微分方程习题

1、基本概念基本概念一阶方程一阶方程 类类 型型1.1.直接积分法直接积分法2.2.可分离变量可分离变量3.3.齐次方程齐次方程4.4.可化为齐次可化为齐次方程方程5.5.全微分方程全微分方程6.6.线性方程线性方程7.7.伯努利方程伯努利方程可降阶方程可降阶方程线性方程线性方程解的结构解的结构定理定理1;1;定理定理2 2定理定理3;3;定理定理4 4欧拉方程欧拉方程二阶常系数线性二阶常系数线性方程解的结构方程解的结构特征方程的根特征方程的根及其对应项及其对应项f(x)f(x)的形式及其的形式及其特解形式特解形式高阶方程高阶方程待定系数法待定系数法特征方程法特征方程法一、主要内容一、主要内容微分

2、方程解题思路微分方程解题思路一阶方程一阶方程高阶方程高阶方程分离变量法分离变量法全微分方程全微分方程常数变易法常数变易法特征方程法特征方程法待定系数法待定系数法非全微分方程非全微分方程非变量可分离非变量可分离幂级数解法幂级数解法降降阶阶作作变变换换作变换作变换积分因子积分因子1 1、基本概念、基本概念微分方程微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程叫微分方程微分方程的阶微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶高阶导数的阶数称为微分方程的阶微分方程的解微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等代入微

3、分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解式的函数称为微分方程的解 通解通解如果如果微分方程的解中含有任意常数，并且微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解解叫做微分方程的通解特解特解确定了通解中的任意常数以后得到的解，确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解叫做微分方程的特解初始条件初始条件用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件.初值问题初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题叫初值问题dxxfdyyg)()( 形如形如(1)

4、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程解法解法 dxxfdyyg)()(分离变量法分离变量法2 2、一阶微分方程的解法、一阶微分方程的解法)(xyfdxdy 形如形如(2) 齐次方程齐次方程解法解法xyu 作变量代换作变量代换)(111cybxacbyaxfdxdy 形如形如齐次方程齐次方程,01时时当当 cc，令令kyyhxx ,（其中（其中h和和k是待定的常数）是待定的常数）否则为非齐次方程否则为非齐次方程(3) 可化为齐次的方程可化为齐次的方程解法解法化为齐次方程化为齐次方程)()(xqyxpdxdy 形如形如(4) 一阶线性微分方程一阶线性微分方程, 0)( xq当当上方程称为齐次的

5、上方程称为齐次的上方程称为非齐次的上方程称为非齐次的., 0)( xq当当齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)( dxxpcey（使用分离变量法）（使用分离变量法）解法解法非齐次微分方程的通解为非齐次微分方程的通解为 dxxpdxxpecdxexqy)()()(（常数变易法）（常数变易法）(5) 伯努利伯努利(bernoulli)方程方程nyxqyxpdxdy)()( 形如形如)1 , 0( n方程为线性微分方程方程为线性微分方程.时时，当当1 , 0 n 方程为非线性微分方程方程为非线性微分方程.时时，当当1 , 0 n解法解法 需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程,

6、1 nyz 令令. )1)()()1()()1(1 cdxenxqezydxxpndxxpnn0),(),( dyyxqdxyxp其中其中dyyxqdxyxpyxdu),(),(),( 形如形如(6) 全微分方程全微分方程xqyp 全微分方程全微分方程注意：注意：解法解法应用曲线积分与路径无关应用曲线积分与路径无关. yyxxdyyxqxdyxpyxu00),(),(),(0,),(),(000 xdyxpdyyxqxxyy .),(cyxu 用直接凑用直接凑全微分的方法全微分的方法.通解为通解为(7) 可化为全微分方程可化为全微分方程).(xqyp 非全微分方程非全微分方程0),(),( d

7、yyxqdxyxp形如形如 若若0),( yx 连连续续可可微微函函数数，且且可可使使方方程程0),(),(),(),( dyyxqyxdxyxpyx 成成为为全全微微分分方方程程.则则称称),(yx 为为方方程程的的积积分分因因子子.公式法公式法: :)(1xqypq 若若)(xf ;)()( dxxfex 则则)(1ypxqp 若若)(yg .)()( dyygey 则则观察法观察法: :熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出积分因子积分因子常见的全微分表达式常见的全微分表达式 222yxdydyxdx xydxydxxdy2 xyarct

8、gdyxydxxdy22 xydxyydxxdyln )ln(212222yxdyxydyxdx yxyxdyxydxxdyln2122可选用积分因子可选用积分因子.,1,1,1,12222222等等xyyxyxyxxyx 3 3、可降阶的高阶微分方程的解法、可降阶的高阶微分方程的解法解法解法),(xpy 令令特点特点. y不显含未知函数不显含未知函数),()2(yxfy 型型)()1()(xfyn 接连积分接连积分n次，得通解次，得通解 型型解法解法代入原方程代入原方程, 得得).(,(xpxfp ,py ),(xpy 令令特点特点.x不显含自变量不显含自变量),()3(yyfy 型型解法解

9、法代入原方程代入原方程, 得得).,(pyfdydpp ,dydppy 、线性微分方程解的结构、线性微分方程解的结构（1 1）二阶齐次方程解的结构）二阶齐次方程解的结构: :)1(0)()( yxqyxpy形如形如定定理理 1 1 如如果果函函数数)(1xy与与)(2xy是是方方程程( (1 1) )的的两两个个解解, ,那那末末2211ycycy 也也是是( (1 1) )的的解解. .（21,cc是是常常数数）定定理理 2 2：如如果果)(1xy与与)(2xy是是方方程程( (1 1) )的的两两个个线线性性无无关关的的特特解解, , 那那么么2211ycycy 就就是是方方程程( (1

10、1) )的的通通解解. .（2 2）二阶非齐次线性方程的解的结构）二阶非齐次线性方程的解的结构: :)2()()()(xfyxqyxpy 形如形如定理定理 3 3 设设*y是是)2(的一个特解的一个特解, , y是与是与(2)(2)对应对应的齐次方程的齐次方程(1)(1)的通解的通解, , 那么那么*yyy 是二阶是二阶非齐次线性微分方程非齐次线性微分方程(2)(2)的通解的通解. .定理定理 4 4 设非齐次方程设非齐次方程(2)(2)的右端的右端)(xf是几个函是几个函数之和数之和, , 如如)()()()(21xfxfyxqyxpy 而而*1y与与*2y分别是方程分别是方程, , )()

11、()(1xfyxqyxpy )()()(2xfyxqyxpy 的特解的特解, , 那么那么*2*1yy 就是原方程的特解就是原方程的特解. .、二阶常系数齐次线性方程解法、二阶常系数齐次线性方程解法)(1)1(1)(xfypypypynnnn 形如形如n阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程0 qyypy二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为定其通解的方法称为特征方程法特征方程法.02 qprr0 qyypy 特征根的情况

12、特征根的情况 通解的表达式通解的表达式实根实根21rr 实根实根21rr 复根复根 ir 2, 1xrxrececy2121 xrexccy2)(21 )sincos(21xcxceyx 特征方程为特征方程为01)1(1)( ypypypynnnn特征方程为特征方程为0111 nnnnprprpr特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项rk重重根根若若是是rxkkexcxcc)(1110 jk复复根根重重共共轭轭若若是是xkkkkexxdxddxxcxcc sin)(cos)(11101110推广：推广： 阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法n、二阶常系数非齐次线性微分

13、方程解法、二阶常系数非齐次线性微分方程解法)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程型型)()()1(xpexfmx 解法解法待定系数法待定系数法., )(xqexymxk 设设 是重根是重根是单根是单根不是根不是根 2,10k型型sin)(cos)()()2(xxpxxpexfnlx ,sin)(cos)()2()1(xxrxxrexymmxk 设设次多项式，次多项式，是是其中其中mxrxrmm)(),()2()1( nlm,max .1;0是特征方程的单根时是特征方程的单根时不是特征方程的根时不是特征方程的根时 jjk7 7、欧拉方程、欧拉方程 欧拉方程是特殊的变

14、系数方程，通过变量代换欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换 可化为常系数微分方程可化为常系数微分方程.xtextln 或或)(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn 的方程的方程(其中其中nppp21,形如形如叫叫欧拉方程欧拉方程.为常为常数数)， 当微分方程的解不能用初等函数或其积分当微分方程的解不能用初等函数或其积分表达时表达时, 常用幂级数解法常用幂级数解法.8 8、幂级数解法、幂级数解法二、典型例题二、典型例题.)cossin()sincos(dyxyxxyyxdxxyyxyxy 求通解求通解例例1 1解解原方程可化为原方程可化为),cossinsincos(xyxy

15、xyxyxyxyxydxdy ,xyu 令令.,uxuyuxy 代入原方程得代入原方程得),cossinsincos(uuuuuuuuxu ,cos2cossinxdxduuuuuu 分离变量分离变量两边积分两边积分,lnln)cosln(2cxuu ,cos2xcuu ,cos2xcxyxy 所求通解为所求通解为.coscxyxy .32343yxyyx 求通解求通解例例2 2解解原式可化为原式可化为,32342yxyxy ,3223134xyxyy 即即,31 yz令令原式变为原式变为,3232xzxz ,322xzxz 即即对应齐方通解为对应齐方通解为,32cxz 一阶线性非齐方程一阶线

16、性非齐方程伯努利方程伯努利方程,)(32xxcz 设设代入非齐方程得代入非齐方程得,)(232xxxc ,73)(37cxxc 原方程的通解为原方程的通解为.73323731xcxy 利用常数变易法利用常数变易法. 0324223 dyyxydxyx求通解求通解例例3 3解解)2(3yxyyp ,64yx )3(422yxyxxq ,64yx )0( y,xqyp 方程为全微分方程方程为全微分方程.(1) 利用原函数法求解利用原函数法求解:,2),(3yxxuyxu 则则设原函数为设原函数为),(),(32yyxyxu ,求导求导两边对两边对 y),(33142422yyxyxyyu ,1)(

17、2yy 解得解得,1)(yy 故方程的通解为故方程的通解为.1232cyyx (2) 利用分项组合法求解利用分项组合法求解:原方程重新组合为原方程重新组合为, 0)1()(32 ydyxd即得即得, 01)32(2423 dyydyyxdxyx故方程的通解为故方程的通解为.1232cyyx (3) 利用曲线积分求解利用曲线积分求解:,32422),()1 ,0(3cdyyxydxyxyx ,312142203cdyyxydxxyx 即即.113212cyxyxyy 故方程的通解为故方程的通解为.1232cyyx . 0)2()2(2222 dyxyxdxyyx求通解求通解例例4 4解解, 22

18、 yyp, 22 xxq,xqyp 非全微分方程非全微分方程.利用积分因子法利用积分因子法:原方程重新组合为原方程重新组合为),(2)(22xdyydxdydxyx 222yxxdyydxdydx ,)(1)(22xyxyd ,ln11lncxyxyyx 故方程的通解为故方程的通解为.yxyxceyx .212yyy 求通解求通解例例5 5解解.x方程不显含方程不显含,dydppypy 令令代入方程，得代入方程，得,212ypdydpp ,112ycp 解得，解得，, 11 ycp, 11 ycdxdy即即故方程的通解为故方程的通解为.12211cxycc . 1)1()1(,2 yyexey

19、yyxx求特解求特解例例6 6解解特征方程特征方程, 0122 rr特征根特征根, 121 rr对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为.)(21xexccy 设原方程的特解为设原方程的特解为,)(2*xebaxxy ,2)3()(23*xebxxbaaxy 则则,2)46()6()(23*xebxbaxbaaxy 代入原方程比较系数得代入原方程比较系数得将将)( ,)( ,* yyy,21,61 ba原方程的一个特解为原方程的一个特解为,2623*xxexexy 故原方程的通解为故原方程的通解为.26)(2321xxxexexexccy , 1)1( y, 1)31(21 ecc,6)1

20、()(3221xexxcccy , 1)1( y, 1)652(21 ecc,31121 ecc,651221 ecc由由解得解得 ,121,61221ecec所以原方程满足初始条件的特解为所以原方程满足初始条件的特解为.26)121(61223xxxexexexeey ).2cos(212xxyyy 求解方程求解方程例例解解特征方程特征方程, 042 r特征根特征根,22,1ir 对应的齐方的通解为对应的齐方的通解为.2sin2cos21xcxcy 设原方程的特解为设原方程的特解为.*2*1*yyy ,)1(*1baxy 设设,)(*1ay 则则, 0)(*1 y，得，得代入代入xyy214

21、 ，xbax2144 由由，04 b，214 a解得解得，0 b，81 a;81*1xy ),2sin2cos()2(*2xdxcxy 设设,2sin)2(2cos)2()(*2xcxdxdxcy 则则,2sin)44(2cos)44()(*2xdxcxcxdy ，得，得代入代入xyy2cos214 故原方程的通解为故原方程的通解为.2sin81812sin2cos21xxxxcxcy ,2cos212sin42cos4xxcxd 由由，04 c，214 d即即，81 d，0 c;2sin81*2xxy .)(),(1)()(2此方程的通解此方程的通解（）（）的表达式；的表达式；（）（），试求

22、：，试求：的齐次方程有一特解为的齐次方程有一特解为，对应，对应有一特解为有一特解为设设xfxpxxxfyxpy 例例解解（）由题设可得：（）由题设可得： ),()1)(2, 02)(223xfxxpxxxp解此方程组，得解此方程组，得.3)(,1)(3xxfxx （）原方程为（）原方程为.313xyxy ，的两个线性无关的特解的两个线性无关的特解程程是原方程对应的齐次方是原方程对应的齐次方显见显见221, 1xyy 是原方程的一个特解，是原方程的一个特解，又又xy1* 由解的结构定理得方程的通解为由解的结构定理得方程的通解为.1221xxccy .ln5322xxyyxyx 求解方程求解方程解

23、解例例这是一个欧拉方程这是一个欧拉方程,ln xt 令令dxdtdtdyy 则则,1tyx dxdtyxyxytt 112),(12ttyyx 代入原方程得代入原方程得,542tttteyyy (1),tex 和和(1)对应的齐次方程为对应的齐次方程为, 054 yyytt(2)(2)的特征方程为的特征方程为, 0542 rr特征根为特征根为, 1, 521 rr(2)的通解为的通解为.251ttececy 设设(1)的特解为的特解为,)(2*tebaty ),22()(2*1baateyt 则则),444()(2*baateyt 代入原方程比较系数得代入原方程比较系数得将将)( ,)( ,*

24、 yyy,99tbat , 0,91 ba,912*ttey 得得(1)的通解为的通解为.912251tttteececy 故原方程的通解为故原方程的通解为.ln912251xxxcxcy 间间链条滑过钉子需多少时链条滑过钉子需多少时下垂米，试问整个下垂米，试问整个边边的一边下垂米，另一的一边下垂米，另一上，运动开始时，链条上，运动开始时，链条一无摩擦的钉子一无摩擦的钉子一质量均匀的链条挂在一质量均匀的链条挂在解解例例1010oxm8m10,米米链条下滑了链条下滑了经过时间经过时间设链条的线密度为设链条的线密度为xt 则由牛顿第二定律得则由牛顿第二定律得,)8()10(22gxgxdtxdm

25、. 0)0(, 0)0(,99 xxgxgx即即解此方程得解此方程得, 1)(21)(3131 tgtgeetx, 8, x即即整个链条滑过钉子整个链条滑过钉子代入上式得代入上式得)().809ln(3秒秒 gt一、一、 选择题选择题: :1 1、 一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程)()(xqyxpy 的通的通解是解是( ).( ). (a) (a) )()()(cdxexqeydxxpdxxp； (b) (b) dxexqeydxxpdxxp)()()(； (c)(c) )()()(cdxexqeydxxpdxxp； (d) (d) dxxpcey)(. .2 2、方程、方程yy

26、xyx 22是是( ).( ). (a) (a)齐次方程；齐次方程； (b) (b)一阶线性方程；一阶线性方程； (c) (c)伯努利方程；伯努利方程； (d) (d)可分离变量方程可分离变量方程 . .测测 验验 题题3 3、2)1(,022 yxdxydy的特解是的特解是( ).( ). (a) (a)222 yx； (b) (b)933 yx； (c) (c)133 yx； (d) (d)13333 yx. .4 4、方程、方程xysin 的通解是的通解是( ).( ). (a) (a)322121coscxcxcxy ； (b) (b)322121sincxcxcxy ； (c)(c)

27、1coscxy ； (d) (d)xy2sin2 . .5 5、方程、方程0 yy的通解是的通解是( ).( ).(a)(a)1cossincxxy ；(b)(b)321cossincxcxcy ；(c)(c)1cossincxxy ；(d)(d)1sincxy . .6 6、若、若1y和和2y是二阶齐次线性方程是二阶齐次线性方程 0)()( yxqyxpy的两个特解的两个特解, ,则则 2211ycycy ( (其中其中21,cc为任意常数为任意常数)( )( )(a)(a)是该方程的通解；是该方程的通解； (b) (b)是该方程的解；是该方程的解； (c) (c)是该方程的特解；是该方程的

28、特解； (d) (d)不一定是该方程的解不一定是该方程的解. .7 7、求方程、求方程0)(2 yyy的通解时的通解时, ,可令可令( ).( ). (a) (a)pypy 则则,； (b) (b)dydppypy 则则,； (c)(c)dxdppypy 则则,； (d) (d)dydppypy 则则,. .8 8、已知方程、已知方程02 yyxyx的一个特解为的一个特解为xy , ,于于 是方程的通解为是方程的通解为( ).( ). (a) (a)221xcxcy ； (b) (b)xcxcy121 ； (c) (c)xecxcy21 ； (d) (d)xecxcy 21. .9 9、 已知

29、方程、 已知方程0)()( yxqyxpy的一个特的一个特1y解为解为, , 则另一个与它线性无关的特解为则另一个与它线性无关的特解为( ).( ). (a) (a) dxeyyydxxp)(21121； (b) (b) dxeyyydxxp)(21121； (c)(c) dxeyyydxxp)(1121； (d) (d) dxeyyydxxp)(1121. .1010、方程、方程xeyyyx2cos23 的一个特解形式是的一个特解形式是 ( ).( ). (a) (a) xeayx2cos1 ； (b) (b) xxebxxeayxx2sin2cos11 ； (c) (c) xebxeayxx2sin2cos