高中数学人教A版选修11学业分层测评12 抛物线的简单几何性质 Word版含解析

1、高中数学选修精品教学资料学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1过抛物线y24x的焦点作一条直线与抛物线相交于a,b两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线()a有且仅有一条b有且仅有两条c有无穷多条d不存在【解析】由定义,知|ab|527,因为|ab|min4,所以这样的直线有且仅有两条【答案】b2过点(1,0)作斜率为2的直线,与抛物线y28x交于a,b两点,则弦ab的长为()a2b2c2d2【解析】设a,b两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由直线ab斜率为2,且过点(1,0)得直线ab的方程为y2(x1),代入抛物线方程y28x得4(x1)28x,整理得x24

2、x10,则x1x24,x1x21,|ab|2.故选b.【答案】b3(2014·全国卷)已知抛物线c：y2x的焦点为f,a(x0,y0)是c上一点,|af|x0,则x0()a1b2 c4d8【解析】由y2x得2p1,即p,因此焦点f,准线方程为l：x,设a点到准线的距离为d,由抛物线的定义可知d|af|,从而x0x0,解得x01,故选a.【答案】a4已知抛物线y22px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于a,b两点,若线段ab的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()ax1bx1cx2dx2【解析】设a(x1,y1),b(x2,y2),由a,b两点在抛物线上,得y2

3、px1,y2px2,由,得(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)又线段ab的中点的纵坐标为2,即y1y24,直线ab的斜率为1,故2p4,p2,因此抛物线的准线方程为x1.【答案】b5设o为坐标原点,f为抛物线y24x的焦点,a为抛物线上一点,若o·a4,则点a的坐标为() 【导学号：26160061】a(2,±2)b(1,±2)c(1,2)d(2,2)【解析】设a(x,y),则y24x,o(x,y),a(1x,y),o·axx2y24,由可解得x1,y±2.【答案】b二、填空题6抛物线y24x上的点到直线xy40的最小距离为_【解析】可判断

4、直线yx4与抛物线y24x相离,设yxm与抛物线y24x相切,则由消去x得y24y4m0.1616m0,m1.又yx4与yx1的距离d,则所求的最小距离为.【答案】7已知抛物线y24x,过点p(4,0)的直线与抛物线相交于a(x1,y1),b(x2,y2)两点,则yy的最小值是_【解析】设ab的方程为xmy4,代入y24x得y24my160,则y1y24m,y1y216,yy(y1y2)22y1y216m232,当m0时,yy最小为32.【答案】328过抛物线y22x的焦点f作直线交抛物线于a,b两点,若|ab|,|af|bf|,则|af|_.【解析】设过抛物线焦点的直线为yk,联立得整理得k

5、2x2(k22)xk20,x1x2,x1x2.|ab|x1x211,得k224,代入k2x2(k22)xk20得12x213x30,解之得x1,x2,又|af|bf|,故|af|x1.【答案】三、解答题9求过定点p(0,1),且与抛物线y22x只有一个公共点的直线方程【解】如图所示,若直线的斜率不存在,则过点p(0,1)的直线方程为x0,由得即直线x0与抛物线只有一个公共点若直线的斜率存在,则设直线为ykx1,代入y22x得：k2x2(2k2)x10,当k0时,直线方程为y1,与抛物线只有一个交点当k0时,(2k2)24k20k.此时,直线方程为yx1.可知,y1或yx1为所求的直线方程故所求

6、的直线方程为x0或y1或yx1.10已知抛物线的焦点f在x轴上,直线l过f且垂直于x轴,l与抛物线交于a,b两点,o为坐标原点,若oab的面积等于4,求此抛物线的标准方程【解】由题意,抛物线方程为y22px(p0),焦点f,直线l：x,a,b两点坐标为,|ab|2|p|.oab的面积为4,··2|p|4,p±2.抛物线方程为y2±4x.能力提升1(2014·全国卷)设f为抛物线c：y23x的焦点,过f且倾斜角为30°的直线交c于a,b两点,则|ab|()a.b6c12d7【解析】f为抛物线c：y23x的焦点,f,ab的方程为y0tan

7、 30°,即yx.联立得x2x0.x1x2,即xaxb.由于|ab|xaxbp,所以|ab|12.【答案】c2已知ab是抛物线y22px(p>0)上的两点,o为原点,若|,且抛物线的焦点恰好为aob的垂心,则直线ab的方程是()axpbxpcxpdx3p【解析】|o|,a,b关于x轴对称设a(x0,),b(x0,)afob,f,·1,x0p.【答案】c3(2014·湖南高考)平面上一机器人在行进中始终保持与点f(1,0)的距离和到直线x1的距离相等若机器人接触不到过点p(1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是_【解析】由题意知机器人行进轨迹为以f(1,0

8、)为焦点,x1为准线的抛物线,其方程为y24x.设过点(1,0)且斜率为k的直线方程为yk(x1)代入y24x,得k2x2(2k24)xk20.机器人接触不到该直线,(2k24)24k4<0,k2>1.k>1或k<1.【答案】(,1)(1,)4已知直线l：yx,抛物线c：y22px(p>0)的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上(1)求抛物线c的方程；(2)设a,b是抛物线c上两个动点,过a作平行于x轴的直线m,直线ob与直线m交于点n,若o·o0(o为原点,a,b异于原点),试求点n的轨迹方程. 【导学号：26160062】【解】(1)直线l：yx.过原点且垂直于l的直线方程为y2x.由,得x.抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上