第八章二元函数的极值

1、微积分8-8 8-8 二元函数的极值二元函数的极值微积分的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 多元函数极值多元函数极值一、多元函数的极值和最值一、多元函数的极值和最值h=2ezsurf(-x*y/exp(x2+y2),-h,h,-h,h,-h,h)微积分1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义极大值、极小值统称为极值极大值、极小值统称为极值. .使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点. .微积分处有极小值处有极小值在在函数函数)0 , 0(4322yxz (1)处有极大值处有极大值在在函数函数)0 , 0(22yxz (2)处无极值处无极值在在函数函数)

2、0 , 0(xyz (3)微积分2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件微积分证证不妨设不妨设),(yxfz 在点在点),(00yx处有极大值处有极大值,都都有有 ),(yxf),(00yxf,故故当当0yy ，0 xx 时时，有有 ),(0yxf),(00yxf,必必有有 0),(00 yxfx;类类似似地地可可证证 0),(00 yxfy.微积分 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的的点，均称为函数的驻点驻点. .注意：注意：驻点驻点极值点极值点例如例如, 点点)0 , 0(是函数是函数xyz 的驻点，的驻点，问题：如

3、何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？但但不不是是极极值值点点.微积分. 0),(0),(0000 yxfyxfyx，cyxfbyxfayxfyyxyxx ),(,),(),(000000，记记微积分解解将方程两边分别对将方程两边分别对yx,求偏导求偏导 0422204222yyxxzzzyzzzx驻驻点点为为)1, 1( p,将将上上方方程程组组再再分分别别对对yx,求求偏偏导导数数, 02)(102002)(122yyyyyxyxyxyxxxxxzz zzzz zzzzz zz微积分 故故 )2(0)2(122 zzacb,将将)1, 1( p代代入入原原方方程程

4、,有有6, 221 zz,当当21 z时时，041 a,当当62 z时时，041 a,21|, 0|,21|zzczbzzapyypxypxx 将将)1, 1( p代代入入原原方方程程,微积分第第一一步步 解解方方程程组组, 0),( yxfx0),( yxfy求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx，求求出出二二阶阶偏偏导导数数的的值值a、b、c.第三步第三步 定出定出2bac 的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值.微积分3 3、多元函数的最值、多元函数的最值 与一元函数相类似，我们可以利用函数的与一元函数相类似，我们可以利用

5、函数的极值来求函数的最大值和最小值极值来求函数的最大值和最小值. .求最值的一般方法求最值的一般方法设设 f ( x , y ) 在在d上连续，上连续，d内可微且在内可微且在d内至多有有限个驻点内至多有有限个驻点,这时若这时若 f ( x , y ) 在在d内取得最值内取得最值,则这个最值也一定是极值则这个最值也一定是极值 将函数在将函数在 d d 内的所有驻点处的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在 d d 的边界上的最大值和最小值相互比较，其的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值中最大者即为最大值，最小者即为最小值. .故一般方法是故一般方法是微积分 在实

6、际问题中，往往根据问题的性质就可以断在实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定函数在区域内部确有最大值（最小值），这时如定函数在区域内部确有最大值（最小值），这时如果函数在区域内只有一个驻点，则可以断定该点处果函数在区域内只有一个驻点，则可以断定该点处的函数值就是函数在区域上的最大值（最小值）的函数值就是函数在区域上的最大值（最小值）解解如图如图,先先求求函函数数在在d内内的的驻驻点点，xyo6 yxdd微积分解方程组解方程组 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx且且4)1 , 2( f,再再求求),(yxf在在d边边界界上上的的最最值值， 在边界在边界0

7、 x和和0 y上上0),( yxf,在边界在边界6 yx上，即上，即xy 6于于是是)2)(6(),(2 xxyxf,由由 02)6(42 xxxfx,得得4, 021 xx, 2|64 xxy,64)2 , 4( fxyo6 yx 比较后可知比较后可知4)1 , 2( f为最大值为最大值,64)2 , 4( f为最小值为最小值.微积分例例3 要造一个容量一定的长方体箱子，问选择怎样要造一个容量一定的长方体箱子，问选择怎样的尺寸，才能使所用材料最少？的尺寸，才能使所用材料最少？解解 设箱子的长、宽、高分别是设箱子的长、宽、高分别是x,y,z，容量为，容量为v，表，表面积为面积为s。则：。则：v

8、=xyzs=2(xy+yz+yx). )(2yvxvxysxyvz 由由0, 0| ),( yxyxd).,(0)(20)(23322vvyvxysxvyxs驻点驻点 微积分 根据实际问题可知根据实际问题可知s一定存在最小值。唯一的一定存在最小值。唯一的极值应该是最小值。极值应该是最小值。.6323vsvzyx取得最小值取得最小值时，函数时，函数即当即当 时，用料最省。时，用料最省。是是当箱子的长、宽、高都当箱子的长、宽、高都326v微积分)(33(01. 03240022元元yxyxyx 例例4 某工厂生产两种产品甲与乙，出售单价分某工厂生产两种产品甲与乙，出售单价分别为别为10元与元与9元

9、，生产元，生产x单位的产品甲与单位的产品甲与 y单位的单位的产品乙总费用是产品乙总费用是 求取得最大利润时，两种产品的产量各多少求取得最大利润时，两种产品的产量各多少?)33(01. 032400)910(),(22yxyxyxyxyxl 400)33(01. 06822 yxyxyx解解 设设l(x,y)表示产品甲与乙分别生产表示产品甲与乙分别生产x与与y单位单位时所得的总利润因为总利润等于总收入减去时所得的总利润因为总利润等于总收入减去总费用，所以总费用，所以微积分0)6(01. 08),( yxyxlx0)6(01. 06),( yxyxly得驻点得驻点(120,80)06. 0,01.

10、 0, 006. 0 yyxyxxlclbla0105 . 3)06. 0()01. 0(3222 acb80,120 yx320)80,120( l 由题意知，生产由题意知，生产120单位产品甲与单位产品甲与80单位产单位产品乙设所得利润最大品乙设所得利润最大 是极大值是极大值微积分解解由由, 0)1()(2)1(22222 yxyxxyxzx, 0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy得驻点得驻点)21,21(和和)21,21( ,因为因为01lim22 yxyxyx即边界上的值为零即边界上的值为零.微积分,21)21,21( z,21)21,21( z所以最大值为所以最大值为2

11、1，最小值为，最小值为21 .无条件极值无条件极值：对自变量除了限制在定义域内对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件外，并无其他条件.条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值微积分二、条件极值与拉格朗日乘数法二、条件极值与拉格朗日乘数法微积分 一些较简单的条件极值问题可以把它转化为无一些较简单的条件极值问题可以把它转化为无条件极值来求解条件极值来求解降元法，但这种方法需要经过降元法，但这种方法需要经过解方程和代入的手续，对于较复杂的方程就不容易解方程和代入的手续，对于较复杂的方程就不容易做到，有时甚至是不可能的。做到，有时甚至是不可能的。解决条件极值问题的一般方

12、法是解决条件极值问题的一般方法是lagrange乘数法乘数法升元法升元法求求 z = f ( x , y )下下的的极极值值在在条条件件0),( yx 其几何意义是其几何意义是),(0),(:00yxyxl上求一点上求一点在曲线在曲线 ),(),(00yxfyxf 使使),(),(00yxfyxf 或或其中点其中点 ( x , y ) 在曲线在曲线 l 上上微积分假定点假定点p (x0 , y0 ) 为条件极值点为条件极值点在在(x0 , y0 ) 的某个邻域内的某个邻域内 连续连续yx ,且不同时为且不同时为0f( x , y )可微可微0 y 不妨设不妨设0),( yx 于是于是确定了一个

13、隐函数确定了一个隐函数y = y(x) 故故 z= f x , y(x)在在p(x0 , y0)处取得极值处取得极值故故0 pdxdz即即0)(),(),(0000 xyyxfyxfyx又由隐函数的微分法知又由隐函数的微分法知),(),(0000yxyxdxdyyxp 微积分代入上式代入上式0),(),(),(),(000000 yxyxyxfyxfxyyoox 令令),(),(0000yxyxfyy 得得p (x0 ,y0 )为条件极值点的必要条件为为条件极值点的必要条件为 0),(0),(),(0),(),(0000000000yxyxyxfyxyxfyyxx 微积分xyzoz=f(x,y

14、)lm无条件极值点无条件极值点.p条件极值点条件极值点.微积分微积分例例6解解 销售某产品需作两种方式的广告宣传，当宣传销售某产品需作两种方式的广告宣传，当宣传费用分别为费用分别为x x 和和y y ( (单位：千元单位：千元) )时，销售量时，销售量s s （单位：（单位：件）是件）是x x 和和 y y的函数的函数yyxxs 101005200若销售产品所得的利润是销售量的若销售产品所得的利润是销售量的 1/5 1/5 减去总的广告减去总的广告费，两种广告费共费，两种广告费共2525（单位：千元）应怎样分配两（单位：千元）应怎样分配两种方式的广告费，能使利润最大，最大利润是多少种方式的广告

15、费，能使利润最大，最大利润是多少? ? 根据题意，利润函数为根据题意，利润函数为2551),( syxl251020540 yyxx025 yx条件是条件是微积分设拉格朗日函数设拉格朗日函数)25(251020540),( yxyyxxyxf 求其对求其对x x，y y，的一阶偏导数，并使之为零，的一阶偏导数，并使之为零，得方程组得方程组 , 025, 0)10(200, 0)5(20022yxyfxfyx 微积分解得，故点解得，故点(15,10)(15,10)是惟一的驻点，也是最大是惟一的驻点，也是最大值点于是，当两种宣传方式的广告费分别值点于是，当两种宣传方式的广告费分别为为1515和和1

16、0(10(单位：千元单位：千元) )时，其利润最大、最时，其利润最大、最大利润是大利润是)(1525101010201551540)10,15(千元千元 l微积分例例7求内接于椭球求内接于椭球 1222222 czbyax的最大长方体的体积的最大长方体的体积,长方体的各面平行于坐标面长方体的各面平行于坐标面解一解一 设内接于椭球且各面平行于坐标面的长方体在第设内接于椭球且各面平行于坐标面的长方体在第一卦限的顶点的坐标为一卦限的顶点的坐标为( x , y , z )则长方体的体积为则长方体的体积为v=8xyz022 axyzfx 022 byxzfy 022 czxyfz 1222222 czb

17、yax) 1(222222 czbyaxxyzf 令令微积分 23 xyz解得解得3,3,3czbyax 22axyz 22byxz 或或两式相除两式相除222222byaxyaxbxy 同理同理2222czax 即即222222czbyax 代入解得代入解得3,3,3czbyax 三式相加得三式相加得微积分解二解二任意固定任意固定 z0 (0 z0 c ) 先在所有高为先在所有高为2 z0 的长方体中求体积最大者的长方体中求体积最大者因为高是固定的，故当底面积最大时体积最大因为高是固定的，故当底面积最大时体积最大今上底面为内接于椭圆今上底面为内接于椭圆边平行于边平行于 x,y 轴的长方形轴的

18、长方形当长方形的边长分别为当长方形的边长分别为2202201222 ,1222czbcza （一元函数极值问题）（一元函数极值问题）02220222202111zzczbyczax 微积分长方形面积最大长方形面积最大得到高为得到高为 2z0 的长方体中最大体积为的长方体中最大体积为02200)1(4)(zczabzv )31(4)(2200czabzv 30cz v( z0 ) 最大最大这时长方体在第一卦限的顶点的坐标为这时长方体在第一卦限的顶点的坐标为)3,3,3(cba解三解三作变换作变换czzbyyaxx ,问题变成在问题变成在 1222 zyx下求下求 xyz 的最大值的最大值 易知为

19、立方体易知为立方体31 zyx3,3,3czbyax 微积分解四解四即求即求 222222czbyax 的最大值的最大值而此三个正数的和一定（而此三个正数的和一定（=1）当当 31222222 czbyax积最大积最大3,3,3czbyax 微积分四、小结四、小结多元函数的极值多元函数的极值（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值多元函数的最值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法思考题思考题 若若),(0yxf及及),(0yxf在在),(00yx点均取得点均取得极值， 则极值， 则),(yxf在点在点),(00yx是否也取得极值？是否也取得极值？微积分思考题解答思考题解答不是不是.例例如如 22),(yxyxf ,当当0 x时时，2), 0(yyf 在在)0 , 0(取取极极大大值值;当当0 y