定理可得EF＝AF＝x，则FD＝1﹣x，CF＝CE+EF＝CB+EF＝1+x，利用勾股定理建立方程求出x的值，再根据三角形的面积公式即可求出问题的答案．【解答】解：设AF＝x，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，∴DA⊥AB，∴AD是圆的切线，∵CF是⊙O的切线，E为切点，∴EF＝AF＝x，∴FD＝1﹣x，∵CB⊥AB，∴CB为⊙O的切线，∴CB＝CE，∴CF＝CE+EF＝CB+EF＝1+x．∴在Rt△CDF中由勾股定理得到：CF2＝CD2+DF2，即（1+x）2＝1+（1﹣x）2，解得x=1∴DF＝1﹣x=3∴S△CDF=12×【题型4三角形的内切圆（求角度】【例4】（莱芜区三模）如图，锐角△ABC内接于⊙O，I为△ABC内心，已知∠OAB＝50°，则∠AIB的度数为（）A．110° B．125° C．130° D．135°【分析】根据OA＝OB，得∠O＝80°，则∠C＝40°，由I为△ABC内心，得AI、BI为∠CAB、∠CBA的平分线，则有∠IAB+∠IBA=12（∠CAB+∠CBA）=1【解答】解：连接OB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝50°，∴∠O＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）＝80°，∴∠C＝40°，∵I为△ABC内心，∴AI、BI为∠CAB、∠CBA的平分线，∴∠IAB=12∠CAB，∠∴∠IAB+∠IBA=12（∠CAB+∠CBA）=1∴∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA）＝180°﹣70°＝110°．故选：A．【变式4-1】（夏津县期末）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，I是△ABC的内心，则∠BIA的度数是135°．【分析】根据圆周角定理求出∠C＝90°，求出∠CAB+∠CBA＝90°，根据三角形的内切圆得出∠IAB=12∠CAB，∠IBA=12∠CBA，求出∠IAB+∠IBA=【解答】解：∵△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵I是△ABC的内心，∴∠IAB=12∠CAB，∠IBA=∴∠IAB+∠IBA=12（∠CAB+∠∴∠AIB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝180°﹣45°＝135°，故答案为：135．【变式4-2】（龙岩期