人教版高中数学选修11课后提升作业 十四 2.2.2.2 Word版含解析

1、高中数学选修精品教学资料课后提升作业 十四双曲线方程及性质的应用(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.若ab0,则ax-y+b=0和bx2+ay2=ab所表示的曲线只可能是下图中的()【解析】选c.方程可化为y=ax+b和x2a+y2b=1.从b,d中的两椭圆看a,b(0,+),但b中直线有a<0,b<0矛盾,应排除;d中直线有a<0,b>0矛盾,应排除;再看a中双曲线的a<0,b>0,但直线有a>0,b>0,也矛盾,应排除;c中双曲线的a>0,b<0和直线中a,b一致.2.(2016·德化高二检测)直线y

2、=k(x+2)与双曲线x24-y2=1有且只有一个公共点,则k的不同取值有()a.1个b.2个c.3个d.4个【解析】选d.由已知可得,双曲线的渐近线方程为y=±12x,顶点(±2,0),而直线恒过(-2,0),故有两条与渐近线平行,有两条切线,共4条直线与双曲线有一个交点.【补偿训练】(2016·天水高二检测)已知双曲线方程为x2-y24=1,过p(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点,则共有l()a.4条b.3条c.2条d.1条【解析】选b.因为双曲线方程为x2-y24=1,所以p(1,0)是双曲线的右顶点,所以过p(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一

3、条切线,与双曲线只有一个公共点,另外还有两条就是过p(1,0)分别和两条渐近线平行的直线,所以符合要求的共有3条.【拓展延伸】数形结合思想在研究直线与双曲线问题中的应用直线过定点时,根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系.直线斜率一定时,通过平行移动直线,比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系.3.过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点f作一条渐近线的垂线,若垂足恰在线段of(o为原点)的垂直平分线上,则双曲线的离心率为()a.3b.2c.5+12d.3+12【解析】选b.如图,不妨设f为右焦点,向渐近线y=bax所作垂

4、线的垂足为p,则由题意知|po|=|pf|,所以pof=45°,即ba=1,所以双曲线的离心率e=1+b2a2=2.4.(2016·唐山高二检测)已知双曲线x22-y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别为f1,f2,其中一条渐近线方程为y=x,点p(3,y0)在该双曲线上,则pf1·pf2=()a.-12b.-2c.0d.4【解析】选c.由已知得,b2=2,c=2,点p为(3,±1),左、右焦点坐标分别为(-2,0),(2,0),结合向量的乘法,易知选c.5.设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与函数y=x2+1的图

5、象相切,则该双曲线的离心率等于()a.3b.2c.5d.6【解析】选c.由双曲线x2a2-y2b2=1,得双曲线的渐近线方程为y=±bax,与y=x2+1联立,得x2±bax+1=0.所以=±ba2-4=0,则b2=4a2.又c2=a2+b2,所以c2=5a2,则e=ca=5.6.已知曲线x2a-y2b=1与直线x+y-1=0相交于p,q两点,且op·oq=0(o为原点),则1a-1b的值为()a.1b.2c.3d.32【解析】选b.将y=1-x代入x2a-y2b=1,得(b-a)x2+2ax-(a+ab)=0.设p(x1,y1),q(x2,y2),则x

6、1+x2=2aa-b,x1x2=a+aba-b.因为op·oq=x1x2+y1y2=x1x2+(1-x1)(1-x2)=2x1x2-(x1+x2)+1,所以2a+2aba-b-2aa-b+1=0,即2a+2ab-2a+a-b=0,即b-a=2ab,所以1a-1b=2.7.(2015·天津高考)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点为f(2,0),且双曲线的渐近线与圆x-22+y2=3相切,则双曲线的方程为()a.x29-y213=1b.x213-y29=1c.x23-y2=1d.x2-y23=1【解析】选d.由双曲线的渐近线bx-ay=0与

7、圆(x-2)2+y2=3相切可知2ba2+b2=3,又因为c=a2+b2=2,所以有a=1,b=3,故双曲线的方程为x2-y23=1.8.斜率为2的直线l与双曲线x23-y22=1交于a,b两点,且|ab|=4,则直线l为()a.y=2x+2103b.y=2x-2103c.y=2x±2103d.以上都不对【解析】选c.设直线l的方程为y=2x+m,代入双曲线方程中得:10x2+12mx+3m2+6=0,设a(x1,y1),b(x2,y2),则x1+x2=-6m5,x1x2=3m2+610.因为|ab|=5·(x1+x2)2-4x1x2=4,所以5·-6m52-4&

8、#215;3m2+610=4,解得m=±2103,所以直线l的方程为y=2x±2103.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2016·广州高二检测)过点p(-3,0)的直线l与双曲线x216-y29=1交于点a,b,设直线l的斜率为k1(k10),弦ab的中点为m,om的斜率为k2(o为坐标原点),则k1·k2=_.【解析】显然直线l的斜率存在.设a,b的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),所以x1216-y129=1,x2216-y229=1.两式相减得(x1+x2)(x1-x2)16-(y1+y2)(y1-y2)9=0,即k1=y1-y2x

9、1-x2=9(x1+x2)16(y1+y2).因为mx1+x22,y1+y22,所以k2=y1+y2x1+x2,所以k1·k2=916.答案:91610. (2016·北京高考)双曲线=1(a0,b0) 的渐近线为正方形oabc的边oa,oc所在的直线,点b为该双曲线的焦点,若正方形oabc的边长为2,则a= .【解析】因为正方形oabc的边长为2,所以b(2,0),渐近线为y=±x.所以c=2,a=b.又因为a2+b2=c2,所以a=b=2.答案：2【补偿训练】过双曲线x220-y25=1的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长为5,这样的直线的条数为()a.4b.3

10、c.2d.1【解析】选d.依题意可得右焦点f(5,0),所以垂直x轴,过f的直线是x=5.代入x220-y25=1,求得y=±52,所以此时弦长=52+52=5.不是垂直x轴的,如果直线与双曲线有两个交点,则弦长一定比它长,所以这里只有一条,因为两个顶点距离=45,即左右两支上的点最短是45,所以如果是交于两支的话,弦长不可能为5,所以只有1条.三、解答题(每小题10分,共20分)11.焦点在x轴上的双曲线过点p(42,-3),且点q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,求此双曲线的标准方程.【解析】因为双曲线焦点在x轴上,所以设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b

11、>0),f1(-c,0),f2(c,0).因为双曲线过点p(42,-3),所以32a2-9b2=1.又因为点q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,所以qf1·qf2=0,即-c2+25=0.所以c2=25.又c2=a2+b2,所以可得a2=16或a2=50(舍去).所以b2=9,所以所求的双曲线的标准方程是x216-y29=1.12.(2016·黄石高二检测)已知双曲线3x2-y2=3,直线l过右焦点f2,且倾斜角为45°,与双曲线交于a,b两点,试问a,b两点是否位于双曲线的同一支上?并求弦ab的长.【解题指南】联立方程后根据两根的符号确定两个交点的位置.【

12、解析】因为a=1,b=3,c=2,又直线l过点f2(2,0),且斜率k=tan 45°=1,所以l的方程为y=x-2,由y=x-2,3x2-y2=3,消去y并整理得2x2+4x-7=0,设a(x1,y1),b(x2,y2),因为x1·x2=-72<0,所以a,b两点分别位于双曲线的左、右两支上.因为x1+x2=-2,x1·x2=-72,所以|ab|=1+12|x1-x2|=2·(x1+x2)2-4x1x2=2·(-2)2-4-72=6.【能力挑战题】设双曲线c:x2a2-y2=1(a>0)与直线l:x+y=1相交于两个不同的点a,b.(1)求双曲线c的离心率e的取值范围.(2)若设直线l与y轴的交点为p,且pa=512pb,求a的值.【解析】(1)由双曲线c与直线l相交于两个不同的点得x2a2-y2=1,x+y=1有两个不同的解,消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0,所以1-a20,=4a4+8a2(1-a2)>0解得-2<a<2且a0且a±1.又因为a>0,所以0<a<2且a1.因为双曲线的离心率e=1+a2a=1a2+1,又因为0<a<2,且a1,所以e>62且e2.所以双曲线c的离心率e的取值范围是62,2(2,+).(2)设a(x1