第五节对坐标的曲面积分

1、第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 第五节第五节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分一、有向曲面观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧 通常我们遇到的曲面都是双侧的曲面的方向通常我们遇到的曲面都是双侧的曲面的方向可以用曲面上的单位法向量可以用曲面上的单位法向量n cosa a , cosb b , cosg g的的方向来确定方向来确定 例如由方程例如由方程z z(x, y)表示的曲面分为上侧与下侧，表示的曲面分为上侧与下侧，xyzo 在曲面的上侧在曲面的上侧cosg g 0， 在曲面的

2、下侧在曲面的下侧cosg g 0， 在曲面的左侧在曲面的左侧cosb b 0， 在曲面的后侧在曲面的后侧cosa a 0曲面法曲面法向量的指向向量的指向决定曲面的决定曲面的侧侧. .决定了侧的曲面称为决定了侧的曲面称为有向曲面有向曲面. .曲面的投影问题曲面的投影问题: :面面在在xoys ,在在有有向向曲曲面面上上取取一一小小块块.0cos00cos)(0cos)()( 时时当当时时当当时时当当g gg g g g xyxyxys.)(表示投影区域的面积表示投影区域的面积其中其中xy 为为上上的的投投影影xys)( 曲曲面面 s 分别是曲面在点（分别是曲面在点（x,y,z)x,y,z)的法线

3、向量与的法线向量与x x，y y，z z轴正向的夹角轴正向的夹角类似地有：类似地有： yzs)( 0cos,)(0cos, 00cos,)(a a a aa a yzyz 0cos,)(0cos, 00cos,)()(b b b bb b xzxzxzsg gb ba a,其中其中二、对坐标的曲面积分的概念与性质实例实例: : 流向曲面一侧的流量流向曲面一侧的流量. .( (1 1) ) 流流速速场场为为常常向向量量 v, ,有有向向平平面面区区域域a a, ,求求单单位位时时间间流流过过a a的的流流体体的的质质量量 ( (假假定定密密度度为为 1 1) ). .av0n aanvva0co

4、s 流量流量( (2 2) ) 设设稳稳定定流流动动的的不不可可压压缩缩流流体体( (假假定定密密度度为为 1 1) )的的速速度度场场由由kzyxrjzyxqizyxpzyxv),(),(),(),( 给给出出, ,是是速速度度场场中中的的一一片片有有向向曲曲面面, ,函函数数),(),(),(zyxrzyxqzyxp都都在在上上连连续续, , 求求在在单单位位时时间间内内流流向向指指定定侧侧的的流流体体的的质质量量 . .xyzo xyzo is ),(iii ivin 把曲面分成把曲面分成n小块小块is ( (is 同时也代表同时也代表第第i小块曲面的面积小块曲面的面积),),在在is

5、上任取一点上任取一点),(iii , ,1. 分割分割则该点流速为则该点流速为 .iv法向量为法向量为 .in该该点点处处曲曲面面的的单单位位法法向向量量kjiniiiig gb ba acoscoscos0 , ,通通过过is 流流向向指指定定侧侧的的流流量量的的近近似似值值为为)., 2 , 1(nisnviii ,),(),(),(),(krjqipvviiiiiiiiiiiii 2. 求和求和通通过过流流向向指指定定侧侧的的流流量量 niiiisnv1iiiiiiiiiniiiiisrqp cos),(cos),(cos),(1g g b b a a xyiiiixziiiiyznii

6、iiisrsqsp)(,()(,()(,(1 上式上式所以所以3.3.取极限取极限0 .的精确值的精确值取极限得到流量取极限得到流量 iixyiiixziiiyzissssss g gb ba acos)(,cos)(,cos)(由于由于0lim ni 1 zyiiiisp)(,( xziiiisq)(,( yxiiiisr)(,( 定定义义 设设为为光光滑滑的的有有向向曲曲面面, ,函函数数在在上上有有界界, ,把把分分成成n块块小小曲曲面面is ( (is 同同时时又又表表示示第第i块块小小曲曲面面的的面面积积) ), ,is 在在xoy面面上上的的投投影影为为xyis )( , ,),(

7、iii 是是is 上上任任意意取取定定的的一一点点, ,如如果果当当各各小小块块曲曲面面的的直直径径的的最最大大值值0 时时, , nixyiiiisr10)(,(lim 存在存在, ,则称此极限为函数则称此极限为函数),(zyxr在有向曲面上在有向曲面上对对坐标坐标yx,的曲面积分的曲面积分( (也称也称第二类曲面积分第二类曲面积分) )概念及性质概念及性质记记作作 dxdyzyxr),(, ,即即 nixyiiiisrdxdyzyxr10)(,(lim),( 被积函数被积函数积分曲面积分曲面类似可定义类似可定义 niyziiiispdydzzyxp10)(,(lim),( nizxiiii

8、sqdzdxzyxq10)(,(lim),( 有向面积元有向面积元存在条件存在条件:当当),(),(),(zyxrzyxqzyxp在在有有向向光光滑滑曲曲面面上上连连续续时时, ,对对坐坐标标的的曲曲面面积积分分存存在在. .组合形式组合形式:dxdyzyxrdzdxzyxqdydzzyxp),(),(),( 物理意义物理意义:dxdyzyxrdzdxzyxqdydzzyxp),(),(),( 性质性质: 2121. 1rdxdyqdzdxpdydzrdxdyqdzdxpdydzrdxdyqdzdxpdydz dxdyzyxrdxdyzyxrdzdxzyxqdzdxzyxqdydzzyxpdy

9、dzzyxp),(),(),(),(),(),(. 2三、计算法三、计算法 设积分曲面是由设积分曲面是由方程方程),(yxzz 所给所给出的曲面上侧出的曲面上侧, ,在在xoy面上的投影区域面上的投影区域为为xyd, ,函数函数),(yxzz 在在xyd上具上具有一阶连续偏导数有一阶连续偏导数, ,被积函数被积函数),(zyxr在在上连续上连续. . ),(yxfz xydxyzoxys)( nixyiiiisrdxdyzyxr10)(,(lim),( ),(,)()(, 0cos,iiixyxyizs g g 又又取上侧取上侧 nixyiiiiinixyiiiizrsr1010)(,(,(l

10、im)(,(lim xyddxdyyxzyxrdxdyzyxr),(,),(即即,)()(, 0cos,xyxyis g g 取下侧取下侧若若 xyddxdyyxzyxrdxdyzyxr),(,),(则有则有给出给出由由如果如果,),(zyxx yzddydzzyzyxpdydzzyxp,),(),(则有则有给出给出由由如果如果,),(xzyy zxddzdxzxzyxqdzdxzyxq),(,),(注意注意: :对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分, ,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧. .(前正后负前正后负)(上正下负上正下负)(右正左负右正左负)这就是把对坐标的曲面积分化成二重积分的

11、计算公式要点为：代：将曲面的方程表示为二元显函数，然后代入 被积函数，将其化成二元函数投：将积分曲面投影到与有向面积元素（如dxdy）中两个变量同名的坐标面上（如xoy 面）定号： 由曲面的方向，即曲面的侧确定二重积分 的正负号一代、二投、三定号 曲面取上侧、前侧、右侧时为正 曲面取下侧、后侧、左侧时为负注:积分曲面的方程必须表示为单值显函数 否则分片计算，结果相加例例 1 1 计计算算 xyzdxdy其其中中是是球球面面1222 zyx外外侧侧在在0, 0 yx的的部部分分. .解解两部分两部分和和分成分成把把21 ;1:2211yxz ,1:2222yxz xyz2 1 12xyzdxdy

12、xyzdxdyxyzdxdy xyxydddxdyyxxydxdyyxxy)1(12222 xyddxdyyxxy2212.1521cossin222 xydrdrdrr 例例2 计算计算 ydzdxxdydzzdzdy30122 zzyx及及被平面被平面是柱面是柱面 所截得的在第一卦限的部分的前侧oxyz解解0的投影区域的面积为的投影区域的面积为在在由于由于xoy 0zdxdy故故面面的的投投影影区区域域为为在在yoz 10,30: yzdyz yzddydzyxdydz21故故 301021dyydz43 oxyz面面的的投投影影区区域域为为在在zox 10 ,30: xzdzx zxdd

13、zdxxydzdx4312故故234343023 ydzdxxdydzzdxdyydzdxxdydzzdxdy所以所以例例3 计算计算 yzdzdxxydydzxzdxdy是是其中其中 平面平面 x = 0 , y = 0 , z = 0 , x + y + z = 1 所围成的所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧空间区域的整个边界曲面的外侧oxyz解解 分成四个部分分成四个部分1, 0:1 zxy 左侧左侧1, 0:2 yxz 下侧下侧1, 0:3 zyx 后侧后侧所截得的部分所截得的部分被被0, 0, 01:4 zyxzyx 上侧上侧1 2 3 4 上上在在1 10 yzdzdxxydyd

14、zxzdxdy)0, 0,(1 zzoxyozxoy面上面上而在而在面上的投影为面上的投影为在在因因 同理同理 20 yzdzdxxydydzxzdxdy 30 yzdzdxxydydzxzdxdy上上在在4 4)1( xyddxdyyxxxzdxdy 1010)1(xdyyxxdx241 同理同理 4241 xydydz 4241 yzdzdx yzdzdxxydydzxzdxdy所以所以81 注注对坐标的曲面积分的对称性对坐标的曲面积分的对称性 被积表达式具有轮换对称性，即将被积被积表达式具有轮换对称性，即将被积 表达式中的所有字母按表达式中的所有字母按xyz顺序代换后原式不变顺序代换后原

15、式不变 积分曲面及其侧具有对称性，这是指曲面积分曲面及其侧具有对称性，这是指曲面 在各坐标面上的投影区域均相同，且配给在各坐标面上的投影区域均相同，且配给 的符号也相同的符号也相同四、两类曲面积分之间的联系四、两类曲面积分之间的联系 设设有有向向曲曲面面是是由由方方程程),(yxzz 给给出出, ,在在xoy面面上上的的投投影影区区域域为为xyd, , 函函数数),(yxzz 在在xyd上上具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数, , ),(zyxr在在上上连连续续. .对对坐坐标标的的曲曲面面积积分分为为 xyddxdyyxzyxrdxdyzyxr),(,),(xyd),(yxfz xyzod

16、sn曲面的法向量的方向余弦为曲面的法向量的方向余弦为 .11cos,1cos,1cos222222yxyxyyxxzzzzzzzz g gb ba a对面积的曲面积分为对面积的曲面积分为 xyddxdyyxzyxrdszyxr),(,cos),(g g所所以以dszyxrdxdyzyxrg gcos),(),( ( (注注意意取取曲曲面面的的两两侧侧均均成成立立) )dsrqpdxdyrqdzdxpdydz)coscoscos(g gb ba a 两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系解解 dydzxz)(2有有上上在曲面在曲面, dsxza acos)(2 dxdyxzg ga acoscos)(2 dxdyzxxzzdxdydydzxz)()(22 xyddxdyyxxxyx)(21)()(412222 xyddxdyyxx)(21222 2022220)21cos(rdrrrd.11cos,1cos2222yxyxx g ga a.8 六、小结1