利用最小二乘法求解拟合曲线

1、利用最小二乘法求解拟合曲线实验三函数逼近、实验目标1. 掌握数据多项式拟合的最小二乘法2. 会求函数的插值三角多项式。、实验问题（1）由实验得到下列数据Xj0.00.10.20.30.50.81.0yj1.00.410.500.610.912.022.46试对这组数据进行曲线拟合（2）求函数f x x2cosx在区间,上的插值三 角多项式。三、实验要求1. 利用最小二乘法求问题（1）所给数据的3 次、4次拟合多项式，画出拟合曲线。2. 求函数f x x2 cosx在区间,上的16次插值 三角多项式，并画出插值多项式的图形，与f X的 图形比较。3. 对函数f x x2 cosx，在区间,上的取

2、若干点，将函数值作为数据进行适当次数的最小二乘 多项式拟合，并计算误差，与上题中的16次插值三角多项式的结果进行比较只在一组离散点集x，i 0,1,，m 上给出，这就是科学 实验中经常见到的实验数据（Xi，y）i 0,1, ,m的曲线拟合，这里yi f（x）,i 0,1, ,m，要求一个函数y s*（x）与 所给数据（X，y），i 0,1，m拟合，若记误差S*（xi） Yi（i 0,1, ,m） ,0, 1, , m T ,设 0（X）, 1（X）, , n（x）是Ca,b上的线性无关函数族，在 span 0（x）, 1（x）, , n（x） 中找一个函数S*（x），使误差平方和2S(x) y

3、mm| |2 0i 0这里2S（x）wmnm)|S(x) a。0(x) a1 1(x)a. n(x)(n用几何语言说，就这就是一般的最小乘逼近， 称为曲线拟合的最小二乘法。 通常在最小二乘法中考虑加权平方和有m(j, k)(x) j(x) k(x)，i 0 m(f, k)(Xi)f(Xi) k(x) dk,k 0,1, , n上式可改写为mk ,i 0(k, j)ajdk,k 0,1, , n。j 0这个线性方程组称为法方程，可将其写成矩阵形 式Ga d,其中 a (a。©, ,an)T,d(do,d1, ©)T(0,0),(0,1),(0, n )(1, 0),( 0,

4、1 ), ,( 0,1)(n ,1 ),( n,1),( n,1 )a0, a1 , an则拟合函数S (x) ao a1X a2X2a=i nv(G)*d【实验问题】由实验得到下列数据Xj0.00.10.2yj1.00.410.500.30.501800.610.2.022.4691试对这组数据进行曲线拟合。利用最小二乘法求所给数据的 2次、3次、4次 拟合多项式，画出拟合曲线。【实验过程与结果】编写程序后运行，n=2.3.4分别计算，得出结果和图像【结果分析、讨论与结论】n=2时x=0.0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.8 1.0'y=1.0 0.410.500.610.91

5、2.022.46'n=2p=leastsq(x,y, n)l=lsp(p,t)回车得到结果p =0.7356-1.24003.1316所以拟合多项式为 I =t*(18733*t)/5982 - 74179/59820) +73337/99700n=3时x=0.0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.8 1.0'y=1.0 0.410.500.610.912.022.46'n=3Apleastsq(x,y, n)I=lsp(p,t)回车得到结果0.9266-4.659112.8147-6.6221所以拟合多项式为I=0.9266-4.6591t+3 12.8147tA2

6、+ -6.6221tA3;(3) n=4 时x=0.0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.8 1.0'y=1.0 0.410.500.610.912.022.46'n=4p=leastsg(x,y, n)l=lsq(p,t)回车得到结果A=0.9427-5.298716.2747-12.33482.8853附程序1. Mai nx=0.0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.8 1.0'y=1.0 0.41 0.50 0.61 0.91 2.02 2.46'syms tn=2p=leastsq(x,y, n)c=lsp(p,t)plot(x,y,'*')2.fun cti on p=leastsq(x, y,n)m=le ngth(x);G=zeros( n+1, n+1);b=zeros( n+1,1);for i=0: nfor j=0: nG(i+1,j+1)=(x.Ai)'*(x.Aj);endendfor k=0:nb(k+1,1)=(x