ch2极限与连续

1、第二章第二章 极限与连续极限与连续 2.1 2.1 数列的极限数列的极限 2.2 2.2 函数的极限函数的极限 2.3 2.3 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量 2.4 2.4 极限的性质与运算法则极限的性质与运算法则 2.5 2.5 极限存在性定理与两个重要极限极限存在性定理与两个重要极限 2.6 2.6 函数的连续性函数的连续性 2.1 数列的极限数列的极限例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n:2n:21n.u.u,u,u,unnn21项项称为数列的通项或一般称为数列的通项或一般其中其中记作记作称为数列称为数列排列排列无穷多个数按下列顺序无穷多个数按下列

2、顺序定义定义;,)1( , 1 , 1, 11n :)1(1n ;,n)1(n,34,21, 21n :n)1(n1n :n1;,n1,31,21, 1数列是整标函数数列是整标函数nn),n( fun .nn)1(11n时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 . 1n)1(1u,n1nn无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当 问题问题: : “无限接近无限接近”意味着什么意味着什么? ?如何用数学语言刻划如何用数学语言刻划它它. . 1unn1n1)1(1n 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察: :,1001给定给定,1001n1 由由,100n时时只要只要 ,10011

3、un 有有,10001给定给定,1000n时时只要只要 ,100011un 有有,1000011un 有有,100001给定给定,10000n时时只要只要 , 0 给定给定,)1(nn时时只要只要 .1un成立成立有有 如果数列没有极限如果数列没有极限, ,就说数列是发散的就说数列是发散的. .注意：注意：;auau. 1nn的无限接近的无限接近与与刻划了刻划了不等式不等式 .n. 2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 x1u2u1nu 3u几何解释几何解释:2nu 2 a aa.)n(,)a,a(u,nnn落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个内内都落在都落在所有的点

4、所有的点时时当当 :n定义定义 其中其中;:每每一一个个或或任任给给的的 .:至少有一个或存在至少有一个或存在 .au,nn, 0n, 0aulimnnn 恒有恒有时时使使例例1 1. 1n)1(nlim1nn 证明证明证证1un 1n)1(n1n n1 , 0 任给任给,1un 要要,n1 只要只要,1n 或或所以所以, ,1n 取取,nn时时则当则当 1n)1(n1n就有就有. 1n)1(nlim1nn 即即例例2 2.culim),c(cunnn 证明证明为常数为常数设设证证cun cc ,成立成立 ,0 任给任给所以所以, ,0 ,n对于一切自然数对于一切自然数.culimnn 说明说

5、明: :常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数. .例例3 3. 1q, 0qlimnn 其中其中证明证明证证, 0 任给任给,q0unn ,lnqlnn ,qlnlnn 取取,nn时时则当则当 ,0qn 就有就有. 0qlimnn , 0q 若若; 00limqlimnnn 则则, 1q0 若若,qlnlnn 2.2 函数的极限函数的极限一、自变量趋向有限值时函数的极限一、自变量趋向有限值时函数的极限时函数的极限时函数的极限二、二、 x一、自变量趋向有限值时函数的极限一、自变量趋向有限值时函数的极限.1x( 1x1x)x( f时的变化趋势时的变化趋势）记作记作无限趋近于无限趋近于当

6、当观察函数观察函数 1x)x( f xy012.1x1x1x)x( f2时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 1x1x)x( f2 xy012;a)x( fa)x( f任任意意小小表表示示 .xxxx000的过程的过程表示表示 ,x0邻域邻域的去心的去心点点.xx0程度程度接近接近体现体现问问题题: :如如何何刻刻画画函函数数)x( fy 在在0 xx 的的过过程程中中,)x( f无无限限趋趋近近于于确确定定值值 a. .xxxx00 时时，约约定定：x0 x 0 x 0 x定义定义 .a)x( f,xx0, 0, 00 恒有恒有时时使当使当几何解释几何解释:)(xfy aaa0 x0

7、 x0 xxyo注意：注意：;x)x(f. 10是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与. 2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 例例1. 21x1xlim21x 证明证明证证21x1xa)x( f2 0 任任给给, 只只要要取取,xx00时时当当 函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.1x ,2)x( f 要使要使 21x1x2就有就有. 21x1xlim21x 单侧极限单侧极限: 0 x, 1x0 x, x1)x( f2设设两种情况分别讨论两种情况分别讨论和和分分0 x0 x ,xx0从左侧无限趋近从左侧无限趋近;xx0 记作记作,xx0从右侧无限趋近从右侧无限

8、趋近 0 xx记作记作yox1xy 112 xy左极限左极限.a)x( f,xxx, 0, 000 恒有恒有时时使当使当右极限右极限.a)x( f,xxx, 0, 000 恒有恒有时时使当使当.a)0 x( fa)x( flim0 xx0 或或记作记作.a)0 x( fa)x( flim0 xx0 或或记作记作.a)0 x( f)0 x( fa)x( flim:00 xx0 定理定理.xxlim0 x不存在不存在验证验证yx11 oxxlimxxlim0 x0 x左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)x( flim0 x不存在不存在例例2 2证证11)(lim0 xxxlimxxlim

9、0 x0 x11lim0 x.x(|x|xxsin时的变化趋势时的变化趋势）记作记作无限增大无限增大当当观察函数观察函数 时函数的极限时函数的极限二、二、 x它是偶函数，图形关于它是偶函数，图形关于y轴对称轴对称.1;a)x( fa)x( f任意小任意小表示表示 .xxx的过程的过程表示表示 . 0 xxsin)x( f ,|x|无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问问题题: :如如何何刻刻画画函函数数)x( fy 在在 x的的过过程程中中,)x( f无无限限趋趋近近于于确确定定值值 a. 定义定义x .a)x( f,xx, 0x, 0

10、恒恒有有时时使使当当 a)x( flimxxxysin 几何解释几何解释: x x.2,ay)x( fy,xxxx的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线直线直线图形完全落在以图形完全落在以函数函数时时或或当当 axxysin 例例3. 0 xxsinlimx 证明证明证证xxsin0 xxsin x1, 0 ,1x 取取时恒有时恒有则当则当xx ,0 xxsin . 0 xxsinlimx 故故:x情形情形.a)x( f,xx, 0x, 0 恒有恒有时时使当使当a)x( flimx :x情形情形a)x( flimx .a)x( f,xx, 0x, 0 恒有恒有时时使当使当 a)x(

11、flim:x定理定理.a)x( flima)x( flimxx 且且xarctan)x( f 如如2xarctanlimx 2xarctanlimx 不存在不存在xarctanlimx 过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 n x x xnnn xx xx xx )x( fun、 a)x( f0 xx 0 xx0 0 xx 0 xx 0 xx00 xx0 过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 )x( f a)x( fx aun.x(|x|xxsin时的变化趋势时的变化趋势）记作记作无限增大无限增大当当观察函数观察函数 2.3 2.3 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量四、无穷

12、大量四、无穷大量一、无穷小量的概念一、无穷小量的概念二、无穷小量的性质二、无穷小量的性质三、无穷小量的比较三、无穷小量的比较定义定义: : 极限为零的变量称为无穷小量极限为零的变量称为无穷小量. .一、无穷小量的概念一、无穷小量的概念例如例如, , 0 xlim20 x .0 xx2时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数, 0 x1limx .xx1时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数 , 0n)1(limnn .nn)1(n时的无穷小时的无穷小是当是当数列数列 , 0elimxx .xex时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数 注意：注意： （1 1）定义中所称极限，包括数列极限和函数极限的各）

13、定义中所称极限，包括数列极限和函数极限的各种情形；种情形；（4 4）零是可以作为无穷小的唯一的数）零是可以作为无穷小的唯一的数. .（2 2）无穷小需指明相应的变化过程。如）无穷小需指明相应的变化过程。如（3 3）无穷小是变量）无穷小是变量, ,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆; ;,x1,x是无穷小是无穷小函数函数时时 .x1,1x不是无穷小不是无穷小函数函数时时但但 无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:证证 必要性必要性,a)x( flim0 xx 设设,a)x( f)x( 令令，即即则有则有0)x(lim,| )x(|0 xx ).x(a)x( f 充分性充分性),x(a)

14、x( f 设设,xx)x(0时的无穷小时的无穷小是当是当其中其中 | )x(|a)x( f |则则 定理定理 其中其中 是当是当 时的无穷小时的无穷小. ),x(a)x( fa)x( flim0 xx )x(0 xx 此定理对函数极限的其它变化过程仍成立。此定理对函数极限的其它变化过程仍成立。时，有时，有当当 |xx|0, 0, 00 |a)x( f |时，有时，有当当 |xx|0, 0, 00 | )x(|。即即a)x( flim0 xx .)(11)(1a) 11(1111lim1111是无穷小时，当，其中例：nnnunnnnnn以上定理表明以上定理表明：“f(x)以a为极限” “f(x)

15、与a之差f(x)-a为无穷小”该定理在今后的讨论证明中常会用到二、无穷小的性质二、无穷小的性质:性质性质1 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小有限个无穷小的代数和仍是无穷小.证证时的两个无穷小时的两个无穷小是当是当及及设设 x使得使得, 0x, 0x, 021 ;2xx1 时恒有时恒有当当;2xx2 时恒有时恒有当当,x,xmaxx21 取取恒有恒有时时当当,xx 22 )x(0 性质性质2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小之积仍是无穷小有限个无穷小之积仍是无穷小.恒恒有有时时则则当当,xx00 .,xx0为无穷小为无穷小时时当当 时的两个无穷小时的两个无穷小是当是

16、当及及设设0 xx 使得使得, 0, 0, 021 ;xx010 时恒有时恒有当当,min21 取取证证;xx020 时恒有时恒有当当性质性质3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证,u为为有有界界函函数数设设函函数数.mu, 0m 使得使得则则,xx0时的无穷小时的无穷小是当是当又设又设.mxx0, 0, 00 恒有恒有时时使得当使得当恒恒有有时时则则当当,xx00 uumm , .u,xx0为无穷小为无穷小时时当当 x1arctanx,x1sinx,0 x,2时时当当例如例如都是无穷小。都是无穷小。,xxsin,x时时当当 是无穷小。是无穷小。性质性质4 无穷

17、小除以极限存在且不为零的函数仍是无穷小无穷小除以极限存在且不为零的函数仍是无穷小.证证. 0aulim, 0lim00 xxxx 设设.2aau,xx0, 0),2a(202 恒有恒有时时使得当使得当取取对上述对上述恒恒有有时时则则当当,xx00 .u,xx0为无穷小为无穷小时时当当不妨假设不妨假设a0.2a,xx0, 0, 0101 恒有恒有时时使得当使得当对对.2a3u2a 即有即有,min21 取取 2a2au三、无穷小的比较三、无穷小的比较x3xlim20 xxx2lim0 x1xxxlim20 x .xx, x2 ,x, x0 x22都是无穷小都是无穷小时时当当 极限不同极限不同,

18、,反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不同程度不同. ., 0 , 2 同一变化过程中的无穷小趋于零的速度各不相同。同一变化过程中的无穷小趋于零的速度各不相同。,0lim)1(高阶的无穷小高阶的无穷小是比是比，就说，就说如果如果 定义定义: :. 0, 且且穷小穷小是同一过程中的两个无是同一过程中的两个无设设., 0clim)2(是同阶的无穷小是同阶的无穷小与与就说就说如果如果 ;, 1lim记作记作是等价的无穷小是等价的无穷小与与则称则称如果如果特殊地，特殊地， 是是或说或说.低阶的无穷小低阶的无穷小比比，0 x3xlim20 x ，2xx2lim0 x ;x3x0 x2高阶的无

19、穷小高阶的无穷小是比是比时，时，当当是同阶无穷小是同阶无穷小与与时，时，当当xx20 x 例如，例如，, 1xxxlim20 x . xxxxxx0 x22 ，即，即是等价无穷小是等价无穷小与与时，时，当当四、无穷大量四、无穷大量定义定义 在自变量的某一变化过程中，若函数在自变量的某一变化过程中，若函数f(x)的绝对值的绝对值无限增大，则称无限增大，则称f(x)为无穷大量为无穷大量,记作记作 )x( f)x( flim或或若在自变量的某一变化过程中，函数若在自变量的某一变化过程中，函数f(x) (-f(x)无限增大，无限增大，则称则称f(x)为正为正(负负)无穷大量无穷大量,记作记作 )x(

20、flim)x( flim例如例如 x11lim,xlim,x1lim1x2x0 x注意：注意：（1）无穷大量的定义对数列也适用）无穷大量的定义对数列也适用;.)x( flim4认为极限存在认为极限存在）切勿将）切勿将（ （3）无穷大量是变量）无穷大量是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;（2 2）无穷大量需指明相应的变化过程。如）无穷大量需指明相应的变化过程。如,x1,0 x是无穷大量是无穷大量函数函数时时.x1,1x不是无穷大量不是无穷大量函数函数时时但但 无穷小量与无穷大量的关系无穷小量与无穷大量的关系 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大量的倒数为无穷小量无穷大量的倒数为无穷小量

21、; ;恒不为零恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大量的无穷小量的倒数为无穷大量. .即即. 0)x( f1lim)x( flim ，则，则若若.)x( f1lim, 0)x( f0)x( flim 则则，且，且若若 2.4 2.4 极限的性质与运算法则极限的性质与运算法则一、极限的性质一、极限的性质二、极限的四则运算法则二、极限的四则运算法则一、极限的性质一、极限的性质性质性质1(唯一性唯一性) 若极限若极限limf(x)存在，则极限值唯一。存在，则极限值唯一。.ba,b)x( flim,a)x( flim00 xxxx 设设证证时，有时，有当当则则取取101|xx|0, 0,2ab .2ba)x

22、( f,2ab|a)x( f | 即有即有时，有时，有当当202|xx|0, 0 .2ba)x( f,2ab|b)x( f | 即有即有 时，时，当当取取 |xx|0, 0,min021.2ba)x( f2ba)x( f 且且矛盾。故极限值唯一。矛盾。故极限值唯一。性质性质2(局部有界性局部有界性) 若极限若极限l i m f(x)存在，则存在，则f(x)在在x0的某空的某空心领域内有界。心领域内有界。0 xx 时，有时，有当当则则取取 |xx|0, 0, 101|a)x( f | a)x( flim0 xx 设设证证. 1a)x( f1a 即有即有.)x( fx0有界有界的空心领域内，函数的

23、空心领域内，函数则在则在体会体会局部局部的含义，例如的含义，例如f(x)= 1/x在在0.001处局部有界处局部有界性质性质3(局部保号性局部保号性) 若极限若极限l i m f(x)=a,a0(或或a0(或或f(x)0)。0 xx 时，有时，有当当则则取取 |xx|0, 0,2a02a|a)x( f | . 0a)x( flim0 xx 设设证证. 02aa)x( f 即有即有同理可证同理可证a1/n2，但是，但是n时，二者极限相等时，二者极限相等二、极限的四则运算法则二、极限的四则运算法则定理定理. 0b,ba)x(g)x( flim)3(;ba)x(g)x( flim)2(;ba)x(g

24、)x( flim)1(,b)x(glim,a)x( flim 其中其中则则设设证证.b)x(glim,a)x( flim . 0, 0.b)x(g,a)x( f 其中其中由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得)ba()x(g)x( f . 0.)1( 成立成立)ba()x(g)x( f ab)b)(a( )ba(. 0.)2(成立成立ba)x(g)x( f baba )b(bab . 0ab . 0b)b(b2 0)b(bab .)3(成立成立推论推论1 1).x( flimc)x(cflim,c,)x( flim 则则为常数为常数而而存在存在如果如果常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提

25、到极限记号外面.)x( flim)x( flim,n,)x( flimnn 则则是正整数是正整数而而存在存在如果如果推论推论2 2)x(falim)x(falim)x(falim)x(fa)x(fa)x(falim),n, 2 , 1i (a,)x(flimnn2211nn2211ii 则则为常数为常数而而存在存在如果如果推论推论3 3)x(flim)x(flim)x(flim)x(f)x(f )x(flim),n, 2 , 1i ()x(flimn21n21i 则则存在存在如果如果推论推论4 4.)x( flim)x( flim,n,)x( flimnn 则则是正整数是正整数而而存在且不为零

26、存在且不为零如果如果推论推论5 5例例1 1.5x3x1xlim232x 求求解解)5x3x(lim22x 5limx3limxlim2x2x22x 5limxlim3)xlim(2x2x22x 52322 , 03 5x3x1xlim232x )5x3x(lim1limxlim22x2x32x .37 3123 解解)3x2x(lim21x , 0 商的法则不能用商的法则不能用)1x4(lim1x 又又, 03 1x43x2xlim21x . 030 由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例2 2.3x2x1x4lim21x 求求.3x2x1x4lim21x 解解例例3 3.3

27、x2x1xlim221x 求求.,1x分母的极限都是零分母的极限都是零分子分子时时.1x后再求极限后再求极限因子因子先约去不为零的无穷小先约去不为零的无穷小 )1x)(3x()1x)(1x(lim3x2x1xlim1x221x 3x1xlim1x .21 例例4 4.2xx22xlim2x 求求解解 x22x2xx22xx22xlim2x 原式原式 x22x2xx22xlim2x x22x1lim2x x2lim2xlim12x2x 41 例例5 5.1x4x75x3x2lim2323x 求求解解.,x分分母母的的极极限限都都是是无无穷穷大大分分子子时时 .,x3再求极限再求极限分出无穷小分出

28、无穷小去除分子分母去除分子分母先用先用33x2323xx1x47x5x32lim1x4x75x3x2lim .72 .4323230 x4x7x3x2xlim要看清自变量变化趋势要看清自变量变化趋势例例6 6.6xx41xx2lim2324x 求求解解0 x1x42x6x1x4lim1xx26xx4lim4242x2423x 6xx41xx2lim2324x小结小结: :为非负整数时有为非负整数时有和和当当nm, 0b, 0a00 ,mn,mn, 0,mn,babxbxbaxaxalim00n1n1n0m1m1m0 x当当当当当当21102n1005nnlim323n注意推广到数列情形注意推广

29、到数列情形例例7 7).nnn2n1(lim222n 求求解解是无限多个无穷小之和是无限多个无穷小之和时时,n 2n222nnn21lim)nnn2n1(lim 2nn)1n(n21lim )n11(21limn .21 先变形再求极限先变形再求极限.极限为极限为0对吗对吗?.)(lim)(lim)()()(lim)(lim).()()()(0000000aufxfxxuxuxaufxfyxuufyuuxxxxuu则有，且，若构成复合函数与设替换定理复合函数的极限，变量定理：1limsinlim1sin2uxuxux例如：.)(lim)(lim)(lim)0()(lim)()(lim)(bxg

30、xgaxfxfbxgaaxf则有，设幂指函数的极限推论：baabxfxgxfxgxfxgxfxgaeeeeeexfbxglnln)(lnlim)(lim)(ln)(lim)(ln)()(ln)(limlim)(lim)(证明：21sin23)13(limnnn例如：)cos(sin21lim32xxxxxx例：)1 () 1 () 1 (0ooo正确解答：原极限0)cos(sinlim21lim32xxxxxxx错误！错误！2.5 2.5 极限存在性定理与两个重要极限极限存在性定理与两个重要极限一、极限存在准则一、极限存在准则二、两个重要极限二、两个重要极限一、极限存在准则一、极限存在准则1.

31、夹逼定理夹逼定理准则准则 如果数列如果数列nny,x及及nz满足下列条件满足下列条件: : , azlim, aylim)2()3 , 2 , 1n(zxy)1(nnnnnnn 那末数列那末数列nx的极限存在的极限存在, , 且且axlimnn . . 证证, az, aynn使得使得, 0n, 0n, 021 ,aynnn1 时时恒恒有有当当,n,nmaxn21 取取恒有恒有时时当当,nn ,ayan 即即,aznnn2 时恒有时恒有当当,azan 上两式同时成立上两式同时成立,azxyannn ,axn成立成立即即 . axlimnn 如果当如果当)x(ux00 ( (或或mx ) )时时

32、, ,有有 ,a)x(hlim,a)x(glim)2(),x(h)x( f)x(g)1()x(xx)x(xx00 那末那末)x( flim)x(xx0 存在存在, , 且等于且等于a. . 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限。上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限。例例1 1).nn12n11n1(lim222n 求求解解,1nnnn11n1nnn2222 n111limnnnlimn2n 又又, 1 2n2nn111lim1nnlim , 1 由夹逼定理得由夹逼定理得. 1)nn12n11n1(lim222n x1x2x3x1nx nx2.单调有界准则单调有界准则满足条件满足条件

33、如果数列如果数列nx,xxxx1nn21 单调增加单调增加,xxxx1nn21 单调减少单调减少单调数列单调数列几何解释几何解释:a m), 2 , 1n(m|x|n 有界数列有界数列准则准则 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限. . 例例2 2.)n(333xn的极限存在的极限存在重根式重根式证明数列证明数列 证证,xxn1n 显然显然 ;xn是是单单调调递递增增的的, 33x1 又又, 3xk 假定假定k1kx3x 33 , 3 ;xn是有界的是有界的.xlimnn存在存在 ,x3xn1n ,x3xn21n ),x3(limxlimnn21nn ,a3a2 2131a,2131a 解

34、得解得( (舍去舍去) ).2131xlimnn ac二、两个重要极限二、两个重要极限(1)1xxsinlim0 x )2x0(, xaob,o 圆心角圆心角设单位圆设单位圆,acxtan,abx,bdxsin 弧弧于是有于是有xobd.aco ，得，得作单位圆的切线作单位圆的切线,xoab的圆心角为的圆心角为扇形扇形,bdoab的高为的高为 xxxsssoacoaboabtan2121sin21即：扇形, xtanxxsin , 1xxsinxcos 即即.0 x2也成立也成立上式对于上式对于 ,2x0时时当当 xcos10 2xsin22 2)2x(2 ,2x2 0)xcos1(lim0

35、xsinlim0 x0 x , 1xcoslim0 x , 11lim0 x 又又. 1xxsinlim0 x |x|sinx0有)2x(0准备用夹逼定理注：注：xsinx，(x0)例例3 3.xxtanlim0 x求求解解xxcosxsinlim0 x 原式原式例例4 4.x5sinx2sinlim0 x求求解解x5x2x5x5sinx2x2sinlim0 x 原式原式.52 1xcos1xxsinlim0 x 注：注：xtanx，(x0)例例5 5.xxcos1lim20 x 求求解解220 xx2xsin2lim 原式原式220 x)2x(2xsinlim21 20 x)2x2xsin(

36、lim21 .21 注：注：1-cosxx2/2，(x0)2xxcos1 , xxtan, xxsin0 x2 时，时，则则，若在变化过程中，若在变化过程中，,lim,0 limlimlimlimlimlim例例6 6.x3sinxxsinxtanlim20 x 求求解解xcos1x3sinx)xcos1(xsinlim20 x 原原式式x3sinx)xcos1(xsinlim20 x 2xxcos1 , x3x3sin, xxsin0 x2 时，时， 323x3x3sinx,2xxcos1xsin 61x32xlim330 x 原原式式! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !0sinl

37、im20不适用于加减乘除，等价量替换求极限用于原极限xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx1sin1lim1sin1lim1sinlim1sinlimsinlimsinlimsinlimsinlim0000100 不存在010 不存在(2)(2)e)x11(limxx nn)n11(x 设设 2n1! 2)1n(nn1! 1n1).n1n1()n21)(n11(!n1)n11(! 2111 nn1!n)1nn()1n(n ).1nn1()2n21)(1n11()!1n(1)1n1n1()2n21)(1n11(!n1)1n11(! 2111x1n 类似地类似地,xxn1n 显

38、然显然 ;xn是是单单调调递递增增的的!n1! 2111xn 1n212111 1n213 , 3 ;xn是是有有界界的的.xlimnn存在存在 e)n11(limnn 记为记为)71828. 2e ( ,1x时时当当 , 1xxx 有有,)x11()x11()x11()1x11()1x11(1xxxxx )x11(lim)x11(lim)x11(limxxx1xx 而而, e 1x1xxxx)1x11(lim)1x11(lim)1x11(lim , e . e)x11(limxx 准备用夹逼定理准备用夹逼定理, xt 令令ttxx)t11(lim)x11(lim tt)1t11(lim )1

39、t11()1t11(lim1tt . e e)x11(limxx ,x1t 令令ttx10 x)t11(lim)x1(lim . e e)x1(limx10 x e)x1(1limxxe)x1(limx10 x e)n1(1limnn型都是1例例7 7.)x11(limxx 求求解解1xx)x11(lim 1xx)x11(lim 原式原式.e1 例例8 8.)x2x3(limx2x 求求解解422xx)2x11()2x11(lim 原式原式.e2 2.2xx21limx2x.2xx21.xx2xxe)x21(1lim)x21(1lim)x2x3(limx)(2另解用乘除凑解用乘除凑解题更简单题

40、更简单 例例9 设一笔本金设一笔本金a0存入银行存入银行,年复利率为年复利率为r,在下列情况下在下列情况下,分别分别计算计算t年后的本利和：年后的本利和： a)一年结算一次；一年结算一次； b)一年分一年分n期计息期计息,每期利率按每期利率按r/n 计算；计算； c)银行连续不断地向顾客付利息银行连续不断地向顾客付利息,此种计息方式称为连续复利此种计息方式称为连续复利. 解解 a) 一年结算一次时一年结算一次时,一年后的本利和为一年后的本利和为a1=a0+ a0r=a0(1+r),第二年后的本利和为第二年后的本利和为a2= a1(1+r)= a0(1+r)2,依此递推关系依此递推关系, t年后

41、的年后的本利和为本利和为at= a0(1+r)t. 类似于连续复利问题的数学模型类似于连续复利问题的数学模型,在研究人口增长、林木生长、在研究人口增长、林木生长、设备折旧等问题时都会遇到设备折旧等问题时都会遇到,具有重要的实际意义具有重要的实际意义. b) 一年结算一年结算n次次, t年共结算年共结算nt次次, 每期利率为每期利率为 ,则则t年后的本利年后的本利和为和为 t= a0(1+ )nt.nranr c)计算连续复利时计算连续复利时, t年后的本利和年后的本利和 t 为为b)中结果中结果 t在在 时的时的极限极限aa nnt0ntnt)nr1(alimalima rt0rtrnn0ea

42、)nr1(lima 2.6 2.6 函数的连续性函数的连续性一、变量的改变量一、变量的改变量二、连续函数的概念二、连续函数的概念三、函数的间断点三、函数的间断点四、连续函数的性质四、连续函数的性质五、闭区间上连续函数的性质五、闭区间上连续函数的性质一、变量的改变量一、变量的改变量.uuu).(uuuuuuuu01010110 记作记作或增量或增量的改变量的改变量变量变量称为称为之差之差与初值与初值终值终值，变到终值变到终值从初值从初值变量变量.)x( f)x( f)xx( f)x( f)x( fy000的的改改变变量量称称为为函函数数相相应应地地， .xx,xxx),x(ux,)x(u)x(

43、f0000的改变量的改变量在点在点称为自变量称为自变量内有定义内有定义在在设函数设函数 20202000002xxx2x)xx()x( f)xx( fy,xxxx,x)x( f1 函函数数的的改改变变量量为为时时变变化化到到从从当当自自变变量量设设例例时时变化到变化到，即自变量从，即自变量从当当2 . 222 . 0 x, 2x0 84. 02 . 02 . 022y2 时时变化到变化到，即自变量从，即自变量从当当8 . 122 . 0 x, 2x0 76. 0)2 . 0()2 . 0(22y2 二、连续函数的概念二、连续函数的概念 定义定义1 1 设函数设函数 在点在点 的某领域内有定义的

44、某领域内有定义, ,如果当自变量如果当自变量的改变量的改变量 趋向于零时趋向于零时, ,对应的函数的改变量对应的函数的改变量 也趋向于零也趋向于零, ,即即 则称函数则称函数 在点在点 处连续处连续, ,称称 为为 的连续点的连续点. .x y ylim0 x 0)x( f)xx( f lim000 x )x( f0 x0 x)x( f0 x)x( fxy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy 例例2 2.),(xsiny内任一点连续内任一点连续在区间在区间函数函数证明证明 证证),(x0 任取任取00 xsin)xxsin(y )2xxcos(2xsi

45、n20 , 1)2xxcos(0 ,x2xsin2y 故故. 0y,0 x 时时当当.),(xxsiny0都是连续的都是连续的对任意对任意函数函数即即 .),(xcosy内任一点连续内任一点连续在区间在区间函数函数同理，同理， 定义定义2 2 设函数设函数)x( f在点在点0 x的某领域内有定义的某领域内有定义, ,如果函数如果函数)x( f在点在点0 x处满足处满足 )x( f)x( flim0 xx0 则称函数则称函数)x( f在点在点0 x连续连续. . ,xx0 x, xxx00 时，时，令令 ),x( f)x( f)x( f)xx( fy000 0)x( f)x( f limylim

46、0 xx0 x0 )x( f)x( flim0 xx0 例例3 3.0 x, 0 x, 0, 0 x,x1sinx)x( f处连续处连续在在试证函数试证函数 证证, 0 x1sinxlim0 x , 0)0( f 又又.0 x)x( f处连续处连续在在则函数则函数 ),0( f)x( flim0 x ;x)x( f)x( f)x( flim),x( f)0 x( f,x, a()x( f00 xx0000处左连续处左连续在点在点则称则称即即且且内有定义内有定义在在若函数若函数 .x)x( fx)x( f00处既左连续又右连续处既左连续又右连续在在是函数是函数处连续处连续在在函数函数.x)x(

47、f)x( f)x( flim),x( f)0 x( f,)b,x)x( f00 xx0000处右连续处右连续在点在点则称则称即即且且内有定义内有定义在在若函数若函数 例例4 4.0 x, 0 x, 2x, 0 x, 2x)x( f处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 解解)2x(lim)x( flim0 x0 x 2 )2x(lim)x( flim0 x0 x 2 .0 x)x( f处不连续处不连续在点在点故函数故函数 不存在。不存在。)x( flim0 x 如果函数在开区间如果函数在开区间( (a,b)a,b)内每一点都连续内每一点都连续, ,则称函则称函数在在开区间数在在开区间( (a

48、,b)a,b)内连续内连续. .b, a)x( f,bx,ax,)b, a(上连续上连续在闭区间在闭区间则称函数则称函数处左连续处左连续在右端点在右端点右连续右连续处处并且在左端点并且在左端点内连续内连续如果函数在开区间如果函数在开区间 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. .:x)x( f0条条件件处处连连续续必必须须满满足足的的三三个个在在点点函函数数;x)x( f)1(0处处有有定定义义在在点点;)x( flim)2(0 xx存在存在).x( f)x( flim)3(0 xx0 .)x( fx,0的间断点的间断点为为则称点则称点要有一个不满足要有

49、一个不满足如果上述三个条件中只如果上述三个条件中只三、函数的间断点三、函数的间断点.)x( fx),0 x( f)0 x( f,x)x( f0000的跳跃间断点的跳跃间断点为函数为函数则称点则称点但但右极限都存在右极限都存在处左处左在点在点如果如果 . .处处的的左左、右右极极限限都都存存在在x x在在点点是是函函数数的的间间断断点点且且函函数数若若x x0 00 0.第二类间断点第二类间断点除此以外的间断点称为除此以外的间断点称为.)f(xx0的的第第一一类类间间断断点点为为称称.)x( fxx)x( f),x( fa)x( flim,x)x( f000 xx00的可去间断点的可去间断点为函

50、数为函数处无定义则称点处无定义则称点在点在点或或但但处的极限存在处的极限存在在点在点如果如果 跃间断点。跃间断点。又分为可去间断点和跳又分为可去间断点和跳第一类间断点第一类间断点.非无穷型第二类间断点非无穷型第二类间断点又分为无穷型间断点和又分为无穷型间断点和第二类间断点第二类间断点.xx)x( f00穷型间断点穷型间断点为无为无，则称，则称一个为一个为处的左右极限中至少有处的左右极限中至少有在点在点如果如果 .间断点间断点点称为非无穷型第二类点称为非无穷型第二类除此以外的第二类间断除此以外的第二类间断 , 1x, x11x, 1x0, 1,x2)x( foxy112xy 1xy2 . .为函

51、数的可去间断点为函数的可去间断点1x 注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, , 则可使其变为连续点则可使其变为连续点. .例例4中，中，x=0示跳跃间断点。示跳跃间断点。., 0 x, x, 0 x,x1)x( f oxy, 0)00( f ,)00( f .1x间间断断点点为为函函数数的的第第二二类类无无穷穷型型 x1sin)x( f xy1sin .0 x点点为第二类非无穷型间断为第二类非无穷型间断 .断点断点这种情况称为的振荡间这种情况称为的振荡间.x)0)x(g()x(g)x( f),x(g)x( f),x(g)x( f,x)x(g),x( f000处也连续处也连续在点在点则则处连续处连续在点在点若函数若函数 例如例如,),(xcos, xsin内连续内连续在在.xcsc, xsec, xcot, xtan在其定义域内连续在其定义域内连续故故四、连续函数的性质四、连续函数的性质1.连续函数的四则运算连续函数的四则运算).x(lim f)u( f)x( flim,u)x(lim,u)u( f000 xx0 xx0 xx0 则有则有若若连续连续在点在