高中数学人教A版选修11教学案：第三章 3.1变化率与导数 Word版含答案

1、起 第 1 课时 变化率问题、导数的概念 核心必知 1预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材 p72p76的内容，回答下列问题 (1)气球膨胀率 气球的体积 v(单位：l)与半径 r(单位：dm)之间的函数关系是 v(r)43r3，如果将半径r 表示为体积 v 的函数，那么 r(v)33v4. 当空气容量 v 从 0 增加到 1 l 时，气球的平均膨胀率是多少？ 提示：r（1）r（0）100.62(dm/l) 当空气容量 v 从 1 l 增加到 2 l 时，气球的平均膨胀率是多少？ 提示：r（2）r（1）210.16(dm/l) 当空气容量从 v1增加到 v2时，气球的平均膨胀率又是多少？

2、 提示：r（v2）r（v1）v2v1 (2)高台跳水 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后时间 t(单位：s)存在函数关系 h(t)4.9t26.5t10. 在 0t0.5 这段时间里，运动员的平均速度 v 是多少？ 提示：vh（0.5）h（0）0.504.05(m/s) 在 1t2 这段时间里，运动员的平均速度 v 是多少？ 提示：vh（2）h（1）218.2(m/s) 在 t1tt2这段时间里， 运动员的平均速度 v 又是多少？其中，t1t20，6549 提示：vh（t2）h（t1）t2t1 2归纳总结，核心必记 (1)函数的平均变化率 对于函数 yf(x)，给

3、定自变量的两个值 x1和 x2，当自变量 x 从 x1变为 x2时，函数值从f(x1)变为 f(x2)，我们把式子f（x2）f（x1）x2x1称为函数 yf(x)从 x1到 x2的平均变化率 习惯上用x 表示 x2x1，即xx2x1，可把x 看作是相对于 x1的一个“增量” ，可用 x1x 代替 x2；类似地，yf(x2)f(x1)于是，平均变化率可表示为yx (2)瞬时速度 物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 若物体运动的路程与时间的关系式是 sf(t)，当t 趋近于 0 时，函数 f(t)在 t0到 t0t 之间的平均变化率f（t0t）f（t0）t趋近于常数，我们就把这个常数叫做物体在 t0

4、时刻的瞬时速度 (3)导数的定义 一般地，函数 yf(x)在 xx0处的瞬时变化率是： ，我们称它为函数 yf(x)在 xx0处的导数， 记作 f(x0)或 y|xx0，即 f(x0)= 问题思考 (1)设 a(x1，f(x1)，b(x2，f(x2)是曲线 yf(x)上任意不同的两点，则函数 yf(x)的平均变化率yxf（x2）f（x1）x2x1f（x1x）f（x1）x表示什么？ 提示：表示割线 ab 的斜率 (2)x，y 的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？ 提示：x，y 可正可负，y 也可以为零，但x 不能为 0，平均变化率yx可正、可负、可为零 (3)在高台跳水中，如何求在1，1

5、t这段时间内的平均速度 v？当 t 趋近于 0 时，平均速度 v 有什么样的变化趋势？ 提示：vv（1t）v（1）（1t）1.当 t 趋近于 0 时，平均速度 v 即为 t1 时的瞬时速度 (4)平均变化率与瞬时变化率有什么区别和联系？ 提示：(1)区别：平均变化率刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在 x0点处变化的快慢； (2)联系：当x 趋于 0 时，平均变化率yx趋于一个常数，这个常数即为函数在 x0处的瞬时变化率，它是一个固定值 课前反思 (1)平均变化率的定义是： ； (2)什么是函数的瞬时变化率？它与平均变化率有什么区别和联系？ ； (3)导数的定义是什么

6、？如何表示？ ； (4)平均速度与瞬时速度的定义是什么？它们有什么区别和联系？ 思考 1 平均变化率可用式子yx表示，其中y、x 的意义是什么？ 提示：y、x 分别表示函数值和自变量的变化量 思考 2 如何求函数 yf(x)在区间x1，x2上的平均变化率？ 提示：平均变化率为f（x2）f（x1）x2x1 讲一讲 1已知函数 f(x)3x25，求 f(x)： (1)从 0.1 到 0.2 的平均变化率； (2)在区间x0，x0 x上的平均变化率 尝试解答 (1)因为 f(x)3x25， 所以从 0.1 到 0.2 的平均变化率为 30.22530.1250.20.10.9. (2)f(x0 x)

7、f(x0) 3(x0 x)25(3x205) 3x206x0 x3(x)253x205 6x0 x3(x)2. 函数 f(x)在区间x0，x0 x上的平均变化率为 6x0 x3（x）2x6x03x. (1)求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的增量xx2x1. 第二步，求函数值的增量yf(x2)f(x1) 第三步，求平均变化率yxf（x2）f（x1）x2x1. (2)求平均变化率的一个关注点 求点 x0附近的平均变化率，可用f（x0 x）f（x0）x的形式 练一练 1已知函数 f(x)x1x，分别计算 f(x)在自变量 x 从 1 变到 2 和从 3 变到 5 时的平均变化率，并判断在

8、哪个区间上函数值变化得较快 解：自变量 x 从 1 变到 2 时，函数 f(x)的平均变化率为 f（2）f（1）21212（11）112； 自变量 x 从 3 变到 5 时，函数 f(x)的平均变化率为f（5）f（3）5351531321415. 因为121415， 所以函数 f(x)x1x在自变量 x 从 3 变到 5 时函数值变化得较快 某物体按 sf(t)的规律运动 思考 1 该物体在t0，t0t内的平均速度是什么？在 t0的瞬时速度是多少？ 思考 2 如何求yx(当x 无限趋近于 0 时)的极限？ 名师指津：(1)在极限表达式中，可把x 作为一个数来参与运算 (2)求出yx的表达式后，

9、x 无限趋近于 0 就是令x0，求出结果即可 讲一讲 2若一物体的运动方程为 s293（t3）2，0t0，故 t03， 所以物体在 3 s 时的瞬时速度为 27 m/s. 题组 3 利用定义求函数在某一点处的导数 7设函数 f(x)在点 x0附近有定义，且有 f(x0 x)f(x0)axb(x)2(a，b 为常数)，则( ) af(x)abf(x)b cf(x0)adf(x0)b 8设函数 f(x)ax3，若 f(1)3，则 a 等于( ) a2 b2 c3 d3 9求函数 f(x) x在 x1 处的导数 f(1) 能力提升综合练 a与 x0，h 都有关 b仅与 x0有关，而与 h 无关 c仅

10、与 h 有关，而与 x0无关 d以上答案都不对 解析：选 b 由导数的定义知，函数在 xx0处的导数只与 x0有关 2 函数 yx2在 x0到 x0 x 之间的平均变化率为 k1， 在 x0 x 到 x0之间的平均变化率为 k2，则 k1与 k2的大小关系为( ) ak1k2 bk2k2 ck1k2 d不确定 解析：选 d k1f（x0 x）f（x0）x （x0 x）2x20 x2x0 x； k2f（x0）f（x0 x）xx20（x0 x）2x2x0 x. 因为x 可正也可负，所以 k1与 k2的大小关系不确定 3a，b 两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量 w1(t)，w2(t)与时

11、间 t(天)的关系如图所示，则一定有( ) a两机关节能效果一样好 ba 机关比 b 机关节能效果好 ca 机关的用电量在0，t0上的平均变化率比 b 机关的用电量在0，t0上的平均变化率大 da 机关与 b 机关自节能以来用电量总是一样大 解析：选 b 由题图可知，a 机关所对应的图象比较陡峭，b 机关所对应的图象比较平缓，且用电量在0，t0上的平均变化率都小于 0，故一定有 a 机关比 b 机关节能效果好 4一个物体的运动方程为 s1tt2，其中 s 的单位是：m，t 的单位是：s，那么物体在 3 s 末的瞬时速度是( ) a7 m/s b6 m/s c5 m/s d8 m/s 解析：选

12、c st1（3t）（3t）2（1332）t 5t， 5.如图是函数 yf(x)的图象，则 (1)函数 f(x)在区间1，1上的平均变化率为_； (2)函数 f(x)在区间0，2上的平均变化率为_ 解析：(1)函数 f(x)在区间1，1上的平均变化率为f（1）f（1）1（1）21212. (2)由函数 f(x)的图象知，f(x)x32，1x1，x1，1kb，在 c 处的切线斜率小于零，所以 f(x1)f(x2)f(x3) (3)曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？ 提示：不一定，切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点 (4)f(x0)与 f(x)

13、有什么区别？ 提示：f(x0)是一个确定的数，而 f(x)是一个函数 课前反思 (1)导数的几何意义是： ； (2)导数的概念是： ； (3)如何求函数 f(x)在 xx0处的切线方程？ 思考 1 直线的点斜式方程是什么？ 提示：yy0k(xx0) 思考 2 如何求曲线 f(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程？ 名师指津：根据导数的几何意义，求出函数 yf(x)在点(x0，f(x0)处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程 思考 3 曲线 f(x)在点(x0，f(x0)处的切线与曲线过点(x0，y0)的切线有什么不同？ 名师指津： 曲线 f(x)在点(x0，

14、f(x0)处的切线， 点(x0， f(x0)一定是切点， 只要求出 kf(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线 f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点 讲一讲 1已知曲线 yx2， (1)求曲线在点 p(1，1)处的切线方程； (2)求曲线过点 p(3，5)的切线方程 尝试解答 (1)设切点为(x0，y0)， 曲线在点 p(1，1)处的切线方程为 y12(x1)， 即 y2x1. (2)点 p(3，5)不在曲线 yx2上，设切点为(x0，y0)， 由(1)知，y|xx02x0， 切线方程为 yy02x0(xx0)， 由 p(3

15、，5)在所求直线上得 5y02x0(3x0)， 再由 a(x0，y0)在曲线 yx2上得 y0 x20， 联立，得 x01 或 x05. 从而切点为(1，1)时，切线的斜率为 k12x02， 此时切线方程为 y12(x1)，即 y2x1， 当切点为(5，25)时，切线的斜率为 k22x010， 此时切线方程为 y2510(x5)， 即 y10 x25. 综上所述，过点 p(3，5)且与曲线 yx2相切的直线方程为 y2x1 或 y10 x25. 利用导数的几何意义求切线方程的方法 (1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数 yf(x)在点 x0处的导

16、数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程 yy0f(x0)(xx0) (2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程 练一练 1已知曲线 c：yx3. (1)求曲线 c 在 x1 处的切线方程； (2)求第(1)问中的切线与曲线 c 的公共点 解：(1)yx（xx）3x3x 3x23xx(x)2， 又 x1 时，y1， 切线方程为 y13(x1)， 即 3xy20. (2)由yx3，3xy20，得 x33x20， 即 x3x2x20，(x1)2(x2)0. 解得 x1 或 x2， 切线与曲线

17、 c 的公共点为(1，1)和(2，8) 思考 如何处理切点问题？ 名师指津：切点问题的处理方法： (1)借斜率先求横坐标：由条件得到直线的倾斜角或斜率，由这些信息得知函数在某点的导数，进而求出点的横坐标 (2)与几何知识相联系：解决这些问题要注意和解析几何的知识联系起来，如直线的倾斜角和斜率的关系，两直线平行或垂直与斜率的关系等 讲一讲 2若曲线 yx33x21 在点 p 处的切线平行于直线 y9x1，求 p 点坐标及切线方程 尝试解答 设 p 点坐标为(x0，y0)， yxf（x0 x）f（x0）x （x0 x）33（x0 x）21x303x201x(x)23x0 x3x3x206x0. 3

18、x206x0，于是 3x206x09，解得 x03 或 x01， 因此，点 p 的坐标为(3，1)或(1，3) 又切线斜率为 9，所以曲线在点 p 处的切线方程为 y9(x3)1 或 y9(x1)3，即y9x26 或 y9x6. 根据切线斜率求切点坐标的步骤 (1)设切点坐标(x0，y0)； (2)求导函数 f(x)； (3)求切线的斜率 f(x0)； (4)由斜率间的关系列出关于 x0的方程，解方程求 x0； (5)点(x0，y0)在曲线 f(x)上，将(x0，y0)代入求 y0得切点坐标 练一练 2已知曲线 y2x2a 在点 p 处的切线方程为 8xy150，求切点 p 的坐标及 a 的值

19、 解：设切点 p(x0，y0)， 4x， 得 ky|xx04x0. 根据题意 4x08，x02， 代入 8xy150 得 y01. 故所求切点为 p(2，1)，a2x20y07. 讲一讲 3(1)若函数 yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则函数 yf(x)在区间a，b上的图象可能是下图中的 ( ) (2)已知函数 yf(x)，yg(x)的导函数的图象如图，那么 yf(x)，yg(x)的图象可能是( ) 尝试解答 (1)由导数的几何意义知导函数递增说明函数切线斜率随 x 增大而变大， 因此应选 a. (2)从导函数的图象可知两个函数在 x0处斜率相同，可以排除 b、c.再者导函数的函数值

20、反映的是原函数的斜率大小，可明显看出 yf(x)的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除 a. 答案 (1)a (2)d 导数与函数图象升降的关系 若函数 yf(x)在 xx0处的导数存在且 f(x0)0(即切线的斜率大于零)，则函数 yf(x)在 xx0附近的图象是上升的；若 f(x0)0 bf(x0)0 cf(x0)0 df(x0)不存在 解析： 选 b 根据导数的几何意义， f(x)在 x0处的导数即 f(x)在 x0处切线的斜率， 故 f(x0)120. 8如图所示，单位圆中弧 ab 的长为 x，f(x)表示弧 ab 与弦 ab 所围成的弓形面积的 2倍，则函数 yf(x)的

21、图象是( ) 解析：选 d 不妨设 a 固定，b 从 a 点出发绕圆周旋转一周，刚开始时 x 很小，即弧ab 长度很小，这时给 x 一个改变量x，那么弦 ab 与弧 ab 所围成的弓形面积的改变量非常小，即弓形面积的变化较慢； 当弦 ab 接近于圆的直径时，同样给 x 一个改变量x，那么弧 ab 与弦 ab 所围成的弓形面积的改变量将较大，即弓形面积的变化较快； 从直径的位置开始，随着 b 点的继续旋转，弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢 由上可知函数 yf(x)图象的上升趋势应该是首先比较平缓，然后变得比较陡峭，最后又变得比较平缓，对比各选项知 d 正确 9已知函数 yf(x)的图象如图

22、所示， 则函数 yf(x)的图象可能是_(填序号) 解析：由 yf(x)的图象及导数的几何意义可知，当 x0，当 x0 时，f(x)0，当 x0 时，f(x)0，故符合 答案： 能力提升综合练 1设 f(x0)0，则曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线( ) a不存在 b与 x 轴平行或重合 c与 x 轴垂直 d与 x 轴相交但不垂直 答案：b 2曲线 y1x1在点 p(2，1)处的切线的倾斜角为( ) a.6 b.4 c.3 d.34 解析：选 d y12x112111x1x1x， 斜率为1，倾斜角为34. 3曲线 yx32x1 在点(1，0)处的切线方程为( ) ayx1 byx1 cy2x2 dy2x2 解析：选 a 由y(1x)32(1x)1(121)(x)33(x)2x 所以在点(1，0)处的切线的斜率 k1，切线过点(1，0)，根据直线的点斜式可得切线方程为 yx1. 4设 p0为曲线 f(x)x3x2 上的点，且曲线在 p0处的切线平行于直线 y4x1，则p0点的坐标为( ) a(1，0) b(2，8) c(1，0)或(1，4) d(2，8)或(1，4) 由于曲线 f(x)x3x2 在 p0处的切线平行于直线 y