人教版高中数学选修11：1.1 命题及其关系 课后提升作业 三 1.1.3 Word版含解析

1、起课后提升作业 三四种命题间的相互关系(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2016·济南高二检测)一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中()a.真命题与假命题的个数相同b.真命题的个数一定是奇数c.真命题的个数一定是偶数d.真命题的个数可能是奇数,也可能是偶数【解析】选c.因为原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假,所以真命题的个数一定是偶数.2.(2015·烟台高二检测)与命题“若x=3,则x2-2x-3=0”等价的命题是()a.若x3,则x2-2x-30b.若x=3,则x2-2x-30c.若x2-2x-30,则x3d.若x2-

2、2x-30,则x=3【解题指南】只需找其逆否命题即可.【解析】选c.与其等价的命题为逆否命题:若x2-2x-30,则x3.3.命题“正数a的平方根不等于0”是命题“若一个数a的平方根不等于0,则a是正数”的()a.逆命题b.否命题c.逆否命题d.否定【解析】选a.两个命题的条件和结论互换,所以互为逆命题.4.(2016·吉林高二检测)给出命题:“若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不过第四象限”.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是()a.3b.2c.1d.0【解析】选c.由已知原命题为真命题,则逆否命题为真命题.逆命题为“若函数y=f(x)的图象

3、不过第四象限,则函数y=f(x)是幂函数”,为假命题,如f(x)=3x2.故否命题也为假命题.5.已知命题“若ab0,则a0或b0”,则下列结论正确的是()a.真命题,否命题:“若ab>0,则a>0或b>0”b.真命题,否命题:“若ab>0,则a>0且b>0”c.假命题,否命题:“若ab>0,则a>0或b>0”d.假命题,否命题:“若ab>0,则a>0且b>0”【解析】选b.逆否命题“若a>0且b>0,则ab>0”,显然为真命题,又原命题与逆否命题等价,故原命题为真命题.否命题为“若ab>0,则a&

4、gt;0且b>0”.6.(2016·石家庄高二检测)已知下列命题:“若xy=0,则x=0且y=0”的逆否命题;“正方形是菱形”的否命题;“若m>2,则不等式x2-2x+m>0的解集为r”.其中真命题的个数为()a.0b.1c.2d.3【解析】选b.对,原命题是假命题,其逆否命题也是假命题;对,其否命题是:不是正方形的四边形不是菱形,是假命题;对,不等式x2-2x+m>0的解集为r,需满足=4-4m<0,解得m>1.而m>2满足m>1.故只有是真命题.7.下列命题中正确的是()“若x2+y20,则x,y不全为零”的否命题;“正多边形都相似

5、”的逆命题;“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题;“若x-312是无理数,则x是无理数”的逆否命题.a.b.c.d.【解析】选b.中否命题为“若x2+y2=0,则x=y=0”,正确;中逆命题不正确;中,=1+4m,当m>0时,>0,原命题正确,故其逆否命题正确;中原命题正确,故逆否命题正确.8.若一个命题的逆命题、否命题、逆否命题中有且只有一个是真命题,我们就把这个命题叫做“正向真命题”.给出以下命题:函数y=x2(xr)是偶函数;若两条直线相交,则它们的倾斜角一定不相等;,为三个不同的平面,若,则;若a·c=b·c,则a=b;若m+n2,则m

6、1或n1.其中是“正向真命题”的序号是()a.b.c.d.【解析】选a.中命题是真命题,其逆命题为“若一个函数是偶函数,则这个函数是y=x2,是假命题,故它是“正向真命题”;中命题是真命题,其逆命题为“若两条直线的倾斜角不相等,则它们一定相交”,也是真命题,所以中命题不是“正向真命题”;、中命题都是假命题,所以它们都不是“正向真命题”;中命题的逆否命题是“若m>1且n>1,则m+n>2”是真命题,而它的否命题是“若m+n>2,则n>1且m>1”,显然不是真命题,所以这个命题是“正向真命题”.综上,是“正向真命题”的序号是.二、填空题(每小题5分,共10分)9

7、.设原命题:若a+b2,则a,b中至少有一个不小于1,则原命题为_命题,逆命题为_命题.(填“真”或“假”)【解析】逆否命题为:a,b都小于1,则a+b<2是真命题,所以原命题是真命题,逆命题为:若a,b中至少有一个不小于1,则a+b2,例如a=3,b=-3满足条件a,b中至少有一个不小于1,但此时a+b=0,故逆命题是假命题.答案:真假10.(2016·郑州高二检测)已知命题“若1<x<2,则m-1<x<m+1”的逆否命题为真命题,则m的取值范围是_.【解析】因为原命题与逆否命题的真假性相同,所以由已知得原命题为真命题.所以1m2.答案:1m2三、解答

8、题11.(10分) a,b,c为三个人,命题a:“如果b的年龄不是最大的,那么a的年龄最小”和命题b:“如果c的年龄不是最小的,那么a的年龄最大”都是真命题,则a,b,c的年龄的大小顺序是否能确定?请说明理由.【解析】能确定.理由如下:显然命题a和b的原命题的结论是矛盾的,因此应该从它的逆否命题来考虑.由命题a为真可知,当b不是最大时,则a是最小的,即若c最大,则a最小,所以c>b>a;而它的逆否命题也为真,即“若a不是最小,则b是最大”为真,所以b>a>c.总之由命题a为真可知:c>b>a或b>a>c.同理由命题b为真可知a>c>b

9、或b>a>c.从而可知,b>a>c.所以三个人年龄的大小顺序为b最大,a次之,c最小.【拓展延伸】感悟等价命题与反证法本题实质是利用了“两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性”来解题的,即逆否证法.逆否证法实质是利用了命题的等价性,与反证法不同,反证法是通过否定命题的结论,引出矛盾,来肯定命题的.【能力挑战题】已知ad-bc=1,求证:a2+b2+c2+d2+ab+cd1.【证明】假设a2+b2+c2+d2+ab+cd=1,则2a2+2b2+2c2+2d2+2ab+2bc+2cd-2ad-2bc+2ad=2,即(a+b)2+(b+c)2+(c+d)2+(a-d)2+2ad-2bc=2,若(a+b)2+(b+c)2+(c+d)2+(a-d)2=0,则a=b=c=d=0,于是ad-bc<1;若(a+b)2+(b+c)2