第二讲求导法则2高阶导数

1、第三讲高阶导数高阶导数机动 目录 上页 下页 返回 结束 求导法则2 第二章 一、高阶导数一、高阶导数)(tss 速度速度即即sv加速度加速度,ddtsv tvadd)dd(ddtst即即)( sa引例：引例：变速直线运动变速直线运动机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ) )(xf定义定义.若函数)(xfy 的导数)(xfy可导,即)( yy或)dd(dddd22xyxxy)(xf的二阶导数二阶导数 , 记作)(xf 的导数为则称.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 )(xfxxfxxfxfx )()(lim)(0 xxfxxfx )()(lim0记作记作

2、阶导数阶导数的的函数函数阶导数的导数称为阶导数的导数称为的的函数函数一般地一般地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.,),(33dxydyxf 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,.,),(44)4()4(dxydyxf相应地，相应地，)(xf称为零阶导数，称为零阶导数，)(xf 称为一阶导数。称为一阶导数。 高阶导数求法举例例例).0(),0(,arctanffxy 求求设设解解211xy )11

3、(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0 . 2 1.1.直接法直接法: :由高阶导数的定义逐步求高阶导数由高阶导数的定义逐步求高阶导数.例例.),()(nyrxy求求设设 解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn则则为自然数为自然数若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 设,2210nnxaxaxaay求.)(ny解解:1ayxa221nnxan 212 ayxa3232) 1(nn

4、xann依次类推 ,nnany!)(233xa可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 ?, nxyey则则nx)1 ( ,3xaeay 例例. 设求解解:解解:! ) 1( n规定 0 ! = 1思考思考:,xaey .)(ny,xaeay ,2xaeay xanneay)(例例. 设, )1(lnxy求.)(ny,11xy,)1 (12xy ,)1 (21) 1(32xy )(ny1) 1(n, )1(lnxy)(nyxy11 ynxn)1 (! ) 1(2)1 (1x,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例. 设,sin xy 求.)(ny解解: xycos)sin(2x)cos(2 x

5、y)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般地 ,xxnsin()(sin)(类似可证:xxncos()(cos)()2n)2n机动 目录 上页 下页 返回 结束 2、高阶导数的运算法则、高阶导数的运算法则都有 n 阶导数 , 则)()(. 1nvu )()(nnvu)()(. 2nuc)(nuc(c为常数)()(. 3nvuvun)(!2) 1( nn!) 1() 1(kknnn vun)2()()(kknvu)(nvu莱布尼兹莱布尼兹(leibniz) 公式公式)(xuu 及)(xvv 设函数vunn) 1(推导 目录 上页 下页 返回 结束 kknnkknv

6、uc)(0 vu 3)(vuvuvu)( vu)(vuvuvuvu 2vu )( vuvu vu 3vu 用数学归纳法可证莱布尼兹公式莱布尼兹公式成立 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例. kknnkknvuc)(0 ,22xexy 求.)20(y解解: 设,22xveux则xkkeu2)(2,2xv ,2 v0)(kv代入莱布尼兹公式 , 得)20(yxe22022xxe219220 x2!219202xe2202)9520(2xxxe2182)20,2,1(k)20,3(k机动 目录 上页 下页 返回 结束 )()(nvu3.3.间接法间接法: :常用高阶导数公式常用高阶导数公式n

7、nxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()( 利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式, 通过四则通过四则1)(!)1()1( nnnxnx运算运算, 变量代换等方法变量代换等方法, 求出求出n阶导数阶导数.例例8 8.,11)5(2yxy求求设设 解解)1111(21112 xxxy)1(! 5)1(! 52166)5( xxy)1(1)1(16066 xx1)(!)1()1( nnnxnx小结