第34节隐函数求导法高阶导数[1]

1、第三节一、隐函数求导法一、隐函数求导法隐函数求导法二、对数求导法二、对数求导法问题问题: 隐函数能否不经显化而直接求导隐函数能否不经显化而直接求导? ?一、隐函数的导数一、隐函数的导数隐函数的显式化隐函数的显式化解，022 yyx比较比较:22xaxy；yx, ,22xay显显化化后后解(1) 0e，yxyyy，xyyye.e1 0 xy方程两边关于方程两边关于x求导求导, ,得得 解得解得, 1, 0 yx时时当当这里这里,也可以做如下求解过程也可以做如下求解过程:,(1)1, 0 式式代入代入将将yx.e1 0 xy从而解得从而解得例3解，04292yyx，yxy94，62 pyk所以所求

2、切线方程为所以所求切线方程为: : ，)1(62324xy. 0923 yx即即二、对数求导法二、对数求导法观察函数观察函数.,e)4(1)1(sin23xxxyxxxy 方法方法: : 先在先在方程两边方程两边取对数取对数, 然后利用隐函数的求导方法然后利用隐函数的求导方法求出导数求出导数.这类函数的特点这类函数的特点: : 函数函数多积多商多积多商, ,或是幂指函数结构或是幂指函数结构. .( (对数求导法对数求导法) )例4解 142) 1( 3111e)4(1) 1(23xxxxxxyx等式两边取对数得等式两边取对数得xxxxy)4ln(2)1ln(31)1ln(ln求导得求导得上式两

3、边对上式两边对 x142)1(3111xxxyy.,e)4(1)1(23yxxxyx求求设设注例5解.dd,xyyxxy求求设设等式两边取对数得等式两边取对数得,lnlnyxxy方方程程两两边边关关于于x求求导导, ,得得 ,lnlnyyxyxyxy.lnln22xxxyyyxyy例6解)11ln(lnxxy，ln)1ln(xxx)111()11ln(xxxxyy，xx11)11ln(. )323(ln3 2/1xy第五节一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念高阶导数二、高阶导数的运算法则二、高阶导数的运算法则问题问题: :变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度.),(tfs 设路程函数为设路

4、程函数为)()(tftv 则瞬时速度为则瞬时速度为的变化率的变化率对时间对时间是速度是速度加速度加速度tva. )()()( tftvta例1解21ln21)1(11122 xxxy.ln1arctanyxxxy 求求，设设，21ln21112 xx.21)1(2 22xxxy 所所以以例例2 2解解设设)(xf二二阶阶可可导导, ,)(lnxfy , ,求求22ddxy. . ，xxfxy1)(lndd 222)(ln1)(lnddxxfxxxfxy .)(ln)(ln2xxfxf ).(, )()()()(2,afxgaxxfxg 求求且且连连续续设设解，)()()()(2)(2xgaxx

5、gaxxf 不一定存在，不一定存在，)(xg . )(af 故用定义求故用定义求)(af axafxfax )()(limaxxfax )(lim)()()(2limxgaxxgax . )(2ag 例30)( af连连续续)( xg 连连续续)( xg例4解(1) 0e，yxyyy方程两边关于方程两边关于x求导求导, ,得得 ，xyyye解得解得再对再对(1)(1)式两边关于式两边关于x求导求导, ,得得 02e)(e2， yxyyyyyxyyyyy e2e)(2解得解得xxyxyyyyyee2e)e (22.)(ee)e (232xyxyyyy注注.e直直接接求求导导也也可可对对xyyy求

6、求 n 阶导数阶导数例5.),1ln()(nyxy求求设设 解，xy 11，2)1(1xy ，3)1(! 2xy ，4)4()1(! 3xy ，.)1()!1()1(1)(nnnxny 例6)()1(nx1!)1( nnxn211xy )1111(21xx )1()1()1(12!11)( nnnnxxny例7.,sin)(nyxy求求设设解xycos)2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn类似可得类似可得思考:xxycossin2. 2)1(2sin21)( nxynn，x2sin归纳可证归纳可证莱布

7、尼兹莱布尼兹( (leibniz) )公式：公式： vuvuuv )(vuvuvuuv 2)(vuvuvuvuuv 33)(用归纳法可证以下莱布尼兹公式用归纳法可证以下莱布尼兹公式: : vucvucvucvunnnnnnn)2(2)1(1)(0)()()(nnnvuc 例8.,e)20(22yxyx求求设设 解0)()e ()()e ()e (2)18(22202)19(21202)20(2)20( xcxcxyxxx2e2! 219202e220e22182192220 xxxxx. )9520(e22220 xxx常用常用n阶导数公式阶导数公式:nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1