无穷大量和无穷小量

1、12021-11-14集美大学理学院2.4 无穷大量和无穷小量无穷大量和无穷小量00lim( )0(lim( )0)1:,( )xxxf xf xf xxx 如如果果或或则则称称是是定定义义lim0nnnxxn 特特别别的的，若若，则则称称数数列列是是时时的的无无穷穷小小。( )( )(),1 .fxxo 或或时时的的简简称称无无穷穷小小. . 简简记记为为 无无穷穷小小量量1.无无穷穷小小量量问问题题：下下列列函函数数在在自自变变量量的的何何种种变变化化过过程程中中为为无无穷穷小小量量？211,sin ,.xxanx (1) (1) 无无穷穷小小量量是是变变量量, ,不不能能与与很很小小的的

2、注注：量量混混为为一一谈谈. .0(2) (2) 是是无无穷穷小小量量, ,除除此此之之外外的的任任意意小小的的数数都都不不是是无无穷穷小小量量. .22021-11-14集美大学理学院2.4 无穷大量和无穷小量0lim( )( )(1)1:xxf xaf xao 的的充充要要条条件件是是 定定理理 0( )(1)()f xaoxx由由0lim( )xxf xa 由由及及极极限限的的四四则则运运算算法法则则知知道道此此定定理理表表明明，任任何何形形式式的的函函数数极极限限总总可可注注：将将这这个个函函数数表表为为它它的的极极限限与与无无穷穷小小量量的的和和，反反之之亦亦然然。证证明明：“”0l

3、im ( )0,( )(1).xxf xaf xao从从而而“”0lim ( )0 xxf xa知知0000lim( )lim ( )lim ( )limxxxxxxxxf xf xaaf xaaa由由极极限限四四则则运运算算法法则则知知 32021-11-14集美大学理学院2.4 无穷大量和无穷小量2:无无穷穷定定理理小小量量的的性性质质(2)(2)有有限限多多个个无无穷穷小小量量之之和和仍仍是是无无穷穷小小量量；(1)(1)有有界界变变量量与与无无穷穷小小量量之之积积仍仍是是无无穷穷小小量量；(3)(3)有有限限多多个个无无穷穷小小量量之之积积仍仍是是无无穷穷小小量量；42021-11-1

4、4集美大学理学院2.4 无穷大量和无穷小量 (1)1(2)1(3)21(4)31( )111 1 1 111,2 3 4 51 1 111,2,3 4 51 111,1,3 ,4 5111,1,1,4 ,51,1,1,nnnnnnnnkknnxnxnxnxnxk 11,1kn ( )11knkx 52021-11-14集美大学理学院011 limsinxxx例例求求。2.4 无穷大量和无穷小量2012 lim(3sinxxx 例例求求) )。62021-11-14集美大学理学院2.4 无穷大量和无穷小量2.无无穷穷大大量量2:如如果果一一个个函函数数在在自自变变量量变变化化过过程程中中函函定定

5、义义数数值值不不是是趋趋于于某某个个确确定定的的数数，而而是是它它的的绝绝对对值值无无限限增增大大，则则称称函函数数是是这这无无穷穷大大量量个个变变化化过过程程的的，简简称称无无穷穷大大。即即0lim( )(lim( )xxxf xf x 或或01lim( )(lim( )xxxf xf x 注注 ：正正无无穷穷大大：或或；0lim( )(lim( )xxxf xf x 负负无无穷穷大大：或或。002lim( )( )xxf xxxyf x 注注 ：若若，则则直直线线是是函函数数的的图图形形的的垂垂直直（铅铅直直）渐渐近近线线。72021-11-14集美大学理学院2.4 无穷大量和无穷小量2.

6、无无穷穷大大量量2:如如果果一一个个函函数数在在自自变变量量变变化化过过程程中中函函定定义义数数值值不不是是趋趋于于某某个个确确定定的的数数，而而是是它它的的绝绝对对值值无无限限增增大大，则则称称函函数数是是这这无无穷穷大大量量个个变变化化过过程程的的，简简称称无无穷穷大大。即即0lim( )(lim( )xxxf xf x 或或3注注 ：无无穷穷大大量量不不是是一一个个数数，只只能能说说明明变变量量变变化化趋趋势势，不不能能把把一一个个很很大大的的数数与与无无穷穷大大量量混混为为一一谈谈，任任意意大大的的常常数数都都不不是是4注注 ：无无穷穷大大量量一一定定无无界界，但但无无界界变变量量不不

7、一一定定是是无无穷穷大大量量，1:2,0,6,0,10,0,1( 1) ,nnxn 例例如如：1002 10 无无穷穷大大量量，例例如如: : 。82021-11-14集美大学理学院2.4 无穷大量和无穷小量3:无无穷穷大大量量于于无无穷穷小小量量之之定定理理间间的的关关系系在在自自变变量量的的同同一一变变化化过过程程中中，1( )( )f xf x(1)(1)若若为为无无穷穷大大，则则为为无无穷穷小小；1( )( )0,( )f xf xf x (2)(2)若若为为无无穷穷小小，且且则则为为无无穷穷大大。221213 lim1xxxx 例例求求. .92021-11-14集美大学理学院2.4

8、 无穷大量和无穷小量111011100,lim,.nnnnnmmxmmmnma xaxa xaanmb xbxb xbbnm ( )lim,( )nxmp xqx下下面面考考察察有有理理函函数数的的极极限限其其中中1110( ),(0);nnnnnnp xa xaxa xaa 1110( ),(0).mmmmmmqxb xbxb xbb 102021-11-14集美大学理学院2.4 无穷大量和无穷小量3.无无穷穷小小量量的的比比较较23,0 x xxx 已已知知在在的的过过程程中中，都都是是无无穷穷小小量量，那那么么，它它们们趋趋于于零零的的速速度度谁谁快快谁谁慢慢呢呢？im30 l 设设 ,

9、 , 是是同同一一过过程程的的两两个个无无穷穷小小量量，且且，定定义义 ：也也是是在在这这变变化化过过程程中中的的极极限限，li( )m0,o 高高阶阶的的无无穷穷(1)(1)若若，则则称称是是比比，记记作作小小l,( )imo 低低阶阶的的无无穷穷( (2 2) )若若，则则称称是是，记记作作小小比比lim0c (3)(3)若若，同同阶阶的的则则称称与与是是无无穷穷小小. .1,.c 特特别别地地，若若则则称称与与是是，记记为为等等价价的的无无穷穷小小112021-11-14集美大学理学院21114 nnnn 例例 当当时时，比比较较无无穷穷小小量量, , ,的的阶阶. .2.4 无穷大量和

10、无穷小量15 1nnnn 例例 证证明明：当当时时，与与是是同同阶阶无无穷穷小小. .122021-11-14集美大学理学院160sinxxxx例例当当时时，无无法法比比较较无无穷穷小小量量与与 的的阶阶的的高高低低. .2.4 无穷大量和无穷小量132021-11-14集美大学理学院2.4 无穷大量和无穷小量4.等等价价无无穷穷小小量量0tanlim;xxx0arctanlim;xxx0sinlim;xxx0arcsinlim;xxx0ln(1)lim;xxx 问问题题：求求下下列列极极限限 sin tan arcsin arcta ln(11n)xxxxxxex结结论论：211cos2xx

11、 (1)1 (0)axaxa01lim;xxex 201coslim;xxx 0(1)1lim.axxx 1 lnxaxa 142021-11-14集美大学理学院2.4 无穷大量和无穷小量,4lim （等等价价代代换换原原理理）：设设，且且定定理理存存在在，limlim. 则则0sin37limtan5xxx例例求求. .152021-11-14集美大学理学院20(2)sin8limarcsinxxxx 例例求求. .2.4 无穷大量和无穷小量30tansin9limxxxx 例例求求. .注注：在在和和、差差的的极极限限计计算算中中，不不能能用用等等价价无无穷穷小小作作代代换换。30tans

12、inlimxxxx 解解：30sinsincoslimxxxxx 30sin (1cos )limcosxxxxx 23012limcosxxxxx 01lim2cosxx 12 162021-11-14集美大学理学院2.4 无穷大量和无穷小量:练练习习利利用用等等价价无无穷穷小小量量的的代代换换，求求下下列列极极限限33402(2)lim.ln(12 )xxxx 3313tanarctan(1)lim;215sintanarcsinnnn nnnn 172021-11-14集美大学理学院22(01) 0(1cos )ln(1)sinsin1)( )( )( ) 3() 4nnxxxxxxxx

13、enabcd 设设当当时时，是是比比的的高高阶阶无无穷穷小小，而而是是比比( (高高阶阶的的无无穷穷小小，则则正正整整数数 等等于于 1. 2. . . 1. 2. . . 【 】2.4 无穷大量和无穷小量124(03) 0(1)1sinxaxxxa若若时时，与与是是等等价价无无穷穷小小, ,则则 22(05) 01sincosxxkxxarcxxk 当当时时， ( )=( )=与与 ( )=( )=是是等等价价无无穷穷小小, ,则则3012cos(04) lim()13xxxx 求求极极限限3416 4 b182021-11-14集美大学理学院2.4 无穷大量和无穷小量211 0sinxxx

14、(93)(93) 当当时时，变变量量是是(a) (a) 无无穷穷小小. (b) . (b) 无无穷穷大大. . (c) (c) 有有界界的的，但但不不是是无无穷穷小小. (d) . (d) 无无界界的的，但但不不是是无无穷穷大大. . lim0,1nnnnnnnnnnnnnxyx yxyxyxyyx (98)(98) 设设数数列列与与满满足足则则下下列列断断言言正正确确的的是是(a)(a)若若发发散散, ,则则必必发发散散. (b). (b)若若无无界界, ,则则必必无无界界. . (c)(c)若若有有界界, ,则则必必为为无无穷穷小小.(d).(d)若若为为无无穷穷小小, ,则则必必为为无无

15、穷穷小小. .dd192021-11-14集美大学理学院2.4 无穷大量和无穷小量lim( )lim( )0( )0()( )( )( ( )()( )( ).xxxxf xf xf xxxg xf xo f xxxxxf xg x 设设（或或且且）如如果果 定定 则则称称义义2.2.时时8 8 是是的的主主部部，( )(1),( )0(),( )( ),( )(1)()( )( )().f xof xxxg xf xg xoxxg xf xxx设设并并且且的的主主部部性性质质2.122.12且且 是是则则32302sinlim2xxxxxx 例例 求求. .lim( )( )( )lim (

16、 ),( )( )().xxxxf xxxg xf xg xg xf xxx 设设，且且时时，主主部部是是，则则.11 .11 且且性性质质2 2202021-11-14集美大学理学院7收收敛敛数数列列的的运运性性质质 （算算性性质质）nnxy设设数数列列和和都都收收敛敛，则则它它们们的的和和、差差、积积、商商（分分母母的的极极限限不不为为零零）的的数数列列也也收收敛敛。即即设设lim,lim,nnnnxayb那那么么(1) lim();nnnxyab(2) lim();nnnxya b(3)0(1,2,)0, lim.nnnnxaynbyb当当且且时时212021-11-14集美大学理学院2

17、24314 lim.21nnnn 例例求求极极限限2 :练练习习求求下下列列数数列列的的极极限限23253(1)lim;25nnnnn 110110(2)lim,(0,1,kkkkijllnlla nanak la b ib nbnb 其其中中为为正正整整数数, ;0,1, ),0,0.klk jlab都都是是常常数数 且且111(3)lim();1 22 3(1)nn n 111(4)lim(1).242nn222021-11-14集美大学理学院3. .数数列列极极限限存存在在的的准准则则i,nnnxyz准准则则 （夹夹逼逼）如如果果数数列列满满准准则则足足下下列列条条件件：(1)(1,2,

18、3,)nnnyxzn(2)lim,lim,nnnnyazalim.nnnxxa 那那么么数数列列的的极极限限存存在在，且且0(1)n注注：条条件件可可以以放放宽宽到到从从第第项项开开始始之之后后所所有有项项满满足足条条件件nnnyxz232021-11-14集美大学理学院2225 lim21222nnnnnnxxnnnn例例求求 () ()242021-11-14集美大学理学院6 lim(0)nnnnabba例例求求极极限限其其中中。252021-11-14集美大学理学院ii准准则则单单调调有有界界数数列列必必有有极极限限。nx如如果果数数列列满满足足条条件件1231nnxxxxx nx就就称

19、称数数列列是是单单调调增增加加的的；nx如如果果数数列列满满足足条条件件1231nnxxxxx nx就就称称数数列列是是单单调调减减少少的的。单单调调增增加加和和单单调调减减少少数数列列统统称称为为单单调调数数列列。注注：单单调调增增加加有有上上界界和和单单调调减减少少有有下下界界的的数数列列必必有有极极限限。262021-11-14集美大学理学院7 2, 22, 222 ,例例证证明明数数列列的的极极限限存存在在。272021-11-14集美大学理学院11 (1) lim(1)nnnnn 例例8 8 证证明明数数列列收收敛敛，即即存存在在。1(1)nnxn21(1)1(1)(1)111!2!nnn nn nnnnnnn11112111(1)(1)(1)(1).2!nnnnnn 1,nnxx 显显然然 ;nx是是单单调调递递增增的的11112!nxn 1212111