人教版高中数学选修11课后提升作业 十七 2.3.2.2 Word版含解析

1、高中数学选修精品教学资料课后提升作业 十七抛物线方程及性质的应用(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2016·大理高二检测)过点(0,1)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线有()a.1条b.2条c.3条d.0条【解析】选c.易知过点(0,1),斜率不存在的直线为x=0,满足与抛物线y2=4x只有一个公共点.当斜率存在时,设直线方程为y=kx+1,再与y2=4x联立整理得k2x2+(2k-4)x+1=0,当k=0时,方程是一次方程,有一个解,满足一个交点;当k0时,由=0可得k值有一个,即有一个公共点,所以满足题意的直线有3条.2.抛物线y2=3x关于直线y

2、=x对称的抛物线方程为()a.y2=13xb.x2=3yc.x2=13yd.y2=3x【解题指南】利用点(x,y)关于y=x的对称点为(y,x)进行求解.【解析】选b.因为点(x,y)关于y=x的对称点为(y,x),所以y2=3x关于y=x对称的抛物线方程为x2=3y.3.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是()a.43b.75c.85d.3【解析】选a.设抛物线y=-x2上一点为(m,-m2),该点到直线4x+3y-8=0的距离为|4m-3m2-8|5,当m=23时,取得最小值为43.【一题多解】选a.设与4x+3y-8=0平行的直线l方程为:4x+3y+m=0,由y

3、=-x2,4x+3y+m=0消去y得,3x2-4x-m=0,由=0得,16+12m=0,解得m=-43.所以l的方程为4x+3y-43=0.因此抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是d=-8-4342+32=43.4.(2016·成都高二检测)抛物线y2=4x的焦点为f,点p为抛物线上的动点,点m为其准线上的动点,当fpm为等边三角形时,其面积为()a.23b.4c.6d.43【解析】选d.根据题意知,fpm为等边三角形,|pf|=|pm|=|fm|,所以pm抛物线的准线.设pm24,m,则m(-1,m),等边三角形边长为1+m24,又由f(1,0),|pm|

4、=|fm|,得1+m24=(1+1)2+m2,得m=23,所以等边三角形的边长为4,其面积为43.5.(2015·全国卷)已知椭圆e的中心为坐标原点,离心率为12,e的右焦点与抛物线c:y2=8x的焦点重合,点a,b是c的准线与e的两个交点,则ab=()a.3b.6c.9d.12【解析】选b.设椭圆e的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),右焦点为(c,0),依题意得c=2,ca=12,解得a=4,由b2=a2-c2=16-4=12,所以椭圆e的方程为x216+y212=1,因为抛物线c:y2=8x的准线为x=-2,将x=-2代入到x216+y212=1,解得a(-

5、2,3),b(-2,-3),故ab=6.6.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于a,b两点,若线段ab的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()a.x=1b.x=-1c.x=2d.x=-2【解析】选b.设a(x1,y1),b(x2,y2),代入抛物线方程得:y12=2px1,y22=2px2,-得,(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2).又因为y1+y2=4,所以y1-y2x1-x2=2p4=p2=k=1,所以p=2.所以所求抛物线的准线方程为x=-1.7.(2016·兰州高二检测)斜率为1,过抛物线y=14x2的焦点的直线被抛物线

6、所截得的弦长为()a.8b.6c.4d.10【解析】选a.设弦的端点为a(x1,y1),b(x2,y2),易知直线方程为y=x+1,直线方程与抛物线方程联立,消元得:14x2-x-1=0,所以x1+x2=4,x1x2=-4,所以弦长l=2(x1+x2)2-4x1x2=8.8.(2016·商丘高二检测)已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦ab,则ab的中点到x轴的最短距离为()a.34b.32c.1d.2【解析】选d.由题意知,抛物线的准线l:y=-1,过a作aa1l于a1,过b作bb1l于b1,设弦ab的中点为m,过m作mm1l于m1,则|mm1|=|aa1|+|bb1|2.|a

7、b|af|+|bf|(f为抛物线的焦点),即|af|+|bf|6,|aa1|+|bb1|6,2|mm1|6,|mm1|3,故m到x轴的距离d2.【拓展延伸】“两看两想”的应用与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.【补偿训练】已知点p是抛物线y2=2x上的一个动点,则点p到点(0,2)的距离与点p到该抛物线准线的距离之和的最小值为()a.172b.3c.5d.92【解析】选a.抛物线y2=2x的焦点为f12,0,准线是l,由抛物线的定义知点p到焦点f的距离等于它到准线l的距离,因此要求点p到点(0,2)

8、的距离与点p到抛物线的准线的距离之和的最小值,可以转化为求点p到点(0,2)的距离与点p到焦点f的距离之和的最小值,不难得出相应的最小值就等于焦点f到点(0,2)的距离.因此所求的最小值等于122+(-2)2=172.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2016·临沂高二检测)直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则k=_.【解析】当k=0时,直线与抛物线有唯一交点,当k0时,联立方程消y得:k2x2+4(k-2)x+4=0,由题意=16(k-2)2-16k2=0,所以k=1.答案:0或110.抛物线y2=x上的点到直线x-2y+3=0的距离最短的点的坐标是_.【

9、解析】设与直线x-2y+3=0平行的直线方程为x-2y+m=0,与抛物线方程y2=x联立成方程组x-2y+m=0,y2=x,消去x得y2-2y+m=0,令=(-2)2-4m=0,解得m=1,代入y2-2y+m=0中得y2-2y+1=0,解得y=1,把y=1代入y2=x中,解得x=1,则所求点的坐标是(1,1).答案:(1,1)三、解答题(每小题10分,共20分)11.(2016·宁波高二检测)已知抛物线c:y2=4x,f是抛物线c的焦点,过点f的直线l与c相交于a,b两点,o为坐标原点.(1)如果l的斜率为1,求以ab为直径的圆的方程.(2)设|fa|=2|bf|,求直线l的方程.【

10、解析】设a(x1,y1),b(x2,y2).(1)因为y2=4x,所以f(1,0),又因为直线l的斜率为1,所以直线l的方程为y=x-1,代入y2=4x,得x2-6x+1=0,由根与系数的关系得x1+x2=6,x1·x2=1,易得ab的中点,即圆心的坐标为(3,2),又|ab|=x1+x2+p=8,所以圆的半径r=4,所以所求的圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16.(2)因为|fa|=2|bf|,所以fa=2bf,而fa=(x1-1,y1),bf=(1-x2,-y2),所以x1-1=2(1-x2),y1=-2y2,易知直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k

11、(x-1),代入y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,由根与系数的关系得x1+x2=2k2+4k2,x1·x2=1,因为x1-1=2(1-x2),所以x1=1,x2=1或x1=2,x2=12,所以k=±22,所以直线l的方程为y=±22(x-1).【补偿训练】已知顶点在原点,焦点在x轴的负半轴的抛物线截直线y=x+32所得的弦长|p1p2|=42,求此抛物线的方程.【解析】设抛物线方程为y2=-2px(p>0),把直线方程与抛物线方程联立得y=x+32,y2=-2px,消元得x2+(3+2p)x+94=0,判别式=(3+2p)2-9=4p2+1

12、2p>0,解得p>0或p<-3(舍去),设p1(x1,y1),p2(x2,y2),则中由根与系数的关系得x1+x2=-(3+2p),x1·x2=94,代入弦长公式得1+1·(3+2p)2-9=42,解得p=1或p=-4(舍去),把p=1代入抛物线方程y2=-2px(p>0)中,得y2=-2x.综上,所求抛物线方程为y2=-2x.12.过抛物线y2=2px(p>0)上一定点p(x0,y0)(y00)分别作斜率为-k和k的直线l1, l2,设l1, l2与抛物线y2=2px交于a,b两点,证明直线ab的斜率为定值.【证明】设a(x1,y1),b(x

13、2,y2),由y2=2px,y-y0=k(x-x0)消去x得y2-2pky+2py0k-2px0=0,由根与系数的关系得y0+y1=2pk,所以y1=2pk-y0.同理y0+y2=-2pk,所以y2=-2pk-y0.由,得y1+y2=-2y0,所以kab=y2-y1x2-x1=y2-y1y222p-y122p=2py1+y2=-py0,即直线ab的斜率为定值.【能力挑战题】已知抛物线方程为y2=-2px,其准线方程为x=14,直线l:y=k(x+1)与抛物线交于a,b两个不同的点,o为坐标原点.(1)求证:oaob.(2)当oab的面积等于5时,求k的值.【解析】(1)因为抛物线y2=-2px的准线方程为x=14,所以p2=14,得p=12,即抛物线的方程为y2=-x,联立y=k(x+1),消去x后,整理得:ky2+y-k=0.设a(x1,y1),b(x2,y2),由根与系数的关系得:y1+y2=-1k,y1y2=-1,因为a,b两点在抛物线y2=-x上,所以y12=-x1,y22=-x2,y12·y22=x1