【人教A版】高中数学选修11同步辅导与检测 章末复习课

1、高中数学选修精品教学资料 章末复习课 整合整合 网络构建网络构建 警示警示 易错提醒易错提醒 1关于切线的注意点关于切线的注意点 在确定曲线在某点处切线的方程时在确定曲线在某点处切线的方程时,一定要首先确定此点是否为一定要首先确定此点是否为切点切点,若此点是切点若此点是切点,则曲线在该点处切线的斜率即为该点的导数值则曲线在该点处切线的斜率即为该点的导数值,若此点不是切点若此点不是切点,则需应先设切点则需应先设切点,再求斜率再求斜率,写出直线的方程写出直线的方程 2求函数单调区间的两个求函数单调区间的两个关注点关注点 单调区间的求解过程中单调区间的求解过程中,应关注两点：应关注两点：(1)不要忽

2、略不要忽略 yf(x)的定义的定义域；域；(2)增增(减减)区间有多个时区间有多个时,用用“,”或者用或者用“和和”连接连接,切不可用切不可用“”连接连接 3函数单调性与导数的关系的注意点函数单调性与导数的关系的注意点 若函数若函数 f(x)可导可导,其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明来说明f(x)0 与与 f(x)为增函数的关系：为增函数的关系：f(x)0 能推出能推出 f(x)为增为增函数函数,但反之不一定如函数但反之不一定如函数 f(x)x3在在(,)上单调递增上单调递增,但但f(x)0,所以所以 f(x)0 是是 f(x)为增函数的充

3、分不必要条件为增函数的充分不必要条件 4可导函数的极值与导数的关系的注意点可导函数的极值与导数的关系的注意点 x0为极值点能推出为极值点能推出 f(x0)0,但反之不一定但反之不一定f(x0)0 是是 x0为极为极值点的必要而不充分条件值点的必要而不充分条件x0是极值点的充要条件是是极值点的充要条件是 f(x0)0,且且 x0点两侧导数异号点两侧导数异号 5函数的最值与极值的注意点函数的最值与极值的注意点 (1)函数的最值是比较整个定义区间的函数值得出的函数的最值是比较整个定义区间的函数值得出的,函数的极大函数的极大值、极小值是比较极值值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的点附近的函数值得出

4、的 函数的极值可以有多函数的极值可以有多个个,但最大但最大(小小)值最多只能有一个值最多只能有一个 (2)在闭区间上求函数的最大值和最小值在闭区间上求函数的最大值和最小值,应把极值点的函数值与应把极值点的函数值与两端点的函数值进行比较两端点的函数值进行比较,不可直接用极大不可直接用极大(小小)值替代最大值替代最大(小小)值值 专题专题 1 导数的运算与导数的几何意义导数的运算与导数的几何意义 在导数的运算中在导数的运算中,要熟练掌握基本导数公式和运算法则要熟练掌握基本导数公式和运算法则由于由于函函数数 yf(x)在点在点 x0处的导处的导数数 f(x0)就是曲线就是曲线 yf(x)在点在点 p

5、(x0,f(x0)处的处的切线的斜率切线的斜率,其切线方程为其切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0),因此关于曲线的切因此关于曲线的切线问题可尝试用导数的方法解决线问题可尝试用导数的方法解决 例例 1 (1)在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xoy 中中,若曲线若曲线 yax2bx(a,b 为常为常数数)过点过点p(2,5),且该曲线在点且该曲线在点p处的切线与直线处的切线与直线7x2y30平行平行,则则 ab 的值是的值是_ (2)若曲线若曲线 yxln x 上点上点 p 处的切线平行于直线处的切线平行于直线 2xy10,则则点点 p 的坐标为的坐标为_ 解析：解析：(1)由曲线由曲线

6、 yax2bx过点过点 p(2, ,5), , 可得可得54ab2. y2axbx2, ,则曲线在点则曲线在点 p 处的切线斜率为处的切线斜率为 4ab4, ,由题意可知由题意可知4ab472. 由由解得解得 a1, ,b2, ,所以所以 ab3. (2)设设 p(x0, ,y0)因为因为 yxln x, ,所以所以 yln xx1x1ln x所以所以1ln x02, ,解得解得 x0e, ,所以所以 y0eln ee.所以点所以点 p 的坐标是的坐标是(e, ,e) 答案：答案：(1)3 (2)(e,e) 归纳升华归纳升华 1函数函数 yf(x)在点在点 x0处的导数为处的导数为 f(x0)

7、就是曲线就是曲线 yf(x)在点在点p(x0, ,f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率, ,其切线方程为其切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0), ,因因此关于曲线的切线问题可尝试用导数的方法解决此关于曲线的切线问题可尝试用导数的方法解决 2 求曲线求曲线 yf(x)过点过点 p(x0, ,f(x0)的切线方程： 设切点的切线方程： 设切点 q(x1, ,f(x1), ,则切线方程为则切线方程为 yf(x1)f(x1)(xx1), ,把点把点 p 的坐标代入切线方程解的坐标代入切线方程解得得 x1, ,再回代到切再回代到切线方程中线方程中 变式训练变式训练 已知函数已知函数 f(x)x

8、3x16. (1)求曲线求曲线 yf(x)在点在点(2,6)处的切线方程；处的切线方程； (2)直线直线 l 为曲线为曲线 yf(x)的切线的切线,且经过原点且经过原点,求直线求直线 l 的方程及切的方程及切点坐标点坐标 解：解：(1)点点(2, ,6)在曲线在曲线 yf(x)上上 因为因为 f(x)(x3x16)3x21, , 所以所以 f(x)在点在点(2, ,6)处的切线的斜率为处的切线的斜率为 kf(2)13. 所以切线的方程为所以切线的方程为 y13(x2)(6), , 即即 y13x32. (2)设切点为设切点为(x0, ,y0), ,则直线则直线 l 的斜率为的斜率为 f(x0)

9、3x201, ,所以直线所以直线 l的方程为的方程为 y(3x201)(xx0)x30 x016. 又因为直线又因为直线 l 过点过点(0, ,0), , 所以所以 0(3x201)(x0)x30 x016, , 整理得整理得 x308, , 所以所以 x02, , 所以所以 y0(2)3(2)1626, , k3(2)2113, , 所以直线所以直线 l 的方程为的方程为 y13x, ,切点坐标为切点坐标为(2, ,26) 专题专题 2 利用导数研利用导数研究函数的性质究函数的性质 把导数作为数学工具把导数作为数学工具,求解单调区间求解单调区间,研究函数的极大研究函数的极大(小小)值值,以及

10、以及求在闭区间求在闭区间a,b的最大的最大(小小)值是本章的重点值是本章的重点 利用导数求函数的单调性是基础利用导数求函数的单调性是基础,求极值是关键求极值是关键,学习时一定要熟学习时一定要熟练它们练它们的求解方法的求解方法 例例 2 已知函数已知函数 f(x)ax3x2(ar)在在 x43处取得极值处取得极值 (1)确定确定 a 的值；的值； (2)若若 g(x)f(x)ex,讨论讨论 g(x)的单调性的单调性 解：解：(1)对对 f(x)求导得求导得 f(x)3ax22x. 因为因为 f(x)在在 x43处取得极值处取得极值, ,所以所以 f 433a1692 4316a3830, , 解

11、得解得 a12.经检验满足题意经检验满足题意 (2)由由(1)知知 g(x) 12x3x2ex, ,定义域为定义域为 r, , 所所以以 g(x) 32x22x ex 12x3x2ex 12x3 52x22x ex12x(x1)(x4)ex. 令令 g(x)0, ,解得解得 x0, ,x1 或或 x4. 当当 x4 时时, ,g(x)0, ,故故 g(x)为减函数；为减函数； 当当4x0, ,故故 g(x)为增函数；为增函数； 当当1x0 时时, ,g(x)0 时时, ,g(x)0, ,故故 g(x)为增函数为增函数 综上知综上知, ,g(x)在在(, ,4)和和(1, ,0)内为减函数内为减

12、函数, , 在在(4, ,1)和和(0, ,)内为增函数内为增函数 归纳升华归纳升华 1利用导数求可导函数的单调区间利用导数求可导函数的单调区间的一般步骤：的一般步骤： ( (1)确定函数确定函数 yf(x)的定义域的定义域 (2)求求 f(x) (3)解不等式解不等式 f(x)0 或或 f(x)0. (4)不等式的解集与定义域取交集不等式的解集与定义域取交集 (5)确定并写出函数的单确定并写出函数的单调递增区间或单调递减区间调递增区间或单调递减区间 2关于函数的极值、最值与导数的关注点：关于函数的极值、最值与导数的关注点： (1)已知极值点求参数的值后已知极值点求参数的值后, ,要回代验证参

13、数值是否满足极值要回代验证参数值是否满足极值的定义的定义 (2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性讨论极值点的实质是讨论函数的单调性, ,即即 f(x)的正负的正负 (3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者求最大值要在极大值与端点值中取最大者, ,求最小值要在极求最小值要在极小值与端点值中取最小者小值与端点值中取最小者 变式训练变式训练 已知函数已知函数 f(x)x33ax22bx 在在 x1处有极小值处有极小值1. (1)求函数求函数 f(x)的单调区间；的单调区间； (2)求函数求函数 f(x)在闭区间在闭区间2,2上的最大值和最小值上的最大值和最小值 解：解：(1)f(x)3x26ax

14、2b, ,因为因为 f(x)在点在点 x1 处有极小值处有极小值1, ,所以所以 f（1）0，f（1）1， 即即 36a2b0，13a2b1，解得解得 a13，b12. 所以所以 f(x)x3x2x, ,f(x)3x22x1. 令令 f(x)0, ,得得 x1 或或 x13； 令令 f(x)0, ,得得13x1. 所以所以 函数函数 f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是 ，13和和(1, , ), ,单调递减区间是单调递减区间是 13，1 . (2)由由(1), ,当当 x 变化时变化时, ,f(x), ,f(x)的变化情况如下表所示：的变化情况如下表所示： x 2 2，13 13 13，

15、1 1 (1,2) 2 f(x) 0 0 f(x) 10 527 1 2 由表中数据知由表中数据知, ,函数函数 f(x)在在 x2 处取得最大值处取得最大值 2, ,在在 x2 处取处取得最小值得最小值10, , 所以所以 函数函数 f(x)在闭区间在闭区间2, ,2上的最大值为上的最大值为 2, ,最小值为最小值为10. 专题专题 3 利用导数求参数的取值范围利用导数求参数的取值范围 导数中的参数问题实质上是利用导数求解切线问题、单调性问导数中的参数问题实质上是利用导数求解切线问题、单调性问题、极值问题的逆向思维型问题题、极值问题的逆向思维型问题,此类问题主要是利用导数的几何意此类问题主要

16、是利用导数的几何意义及导数与函数的单调性、极值义及导数与函数的单调性、极值的关系的关系,并结合函数与方程思想、分并结合函数与方程思想、分类讨论思想等来解答的类讨论思想等来解答的 例例 3 已知函数已知函数f(x)axln x,若若f(x)1在区间在区间(1,)内恒成内恒成立立,求实数求实数 a 的取值范围的取值范围 解：解：由已知得由已知得 a1ln xx在区间在区间(1, ,)内恒成立内恒成立 设设 g(x)1ln xx, ,则则 g(x)ln xx2. 因为因为 x1, ,所以所以 g(x)0. 所以所以 g(x)1ln xx在区间在区间(1, ,)内单调递减内单调递减, , 所以所以 g

17、(x)g(1), ,即即 g(x)1 在区间在区间(1, ,)内恒成立故内恒成立故 a1. 归纳升华归纳升华 已知函数的单调性求参数的取值范围可转化为已知函数的单调性求参数的取值范围可转化为不等式在某区间不等式在某区间上恒成立问题上恒成立问题, ,即即 f(x)0或或 f(x)0恒成立恒成立, ,用分离参数求最值或函用分离参数求最值或函数性质求解数性质求解, ,注意验证使注意验证使 f(x)0 的参数是否符合题意的参数是否符合题意 变式训练变式训练 设函数设函数 f(x)a2ln xx2ax,a0. (1)求求 f(x)的单调区间；的单调区间； (2)求所有的实数求所有的实数 a,使使 e1f

18、(x)e2对对 x1,e恒成立恒成立 注：注：e 为自然对数的底数为自然对数的底数 解：解：(1)因因为为 f(x)a2ln xx2ax, ,其中其中 x0, , 所以所以 f(x)a2x2xa（xa）（）（2xa）x. 由于由于 a0, ,所以所以 f(x)的递增区间为的递增区间为(0, ,a), , 递减区间为递减区间为(a, ,) (2)由题意得由题意得 f(1)a1e1, ,即即 ae. 由由(1)知知 f(x)在在1, ,e内单调递增内单调递增, , 要使要使 e1f(x)e2对对 x1, ,e恒成立恒成立, , 只要只要 f（1）a1e1，f（e）a2e2aee2， 解得解得 ae

19、. 专题专题 4 分类讨论思想分类讨论思想 分类讨论思想是一种重要的数学思想分类讨论思想是一种重要的数学思想,运用分类讨论思想运用分类讨论思想,必须理必须理解为什么分类、如何分类以及最后如何整合解为什么分类、如何分类以及最后如何整合,只有分类标准明确只有分类标准明确,分类分类才能不重不漏才能不重不漏 本章中求单调区间、 求参数的取值范围、 求极值和最值以及恒成本章中求单调区间、 求参数的取值范围、 求极值和最值以及恒成立问题立问题,常常用到分类讨论思想常常用到分类讨论思想 例例 4 已知函数已知函数 f(x)ln xx1. (1)试判断函数试判断函数 f(x)的单调性；的单调性； (2)设设

20、m0,求求 f(x)在在m,2m上的最上的最大值大值 解：解：(1)函数函数 f(x)的定义域是的定义域是(0, ,) 由已知由已知 f(x)1ln xx2, , 令令 f(x)0 得得, ,1ln x0, ,所以所以 xe. 因为当因为当 0 x0, , 当当 xe 时时, ,f(x)1ln xx20, , 所以函数所以函数 f(x)在在(0, ,e上单调递增上单调递增, ,在在e, ,)上单调递减上单调递减 (2)由由(1)知函数知函数 f(x)在在(0, ,e上单调递增上单调递增, ,在在 e, ,)上单调递减上单调递减, , 故故当当 02me 即即 0me2时时, , f(x)在在m

21、, ,2m上单调递增上单调递增, , 所以所以 f(x)maxf(2m)ln 2m2m1. 当当 me 时时, ,f(x)在在m, ,2m上单调递减上单调递减, , 所以所以 f(x)maxf(m)ln mm1. 当当 me2m, ,即即e2me 时时, , f(x)maxf(e)1e1. 所以所以 f(x)在在m, ,2m上的最大值为上的最大值为 f(x)max ln 2m2m1，0me2，1e1，e2me，ln mm1，me. 归纳升华归纳升华 分类讨论的原则和步骤分类讨论的原则和步骤 1原则：要有明确的分类标准原则：要有明确的分类标准 2分类讨论的一般步骤：先明确讨论对象分类讨论的一般步骤：先明确讨论对象, ,确定对象的范围确定对象的范围, ,再再确定分类标准确定分类标准, ,合理分类合理分类, ,逐类求解逐类求解, ,最后归纳总结得出结论最