人教版高中数学选修11单元质量评估二 Word版含解析

1、起单元质量评估(二) (第二章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的)1.平面内有定点a,b及动点p,设命题甲是“|pa|+|pb|是定值”,命题乙是“点p的轨迹是以a,b为焦点的椭圆”,那么甲是乙的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件【解析】选b.点p在线段ab上时|pa|+|pb|是定值,但点p轨迹不是椭圆,反之成立,故选b.2.(2015·广东高考)已知双曲线c:x2a2-y2b2=1的离心率e=54,且其右焦点f2(5,0),则双曲线c的方程为()a

2、.x24-y23=1b.x216-y29=1c.x29-y216=1d.x23-y24=1【解析】选b.因为所求双曲线的右焦点为f25,0且离心率为e=ca=54,所以c=5,a=4,b2=c2-a2=9,所以所求双曲线方程为x216-y29=1.【补偿训练】与椭圆x29+y24=1有相同焦点,并且经过点(2,-3)的双曲线的标准方程为_.【解析】由x29+y24=1知焦点f1(-5,0),f2(5,0).依题意,设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).所以a2+b2=5,又点(2,-3)在双曲线x2a2-y2b2=1上,所以4a2-3b2=1.联立得a2=2,b2

3、=3,因此所求双曲线的方程为x22-y23=1.答案:x22-y23=13.已知离心率为e的双曲线和离心率为22的椭圆有相同的焦点f1,f2,p是两曲线的一个公共点,若f1pf2=3,则e等于()a.52b.52c.62d.3【解题指南】在f1f2p中利用余弦定理列方程,然后利用定义和已知条件消元.【解析】选c.设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的实半轴长为a2,焦距为2c,|pf1|=m,|pf2|=n,且不妨设m>n,由m+n=2a1,m-n=2a2得m=a1+a2,n=a1-a2.又f1pf2=3,所以4c2=m2+n2-mn=a12+3a22,所以a12c2+3a22c2=4,即12

4、22+3e2=4,解得e=62.【补偿训练】(2016·佛山一模)已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为()a.13b.12c.33d.22【解析】选d.依题意,椭圆的焦距和短轴长相等,即b=c,所以a2-c2=c2,得e=22.故选d.4.设f1,f2是双曲线x2-y224=1的两个焦点,p是双曲线上的一点,且3|pf1|=4|pf2|,则pf1f2的面积等于()a.42b.8c.24d.48【解析】选c.由3|pf1|=4|pf2|知|pf1|>|pf2|,由双曲线的定义知|pf1|-|pf2|=2,所以|pf1|=8,|pf2|=

5、6,又c2=a2+b2=1+24=25,所以c=5,所以|f1f2|=10,所以pf1f2为直角三角形,spf1f2=12|pf1|pf2|=24.【拓展延伸】圆锥曲线中的焦点三角形问题解法(1)pf1f2由两焦点和曲线上一点形成,我们把这种三角形叫焦点三角形.焦点三角形问题的主要类型有:周长、面积、角度等,通常会用到圆锥曲线的定义、正弦定理、余弦定理、面积公式等.(2)焦点三角形的面积主要有两种求法:spf1f2=12r1r2·sinf1pf2和spf1f2=12·2c·|yp|.(3)涉及焦点、顶点、曲线上点(顶点以外)等问题,抓住几个特征三角形,举一反三.这

6、是一个考查重点,容易出现离心率的值(或范围)的运算.5.(2016·长春高二检测)已知抛物线y2=4x上的点p到抛物线的准线的距离为d1,到直线3x-4y+9=0的距离为d2,则d1+d2的最小值是()a.125b.65c.2d.55【解析】选a.如图所示过点f作fm垂直于直线3x-4y+9=0,当p点为直线fm与抛物线的交点时,d1+d2最小值为|3+9|5=125.6.(2014·江西高考)过双曲线c:x2a2-y2b2=1的右顶点作x轴的垂线与c的一条渐近线相交于点a.若以c的右焦点为圆心、半径为4的圆经过a,o两点(o为坐标原点),则双曲线c的方程为()a.x24-

7、y212=1b.x27-y29=1c.x28-y28=1d.x212-y24=1【解析】选a.设右焦点为f,由题意得|of|=|af|=4,即a2+b2=16,又a(a,b),f(4,0)可得(a-4)2+b2=16,故a=2,b2=12,所以方程为x24-y212=1.7.设f为抛物线y2=4x的焦点,a,b,c为该抛物线上三点,若fa+fb+fc=0,则|fa|+|fb|+|fc|等于()a.9b.6c.4d.3【解析】选b.设a,b,c三点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),f(1,0),因为fa+fb+fc=0,所以x1+x2+x3=3.所以由抛物线定义知|fa

8、|+|fb|+|fc|=x1+1+x2+1+x3+1=6.8.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为f,若过点f且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是()a.(1,2b.(1,2)c.2,+)d.(2,+)【解析】选c.如图所示,要使过点f且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率小于等于渐近线的斜率ba,所以ba3,离心率e2=c2a2=a2+b2a24,所以e2.9.(2016·厦门高二检测)已知(4,2)是直线l被椭圆x236+y29=1所截得的线段的中点

9、,则l的方程是()a.x-2y=0b.x+2y-4=0c.2x+3y+4=0d.x+2y-8=0【解析】选d.设l与椭圆的两交点分别为(x1,y1),(x2,y2),则得y12-y22x12-x22=-14,所以y1-y2x1-x2=-12.故方程为y-2=-12(x-4),即x+2y-8=0.10.若抛物线y2=8x的焦点是f,准线是l,则经过点f,m(3,3)且与l相切的圆共有()a.0个b.1个c.2个d.4个【解析】选b.由题意得f(2,0),l:x=-2,线段mf的垂直平分线方程为y-32=-3-23-0(x-52),即x+3y-7=0,设圆的圆心坐标为(a,b),则圆心在x+3y-

10、7=0上,故a+3b-7=0,a=7-3b,由题意得|a-(-2)|=(a-2)2+b2,即b2=8a=8(7-3b),即b2+24b-56=0.又b>0,故此方程只有一个根,于是满足题意的圆只有一个.【补偿训练】(2016·兰州模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)上一点m(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线x2a-y2=1的左顶点为a,若双曲线的一条渐近线与直线am平行,则实数a=()a.19b.14c.13d.12【解析】选a.根据题意,抛物线y2=2px(p>0)上一点m(1,m)到其焦点的距离为5,则1+p2=5,解得p=8;即抛物线的方程

11、为y2=16x,把m(1,m)代入,可得m=4,即m的坐标为(1,4),双曲线x2a-y2=1的左顶点为a,则a>0,且a的坐标为-a,0,渐近线方程为y=±1ax,因为双曲线的一条渐近线与直线am平行,所以kam=41+a=1a,解得a=19.11.(2016·珠海高二检测)已知f1,f2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,p为双曲线右支上的任意一点,若|pf1|2|pf2|的最小值为8a,则双曲线的离心率e的取值范围是()a.(1,+)b.(1,2c.(1,3d.(1,3【解析】选d.|pf1|2|pf2|=(2a+|pf

12、2|)2|pf2|=4a2|pf2|+|pf2|+4a4a+4a=8a,当且仅当4a2|pf2|=|pf2|,即|pf2|=2a时取等号.这时|pf1|=4a.由|pf1|+|pf2|f1f2|,得6a2c,即e=ca3,得e(1,3.12.过抛物线y2=4x的焦点f的直线交该抛物线于a,b两点,o为坐标原点.若|af|=3,则aob的面积为()a.22b.2c.322d.22【解析】选c.如图所示,由题意知,抛物线的焦点f的坐标为(1,0),又|af|=3,由抛物线定义知:点a到准线x=-1的距离为3,所以点a的横坐标为2.将x=2代入y2=4x得y2=8,由图知点a的纵坐标y=22,所以a

13、(2,22),所以直线af的方程为y=22(x-1).联立直线与抛物线的方程y=22(x-1),y2=4x,解得x=12,y=-2或x=2,y=22.由图知b12,-2,所以saob=12|of|·|ya-yb|=12×1×|22+2|=322.【补偿训练】(2016·邢台高二检测)已知抛物线y2=8x的准线为l,点q在圆c:x2+y2+2x-8y+13=0上,记抛物线上任意一点p到直线l的距离为d,则d+|pq|的最小值等于()a.3b.2c.4d.5【解析】选a.如图所示,由题意,知抛物线y2=8x的焦点为f(2,0),连接pf,则d=|pf|.圆c

14、的方程配方,得(x+1)2+(y-4)2=4,圆心为c(-1,4),半径r=2.d+|pq|=|pf|+|pq|,显然,|pf|+|pq|fq|(当且仅当f,p,q三点共线时取等号).而|fq|为圆c上的动点q到定点f的距离,显然当f,q,c三点共线时取得最小值,最小值为|cf|-r=(-1-2)2+(4-0)2-2=5-2=3.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.(2016·南昌高二检测)在平面直角坐标系中,o是原点,oa=(1,0),p是平面内的动点,若|op-oa|=|op·oa|,则p点的轨迹方程是_.【解析】设p(x,

15、y),则op=(x,y),又因为|op-oa|=|op·oa|,所以(x-1)2+y2=x2,整理得y2=2x-1.答案:y2=2x-114.(2016·兰州高二检测)直线y=x+3与曲线y29-x|x|4=1的公共点的个数为_.【解析】当x0时,y29-x|x|4=1化为y29-x24=1;当x<0时,y29-x|x|4=1化为y29+x24=1,所以曲线y29-x|x|4=1是由半个双曲线和半个椭圆组成的图形,结合图象可知(如图),直线y=x+3与曲线x29-x|x|4=1的公共点的个数为3.答案:315.(2016·抚顺高二检测)已知点f1,f2分别是

16、双曲线x2a2-y2b2=1的左、右焦点,过f1且垂直于x轴的直线与双曲线交于a,b两点,若abf2为锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是_.【解析】因为双曲线关于x轴对称,所以a,b两点关于x轴对称,所以|f2a|=|f2b|,abf2为锐角三角形af2b为锐角af2f1<45°|af1|<|f1f2|,因为f1(-c,0),所以a-c,b2a,即|af1|=b2a,又|f1f2|=2c,所以b2a<2c,所以c2-2ac-a2<0,所以e2-2e-1<0,所以1-2<e<1+2,因为e>1,所以1<e<1+2.答

17、案:(1,1+2)【补偿训练】若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两焦点关于直线y=x的对称点均在椭圆内部,则椭圆的离心率e的取值范围为_.【解析】由已知得两焦点为(±c,0),其关于直线y=x的对称点为(0,±c)均在椭圆内部,则c2b2<1,得c2a2-c2<1,e21-e2<1,解得0<e<22,所以e0,22.答案:0,2216.已知抛物线c:y2=2px(p>0),过焦点f且斜率为k(k>0)的直线与c相交于a,b两点,若af=3fb,则k=_.【解析】设直线l为抛物线的准线,过a,b分别作aa1,bb

18、1垂直于l,a1,b1为垂足,过b作be垂直于aa1于点e,则|aa1|=|af|,|bb1|=|bf|,由af=3fb,所以cosbae=|ae|ab|=12,所以bae=60°,所以tanbae=3.即k=3.答案:3三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2016·郑州高二检测)已知点m在椭圆x236+y29=1上,mp垂直于椭圆焦点所在的直线,垂足为p,并且m为线段pp的中点,求p点的轨迹方程.【解析】设p点的坐标为(x,y),m点的坐标为(x0,y0).因为点m在椭圆x236+y29=1上,所以x0

19、236+y029=1.因为m是线段pp的中点,所以x0=x,y0=y2,把x0=x,y0=y2,代入x0236+y029=1,得x236+y236=1,即x2+y2=36.所以p点的轨迹方程为x2+y2=36.18.(12分)双曲线c与椭圆x28+y24=1有相同的焦点,直线y=3x为c的一条渐近线.求双曲线c的方程.【解析】设双曲线方程为x2a2-y2b2=1.由椭圆x28+y24=1,求得两焦点为(-2,0),(2,0),所以对于双曲线c:c=2.又y=3x为双曲线c的一条渐近线,所以ba=3,解得a2=1,b2=3,所以双曲线c的方程为x2-y23=1.19.(12分)已知点f1,f2分

20、别是椭圆c:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,a是椭圆c的上顶点,b是直线af2与椭圆c的另一个交点,f1af2=60°.(1)求椭圆c的离心率.(2)已知af1b的面积为403,求a,b的值.【解析】(1)由题意知af1f2为正三角形,a=2c,e=ca=12.(2)直线ab的方程为y=-3(x-c),x2a2+y2b2=1,y=-3(x-c)(3a2+b2)x2-6a2cx+3a2c2-a2b2=0由a=2c,得a2=4c2,b2=a2-c2=3c2.代入中得5x2-8cx=0,x=0或x=8c5,得a(0,3c),b8c5,-335c,得|ab|=1

21、6c5.由af1b的面积为403,得12|ab|af1|sin60°=403,12·16c5·a·32=403,由a=2c,得a2=4c2,b2=a2-c2=3c2.解得c=5,a=10,b=53.20.(12分)已知动圆c过定点f(0,1),且与直线l1:y=-1相切,圆心c的轨迹为e.(1)求动点c的轨迹方程.(2)已知直线l2交轨迹e于两点p,q,且pq中点的纵坐标为2,则|pq|的最大值为多少?【解析】(1)由题设知点c到点f的距离等于它到l1的距离,所以点c的轨迹是以f为焦点,l1为准线的抛物线,所以所求轨迹的方程为x2=4y.(2)由题意易知

22、直线l2的斜率存在,又抛物线方程为x2=4y,当直线ab斜率为0时,|pq|=42.当直线ab斜率k不为0时,设中点坐标为(t,2),p(x1,y1),q(x2,y2),则有x12=4y1,x22=4y2,两式作差得x12-x22=4(y1-y2),即得k=x1+x24=t2,则直线方程为y-2=t2(x-t),与x2=4y联立得x2-2tx+2t2-8=0.由根与系数的关系得x1+x2=2t,x1x2=2t2-8,|pq|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=1+t244t2-4(2t2-8)=(8-t2)(4+t2)6,即|pq|的最大值为6.21

23、.(12分)(2015·陕西高考)如图,椭圆e:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点a(0,-1),且离心率为22.(1)求椭圆e的方程.(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆e交于不同两点p,q(均异于点a),证明:直线ap与aq的斜率之和为2.【解析】(1)由题意知ca=22,b=1,综合a2=b2+c2,解得a=2,所以,椭圆的方程为x22+y2=1.(2)由题设知,直线pq的方程为y=k(x-1)+1,代入x22+y2=1,得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0,由已知>0,设p(x1,y1),q(x2,y2),x1x20,

24、则x1+x2=4k(k-1)1+2k2,x1x2=2k(k-2)1+2k2,从而直线ap与aq的斜率之和kap+kaq=y1+1x1+y2+1x2=kx1+2-kx1+kx2+2-kx2=2k+(2-k)1x1+1x2=2k+(2-k)x1+x2x1x2=2k+(2-k)4k(k-1)2k(k-2)=2k-2(k-1)=2.22.(12分)(2016·株洲高二检测)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为f(2,0),m为椭圆的上顶点,o为坐标原点,且mof是等腰直角三角形.(1)求椭圆的方程.(2)过点m分别作直线ma,mb交椭圆于a,b两点,设两直线的斜

25、率分别为k1,k2,且k1+k2=8,证明:直线ab过定点-12,-2.【解题指南】(1)根据几何性质求出a,b,然后代入椭圆的标准方程.(2)以参数k,m表示直线方程,代入椭圆方程,设出a,b的坐标,利用根与系数的关系和k1+k2=8求出m,k的关系式,建立直线ab的方程,证明直线过定点.【解析】(1)由mof是等腰直角三角形,得c2=b2=4,所以a2=8,故椭圆方程为x28+y24=1.(2)若直线ab的斜率存在,设ab方程为y=kx+m,依题意m±2.设a(x1,y1),b(x2,y2),由x28+y24=1,y=kx+m得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0.则x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-81+2k2.由已知k1+k2=8,可得y1-2x1+y2-2x2=8,所以kx1+m-2x1+kx2+m-2x2=8,即2k+(m-2)x1+x2x1x2=8.所以k-mkm+2=4,整理得m=12k-2.故直线ab的方程为y=kx+12k-2,即y=kx+12-2.所以直