第三节换元积分法1111

1、 dx0. 1 dxx . 2 dxx1. 3 dxax. 4 dxex. 5 xdxsin. 6 xdxcos. 7 xdx2sec. 8 xdx2csc. 9 dxx211.10 dxx211.11ccx 111 caax lncx lncx sincx coscex cx cotcx tancx arcsincx arctan dx0. 1 dxx . 2 dxx1. 3 dxax. 4 dxex. 5 xdxsin. 6 xdxcos. 7 xdx2sec. 8 xdx2csc. 9 dxx211.10 dxx211.11ccx 111 caax lncx lncx sincx cos

2、cex cx cotcx tancx arcsincx arctan)(:.凑微分法凑微分法第一换元法公式第一换元法公式一一dxxxfdxxg)()()( )()()(xxfxg xdx3cos.1例例)(cosxdx3331.sincx 331 dxx8)12(.2例例dxxx)()(1212218)()(1212218xdxcx912219)(.)(cx912181 dxxx)3(3cos31 udufxu)()( dxxx21.3例例 )1(12122xdxcx23213221.131232cx dxxx41.4例例 )(112124xdx.arctan212cx dxxx2ln.5例例

3、 )ln(ln2xdx.ln313cx xdxxcossin.63例例xdxsinsin3 .sin414cx 例例2求求.123dxexx 解解 原式原式dxxex 213ux 13cex 1331ceu 31313dueu 31原式原式dxxex 213313)1(31313 xdexcex 1331 dxxgxf)()( dx简单在后简单在后复杂在前复杂在前例例3 求求dxxx 231arcsin解解 原式原式dxxx 2311arcsinxdx arcsinarcsin3 cx 34)(arcsin43 dxxgxf)()( dxxfxg)()(1 dxxgxf)(1)(或或例例4 求

4、求dxxx 3)1ln2(解解 原式原式dxxx 1)1ln2(3dxxx 2)1ln2(213)1ln2()1ln2(213 xdxcx 4)1ln2(81例例8. 求求.dsec6xx解解: 原式原式 =xdxx222sec) 1(tanxtandxxxtand) 1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanc.dsecsec24xxx例例5 求求dxxx 221)(arctan1解解 原式原式dxxx 2211)(arctan1 xdxarctan)(arctan1 2 cxx 3)(arctan31arctan例例6 求求.cot dxx 解解 原式原式dxxx sinc

5、osdxxx cossin1xdxsinsin1 .sinlncx 例例7求求.tan dxx 解解 原式原式dxxx cossindxxx sincos1xdxcoscos1 .coslncx 公式公式12公式公式13 )(例例8求求)0,()(1不同时为不同时为和和babadxxbxa 解解 原式原式dxxbxa)11( 111dxxbdxxaab )(1xadxacxbxaab lnln1cxbxaab ln1ab 1ab 1)(1xbdxb dxxa 221dxxaxa )(1dxxaxa )(1cxaxaa ln21cxaxaa ln21当公式记住当公式记住 14例例9 求求.122

6、dxxa 解解 原式原式dxaxa 22)(111dxax 2)(11a1 )()(1112axdaxa .arctan1caxa a1)0(?122 adxxa当公式记住当公式记住 15、16补充补充例例 求求21.52dxxx 解解原式原式216(1)dxx 21(1)6(1)d xx 1arcsin.6xc 二次三二次三项式配项式配方处理方处理2(1) sin xdx1cos22xdx解原式1cos22dxxdx11cos2(2 )24dxxdx11sin224xxc例例9 求三角函数的不定积分求三角函数的不定积分3(2) sin xdx2sincosxdxx 解 原式2(cos1) c

7、osxdx31coscos.3xxc例例12求求.cos4dxx 解解 原式原式dxx 22)(cosdxx 2)22cos1(dxxx )2cos2cos21(412dxxx )24cos12cos21(41dxxdxxdxdx 4cos81812cos21141.4sin321812sin4141cxxxx 当当n n为偶数时应先降次后再积分；为偶数时应先降次后再积分；2(3) sincosxxdx231sinsinsin3xdxxc 解解原原式式结论结论: : 一般地一般地, , 对形如对形如sin, cosnnxdxxdx这样的不定积分这样的不定积分: :当当n n为奇数时应先凑微分再

8、积分；为奇数时应先凑微分再积分；例例求求.sincos32dxxx 解解原式原式dxxxx sinsincos22dxxxx sin)cos1(cos22dxxxx)sin()cos(cos24 xdxxcos)cos(cos24 .cos31cos5135cxx dxxxnm sincos将奇数次方将奇数次方分出一个作分出一个作)(x (4) sinsinmxnxdx1cos()cos() 2mn xmn x dx 解解原原式式对形如这样的不定积分应先对形如这样的不定积分应先积化和差积化和差后再积分后再积分. .sin()sin()2()2()mn xmn xcmnmn例例13 求求.1dx

9、eexx 解解 原式原式dxeexx 1)(2dxeexx 11dxeexx 1)(12xxdee 1)(12.arctancex 例例13 求求.1dxeexx 解解 原式原式dxeexx 1dxeexx 2)(11xxdee 2)(11cex arctan dxxf)( dxxxxf)(1)()( dxxxg)()( xxee1 例例17. .1dxex解法解法1xex1dxeeexxxd1)1 (xdxxee1)1 (dxcex)1ln(解法解法2 xex1dxeexxd1xxee1)1 (dcex)1ln()1(ln)1ln(xxxeee两法结果一样两法结果一样 dxxx12321.1

10、8例例dxxxxxxx123212321232dxxx41232dxxdxx12413241)()(121281323281xdxxdx.cxx331212132121例例14 求求.sec dxx 解解 原式原式dxx cos1dxxxxcos1coscos1 xdxxcossin112 xdxsinsin112 cxx sin1sin1ln21cxxxx )sin1)(sin1()sin1)(sin1(ln21cxx cossin1ln.tanseclncxx ?csc dxx公式公式17、18 dxxcos11.19例例dxxx211coscosdxxxx221sincossindxxx

11、xcotcsccsc2.csccotcxx dxxx2arcsin41.202例例dxxx24121arcsindxxa221)(arcsin公式公式cax 221xdxarcsinarcsin.arcsinlncx2 22cos2cos1:xdxxdx另解另解.sec222 xxdcxxdxx tanseclnseccxxdxx cotcsclncscdxx cotdxx tancx sinlncx coslndxxa 221cxaxaa ln21dxxa 221 dxxa221caxa arctan1cax arcsin基本公式基本公式:补充的积分公式.coslntan.cxdxx16.t

12、anseclnsec.cxxdxx18.cotcsclncsc.cxxdxx19.arcsin.caxxadx2220.ln.caxaxaaxdx212222见下一节见下一节 .ln.242222caxxaxxd.ln.cxaxaaxadx212322.arctan.caxaxadx12122.sinlncot.cxdxx17基本类型基本类型 dxxxf)()( )()(xdxf adxbaxf)( dxxxf1)(ln dxeefxx)( dxxxf211)(arctan dxxxf211)(arcsin xdxxfcos)(sin xdxxfsin)(cos:凑微分凑微分常用的常用的)(b

13、axdadx1)()()(baxdabxdxdxdx222212121)()()(baxdakxdkdxxkkk111111)ln()ln()(lnxbadbxadxddxx11)()(bededdxexxx)(sin)(sincosbxdxddxx)(cos)(cossinbxdxddxx2211xdxdxx,以上方法不必硬背以上方法不必硬背!而在于熟练运用而在于熟练运用 dxxgxf)()( dx简单在后简单在后复杂在前复杂在前 dxxgxf)()( dxxfxg)()(1 dxxgxf)(1)(或或二次三项式二次三项式 配方处理配方处理dxxxnm sincos将奇数次方分出一个作将奇数

14、次方分出一个作)(x cosmxdx sinmxdx 为偶数为偶数m降幂处理降幂处理或或 dxxf)( dxxxxf)(1)()( dxxxg)()( 课堂练习课堂练习321. 12;2. ;3. 3;xexxxdxedxx edx)21 (2121. 1xdx原dxeexex原. 2)(xeedex)(. 333xdex原122324. ;5. cos;6. sincos;xadxxxdxxxdx)1(. 41xdax原dxx22cos1. 5原)(coscossin. 622xxdx原)(coscos)cos1 (22xxdx 思考与练习思考与练习1. 下列各题求积方法有何不同下列各题求积

15、方法有何不同? xx4d) 1 (24d)2(xxxxxd4)3(2xxxd4)4(2224d)5(xx24d)6(xxxxx4)4(d22221)(1)d(xx22214)4(dxxxxd441241xx2121xd2)2(4x)2(dx第二类换元积分法具体做题步骤第二类换元积分法具体做题步骤:dxxf )()(tx 令令dtttf)( )( ctf )(cxf )(1 证证)(1 xf )()(1 xtf )()(ttf )(xf )(1t 例例1 求求.1dxxx 解解 令令21xt则则 dx tt12 dtt)1(22ctt 2323.12)1(323cxx 原式原式tdt2tdt2

16、(0)t 例例1 求求.1dxxx 解解.12)1(323cxx 原式原式dxxx 111dxxx )1()1(2121)1()1()1(2121 xdxx例例2 求求.)1(13dxxx 解解 令令)0(6 ttx则则 dx )1(123tt dttt2216dtt )111(62.)arctan(666cxx 原式原式ctt )arctan(6dtt56dtt56 例例22 求求.)1(arctandxxxx 解解.)(1arctan22xdxx原.1arctan22duuuxu 令)(arctanarctan2uducu2arctancx2arctan例例3 求求.1122dxxx 解解

17、 令令txsin 则则 dx ttcossin12 tdt2csc.12cxx 原式原式ct cotx121x t)022( tt tdtcostdtcos 例例4 求求.412dxx 解解 令令txsec2 则则 dx ttan21 tdtseccxx 242ln2原式原式ctt tansecln42 xx2t.4ln2cxx tdtttansec2tdtttansec2 例例5 求求.9122dxxx 解解 令令txtan3 则则 dx ttsec3tan912 dttt2sincos91ct sin191原式原式td t sinsin912 29 x x3t.9912cxx tdt2sec3tdt2sec3 常见令法常见令法22xa taxsin 令令22xa taxtan 令令22ax taxsec 令令1.一般情况下让被开方式能开出来一般情况下让被开方式能开出来.2.特殊情况特殊情况: 第二类换元