第一节不定积分的概念及其线性性质

1、例例 ),0(1ln xxx如如果果在在区区间间i内内，定义定义1：可可导导函函数数)(xf的的即即ix ，或或dxxfxdf)()( ，导导函函数数为为)(xf，第一节第一节 不定积分的概念及其性质不定积分的概念及其性质一、原函数和不定积分的概念一、原函数和不定积分的概念),0(1 )ln( xxx原函数存在定理：原函数存在定理：简言之：简言之：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.问题：问题：(1) 原函数是否唯一？原函数是否唯一？例例 xxcossin xcxcossin （ 为任意常数）为任意常数）c使使ix ，都有，都有)()(xfxf . .(2) 若不唯一它们之间有什么联系？

2、若不唯一它们之间有什么联系？关于原函数的说明：关于原函数的说明：（1）若）若f (x)是是 f (x)的一个原函数的一个原函数, 则对于任意常数则对于任意常数 c ，cxf )(都都是是)(xf的的原原函函数数.（2）若）若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，)(xf)(xg)(xf则则cxgxf )()(（ 为任意常数）为任意常数）c证证 )()()()(xgxfxgxf 0)()( xfxfcxgxf )()(（ 为任意常数）为任意常数）c任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数不定积分的定义：不定积分的定义：cxfdxxf )()(被积表达式被积表达式积分变量积分变量常数项的原函数

3、常数项的原函数不定积分不定积分，记为，记为 dxxf)(. .若若 是是 在区间在区间 i 内的一个原函数，则内的一个原函数，则)(xf)(xf例例1 1 求求.5dxx 解解,656xx .665cxdxx 解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 cxdxx例例3 3 设曲线通过点（设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解解设曲线方程为设曲线方程为),(xfy 根据题意知根据题意知,2xdxdy ,22 cxxdx,)(2cxxf 由曲线通

4、过点（由曲线通过点（1，2）, 1 c所求曲线方程为所求曲线方程为. 12 xy函函数数)(xf的的原原函函数数的的图图形形称称为为)(xf的的积积分分曲曲线线.显然，求不定积分得到一积分曲线族显然，求不定积分得到一积分曲线族.由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知 ),()(xfdxxfdxd ,)()(dxxfdxxfd ,)()( cxfdxxf.)()( cxfxdf结论：结论： 微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是的的.实例实例 xx 11.11cxdxx 启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互

5、逆的，既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式因此可以根据求导公式得出积分公式.)1( 二、二、 基本积分表基本积分表基基本本积积分分表表(1)(1) kckxkdx()1(是常数是常数););1(1)2(1 cxdxx说明：说明： , 0 x,ln cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( cxxdx,|ln)3( cxxdx dxx211)4(;arctancx dxx211)5(;arcsincx xdxcos)6(;sincx xdxsin)7(;coscx xdx2cos)8( xdx2sec;tancx xdx2sin)9( xdx2cs

6、c;cotcx xdxxtansec)10(;seccx xdxxcotcsc)11(;csccx dxex)12(;cex dxax)13(;lncaax xdxsinh)14(;coshcx xdxcosh)15(;sinhcx 例例4 4 求积分求积分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25cx 125125.7227cx 根据积分公式（根据积分公式（2）cxdxx 11 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf证证( )( )f x dxg x dx ( )( )f x dxg x dx ).()(xgxf 等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此

7、性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、三、 不定积分的性质不定积分的性质 dxxkf)()2(.)( dxxfk（k是是常常数数，)0 k例例5 5 求积分求积分解解.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 c .d)5(e2xxx 解解: 原式原式 xxxd25e)2( e)2ln(e)2(x 2ln25x cxx 2ln512lne2c 例例6. 求求.dtan2xx解解: 原式原式 =xxd) 1(sec2xxxddsec2cxx tan例例8. 求求.d)1 (122xxxxx解解: 原式原式 =xxxxx

8、d)1 ()1 (22xxd112xxd1xarctancx ln例例7. 求求例例9 9 求积分求积分解解.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1cxx .d124xxx解解: 原式原式 =xxxd11) 1(24xxxxd11) 1)(1(222221dd) 1(xxxxcxxxarctan313例例10. 求求例例1111 求积分求积分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21cx 说明：说明： 以上几例中的被积函数都需要进行以上几例中的被

9、积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表恒等变形，才能使用基本积分表.解解,sinsec2xxdxdy dxxxy sinsec2,costancxx , 5)0( y, 6 c所求曲线方程为所求曲线方程为. 6costan xxy1. 不定积分的概念不定积分的概念 原函数与不定积分的定义原函数与不定积分的定义 不定积分的性质不定积分的性质 基本积分表基本积分表 2. 直接积分法直接积分法:利用利用恒等变形恒等变形, 及及 基本积分公式基本积分公式进行积分进行积分 .常用恒等变形方法常用恒等变形方法分项积分分项积分加项减项加项减项利用三角公式利用三角公式 , 代数公式代数公式 ,积分性质积

10、分性质内容小结内容小结1. 证明证明 arcsin(21),arccos(12 )2arctan1xxxx 和和21.xx 都都是是的的原原函函数数2. 若若e( ),xf x 是是的的原原函函数数 则则 d)(ln2xxfx提示提示:xe)(e)(xxfxlne)(ln xfx1cx 221思考与练习思考与练习)(xf是是xe的原函数的原函数 , 则则xxxfd)(ln提示提示: 已知已知xxfe)(0e)(cxfx01)(lncxxfxcxxxf021)(lncxcxln103. 若若)(xf;sin1)(xa;sin1)(xb的导函数为的导函数为,sin x则则)(xf的一个原函数的一个

11、原函数是是 ( ) .;cos1)(xc.cos1)(xd提示提示: : 已知已知xxfsin)(求求即即b)()(xfxsin)( ?或由题意或由题意,cos)(1cxxf其原函数为其原函数为xxfd)(21sincxcx4. 若若.cossind)2(;)1 (d) 1 (2222xxxxxx提示提示:)1 (1)1 (1) 1 (2222xxxxxxxx2222cossincossin1)2(xx22cscsecxx22cossin22111xx)(2x2x5. 求下列积分求下列积分:2(ee1)dxxx 解：解：.d1e1e3xxx3e1de1xxx 2(e1)(ee1)de1xxxx

12、x 21ee2xxxc6. 求不定积分求不定积分22221d1d1xxbxxaxxx求求 a , b .解解: 等式两边对等式两边对 x 求导求导, 得得221xx22211xxaxa21xb2212)(xxaba120aba2121ba7. 已知已知一、一、 填空题：填空题：1 1、 一个已知的函数，有一个已知的函数，有_个原函数，其中任意个原函数，其中任意两个的差是一个两个的差是一个_；2 2、 )(xf的的_称为称为)(xf的不定积分；的不定积分；3 3、 把把)(xf的一个原函数的一个原函数)(xf的图形叫做函数的图形叫做函数)(xf的的_，它的方程是，它的方程是)(xfy ，这样不定

13、积，这样不定积 dxxf)(在几何上就表示在几何上就表示_，它的方程是，它的方程是 cxfy )(；4 4、 由由)()(xfxf 可 知 ， 在 积 分 曲 线 族可 知 ， 在 积 分 曲 线 族cxfy )( )(是任意常数是任意常数c上横坐标相同的点上横坐标相同的点处作切线，这些切线彼此是处作切线，这些切线彼此是_的；的；5 5、 若若)(xf在某区间上在某区间上_，则在该区间上，则在该区间上)(xf的的 原函数一定存在；原函数一定存在；练习题练习题6 6、 dxxx_ _；7 7、 xxdx2_；8 8、 dxxx)23(2_；9 9、 dxxx)1)(1(3_；1010、 dxxx

14、2)1(=_=_ ._ .二、二、 求下列不定积分：求下列不定积分：1 1、 dxxx221 2 2、 dxxxx325323 3、 dxx2cos2 4 4、 dxxxx22sincos2cos5 5、 dxxxx)11(26 6、 xdxxxx2222sec1sin 三、一曲线通过点三、一曲线通过点)3,(2e，且在任一点处的切线的斜，且在任一点处的切线的斜 率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程 . .四、证明函数四、证明函数xxexexeexxxxsinhcoshcoshsinh,212 都是都是和和的原函数的原函数 . .一、一、1 1、无穷多、无穷多, ,常数；常数； 2 2、全体原函数；、全体原函数； 3 3、积分曲线、积分曲线, ,积分曲线族；积分曲线族； 4 4、平行；、平行； 5 5、连续；、