302周期信号的频谱分析——傅里叶级数

1、北京邮电大学电子工程学院 2003.1x主要内容三角函数形式的傅氏级数三角函数形式的傅氏级数 指数函数形式的傅氏级数指数函数形式的傅氏级数两种傅氏级数的关系两种傅氏级数的关系 频谱图频谱图函数的对称性与傅里叶级数的关系函数的对称性与傅里叶级数的关系周期信号的功率周期信号的功率傅里叶有限级数与最小方均误差傅里叶有限级数与最小方均误差x一三角函数形式的傅里叶级数 tntn11sin,cos 是一个完备的正交函数集是一个完备的正交函数集t在一个周期内，在一个周期内，n=0,1,. 0sincos2211 tttmtn nmnmttmtntt, 0,2coscos2211 nmnmttmtntt, 0

2、,2sinsin2211 由积分可知由积分可知1.三角函数集x 1112 , , tttf 基波角频率为基波角频率为周期为周期为周期信号周期信号在满足在满足狄氏条件狄氏条件时，可展成时，可展成 1 sincos)(1110 nnntnbtnaatf 直流分量直流分量 tttttfta00d)(10余弦分量的幅度余弦分量的幅度 tttnttntfta00dcos)(21 正弦分量的幅度正弦分量的幅度 tttnttntftb00dsin)(21 称为三角形式的傅里叶级数，其系数称为三角形式的傅里叶级数，其系数2级数形式x其他形式00ac 22nnnbac nnnabarctan nnnca cos

3、 nnncb sin 余弦形式余弦形式正弦形式正弦形式00ad nnnabarctan nnnda sin nnndb cos 110sin)(nnntnddtf 22nnnbad 2 cos)(110 nnntncctf x关系曲线称为幅度频谱图；关系曲线称为幅度频谱图；关系曲线称为相位频谱图。关系曲线称为相位频谱图。可画出可画出频谱图。频谱图。周期信号频谱具有周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性离散性、谐波性、收敛性 。 nc n幅度频率特性和相位频率特性的线性组合。的线性组合。基波角频率的整数倍）基波角频率的整数倍）（）和各次谐波）和各次谐波，基波（，基波（周期信号可分解为直流周期信号

4、可分解为直流:11 nx二指数函数形式的傅里叶级数1 1复指数正交函数集复指数正交函数集 2, 1, 0 e1j ntn 2 2级数形式级数形式3 3系数系数 111110jj0j1deede)()(ttntnttntttfnf 4 e)()(1j1tnnnftf 5 de )(1110j ttnttft 利用利用复变函数的正交特性复变函数的正交特性nf 也可写为也可写为x说明 变换对。变换对。式是一对式是一对、惟一确定，惟一确定，则，则如给出如给出)5()4()(1tfnf 的线性组合。的线性组合。区间上的指数信号区间上的指数信号周期信号可分解为周期信号可分解为tn1je, 4 e)()(1

5、j1tnnnftf 5 de)(1110j1 ttnttftnf x三两种系数之间的关系及频谱图 ttnttftnf0j1de )(1)(1 ttttntftttntft0101dsin)(1jdcos)(1 nnbaj21 ttttntftttntftnf01011dsin)(1jdcos)(1)( nnbaj21 nnfnf j11e)( 是是复复数数)(),(11 nfnf xnnncbanf2121)(221 相频特性相频特性 nnnabarctan 幅频特性和相频特性幅频特性幅频特性 的的奇奇函函数数关关于于的的偶偶函函数数关关于于取取正正值值）的的奇奇函函数数（实实际际关关于于取取

6、正正值值）的的偶偶函函数数（实实际际关关于于 )( 11nnfnbnannx1 13 nc0c1c3co1 13 n o 频谱图幅度频谱幅度频谱相位频谱相位频谱离散谱，谱线离散谱，谱线曲线曲线或或 nnfc曲线曲线 nx四总结（1）周期信号周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式的傅里叶级数有两种形式（3）周期信号的频谱是离散谱，三个性质周期信号的频谱是离散谱，三个性质（2）两种频谱图的关系两种频谱图的关系（4）引入负频率引入负频率x(1)周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式= 110)cos(nnntncc 三角形式三角形式指数形式指数形式 1110sincos)(nnntnbtnaatf

7、tnnnftf1j1e)()( x 0001021)(acfncnfn (2)两种频谱图的关系)()( 11 nn 相相位位频频谱谱为为奇奇函函数数 nnc，三角函数形式：三角函数形式：单边频谱单边频谱 nnf，指数函数形式：指数函数形式：双边频谱双边频谱关系关系)()( 11 nfnf 偶偶函函数数指指数数形形式式的的幅幅度度频频谱谱为为x(3)三个性质 的谱线唯一的谱线唯一惟一性：惟一性：处处现在现在（离散性），频率只出（离散性），频率只出谐波性：谐波性：收敛性：收敛性：)(,11tfnnfn (4)引入负频率对对于于双双边边频频谱谱，负负频频率率)(1 n，只只有有数数学学意意义义，而而

8、无无物物理理意意义义。为为什什么么引引入入负负频频率率? ? 的实函数的性质不变。的实函数的性质不变。，才能保证，才能保证和和数，必须有共轭对数，必须有共轭对是实函数，分解成虚指是实函数，分解成虚指)(ee11jjtftfnn 注意：注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性冲激函数序列的频谱不满足收敛性x五函数的对称性与傅里叶级数的关系偶函数偶函数奇函数奇函数奇谐函数奇谐函数偶谐函数偶谐函数注：指交流分量注：指交流分量x1偶函数为实函数。为实函数。项。项。项，只含直流项和余弦项，只含直流项和余弦傅里叶级数中不含正弦傅里叶级数中不含正弦)(1 nf信号波形相对于纵轴是对称的信号波形相对于纵轴是对称的

9、)()(tftf )(tfottet 0 nb 2010dcos)(4tnttntfta nnnnabanff21j21)(1 0 n x2奇函数)()(tftf 对称的：对称的：波形相对于纵坐标是反波形相对于纵坐标是反)(tfottt 11 为虚函数。为虚函数。量，量，傅里叶级数中无余弦分傅里叶级数中无余弦分)(1 nf 0= d)(1 220 ttttfta 0dcos)(2221 ttnttntfta tnttntftb01dsin)(2 nnnnbbanffj21j21)(1 2010dsin)(4tttntft x0 6 , 4 , 2 nnban时时3奇谐函数 201dcos)(4

10、 5 , 3 , 1tnttntftan 时时 201dsin)(4tnttntftb f(t)的傅氏级数偶次谐波为零，即的傅氏级数偶次谐波为零，即)(tfottt 2t 2)(ttftf若波形沿时间轴平移半个周若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转，期并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变化：此时波形并不发生变化：00 ax 21ttftf112t 4偶谐函数 20111dsin)(4tnttntftb 0 5 , 3 , 1 nnban时时当当 20111dcos)(4 6 , 4 , 2tnttntftan 时时当当f(t)的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量的傅氏级数奇次

11、谐波为零，只有偶次谐波分量)(tfot1t1t 21t 21t称为偶谐函数。称为偶谐函数。与原波形重合，与原波形重合，波形移动波形移动21t x六周期信号的功率这是这是帕塞瓦尔定理帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现在傅里叶级数情况下的具体体现; ;表明：表明： 周期信号平均功率周期信号平均功率= =直流、基波及各次谐波分直流、基波及各次谐波分量有效值的平方和；量有效值的平方和； 也就是说，也就是说，时域和频域的能量是守恒时域和频域的能量是守恒的。的。 绘成的线状图形，表示绘成的线状图形，表示 各次谐波的平均功各次谐波的平均功率随频率分布的情况，称为率随频率分布的情况，称为功率谱系数功率谱系数。 2nf nnnnnnnfcabaa21220122202121