ch31微分中值定理

1、 3 31 1 微分中值定理微分中值定理 3 32 2 函数单调性与曲线的凹凸性函数单调性与曲线的凹凸性3 33 3 函数的极值与最值函数的极值与最值 3 34 4 函数图形的描绘函数图形的描绘3 35 5 洛必达法则洛必达法则3 36 6 泰勒（泰勒（taylor)taylor)公式公式第一节第一节 微分中值定理微分中值定理0 洛尔定理洛尔定理0 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理0 柯西中值定理柯西中值定理; 0)()(, cxcfxfcx有有时时当当费马定理费马定理 设函数设函数 f (x)在在a , b上有定义，并且在点上有定义，并且在点c (a , b)取到最值，取到最值， f (x)

2、在点在点c可导，则可导，则 f (c)=0。; 0)()(lim)( cxcfxfcfcx由由极极限限的的保保号号性性 证明：不失一般性。设证明：不失一般性。设 f (x)在点在点 x = c = c 取到最大值，取到最大值，则则 f (x) f(c)(c)，x (a,b)(a,b)。; 0)()(, cxcfxfcx有有时时当当; 0)()(lim)( cxcfxfcfcx从而从而 f (c)=0。一、罗尔一、罗尔(rolle)定理定理罗尔罗尔（r rolleolle）定理）定理 如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间 ,ba上连续上连续, ,在开区间在开区间),(ba内可导内可导, ,且

3、在区间端点的函数且在区间端点的函数值相等，即值相等，即)()(bfaf , ,那末在那末在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba , ,使得函数使得函数)(xf在该点的导数等于零，在该点的导数等于零， 即即0)( f)1()2()3(例如例如,32)(2 xxxf).1)(3( xx,3 , 1上连续上连续在在 ,)3 , 1(上可导上可导在在 , 0)3()1( ff且且,)3 , 1(1(, 1 取取. 0)( f),1(2)( xxf几何解释几何解释: :ab1 2 xyo)(xfy .,水平的水平的在该点处的切线是在该点处的切线是点点上至少有一上至少有一在曲线弧在曲线弧cabc证证

4、.)1(mm 若若,)(连续连续在在baxf.mm 和最小值和最小值必有最大值必有最大值.)(mxf 则则. 0)( xf由此得由此得),(ba . 0)( f都有都有.)2(mm 若若),()(bfaf .取取得得最最值值不不可可能能同同时时在在端端点点),(afm 设设.)(),(mfba 使使内内至至少少存存在在一一点点则则在在. 0)(: f由由费费马马定定理理知知罗尔定理的三个条件，缺一不可罗尔定理的三个条件，缺一不可.),)0(f)(2(不存在不存在不满足条件不满足条件 ,)2 , 2(内内找找不不到到一一点点在在 例如例如,2 , 2, xxy.2 , 2,132 xxy及及.

5、0)0(,1 , 0(,1 fxxy又例又例,注注: :. 0) x(f 使使罗尔定理结论均不成立罗尔定理结论均不成立.1 , 0 x, xy 不满足条件不满足条件(3), 不满足条件不满足条件(1);. 0)0(,1 , 0(,1 fxxy.1 , 0 x, xy 不满足条件不满足条件(3), 不满足条件不满足条件(1);. 0)0(,1 , 0(,1 fxxy例例1验证洛尔定理对函数验证洛尔定理对函数 f (x)=sinx在在0, 上的正确性。上的正确性。解：解： f (x)在在0, 上连续，在上连续，在(0, )上可导，上可导， 且且 f(0) = f( ) 由洛尔定理知：由洛尔定理知：

6、 在在(0, )内至少有一点内至少有一点 ，使，使 f ( )=0， 即即: cos =0, 故故 = /2。例例2 2.10155的的正正实实根根有有且且仅仅有有一一个个小小于于证证明明方方程程 xx证证, 15)(5 xxxf设设, 1 , 0)(连续连续在在则则xf. 3)1(, 1)0( ff且且由零点定理由零点定理. 0)(),1 , 0(00 xfx使使即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.,),1 , 0(011xxx 设另有设另有. 0)(1 xf使使,)(10件件之间满足罗尔定理的条之间满足罗尔定理的条在在xxxf使得使得之间之间在在至少存在一个至少存在一个),(1

7、0 xx . 0)( f)1(5)(4 xxf但但)1 , 0( , 0 x矛盾矛盾,.只只有有唯唯一一实实根根至至少少有有一一个个根根。内内，在在求求证证例例)10(0234323 cbacxbxaxcbacxbxaxxf 234)(23分析：分析：),()0(cbaf cbacbacbaf 23234)1(cbacxbxaxxf 234)(23设设证证明明：xcbacxbxaxxf)()(234 , 0)1()0(10)(,1 , 0)( ffxfcxf）内可导，）内可导，在（在（, 0)(),10( froll使使，定理，定理，据据. 0234:23 cbacba即即有有几几个个实实根根

8、。判判断断设设例例0)()3)(2)(1()(4 xfxxxxxf0)3()2()1()0( ffff证证; 0)()10(10)(11 frxf使使，定定理理的的条条件件，则则上上满满足足，在在; 0)()21(21 )(22 frxf使使，定定理理条条件件，则则上上满满足足，在在, 0)()32(32)(33 frxf使使，定理条件，则定理条件，则上满足上满足，在在个个实实根根。至至少少有有即即30)( xf有有三三个个零零点点。多多是是三三次次多多项项式式，所所以以至至又又)(xf 个实根。个实根。有有30)( xf二、拉格朗日二、拉格朗日(lagrange)中值定理中值定理拉格朗日拉格

9、朗日（lagrangelagrange）中值定理）中值定理 如果函数如果函数 f(x)在在闭区间闭区间,ba上连续上连续, ,在开区间在开区间),(ba内可导内可导, ,那末在那末在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba ，使等式，使等式 )()()(abfafbf 成立成立. .)1()2().()(:bfaf 去掉了去掉了与罗尔定理相比条件中与罗尔定理相比条件中注意注意).()()( fabafbf结论亦可写成结论亦可写成作辅助函数作辅助函数).()()()()()(axabafbfafxfxf ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件xf. 0)(,),( fba使得使得内至少存在

10、一点内至少存在一点则在则在0)()()( abafbff即即).)()()(abfafbf 或或拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式证法二证法二)()()()(abxfxafbfxf 设设证证f(x)在闭区间在闭区间 a,b 上连续上连续, ,在开区间在开区间( (a,b) )内可导内可导, , )()()()()()(abfbafabbfbafbfbf )()()()()()(abfbafabafaafbfaf ),()(bfaf 有有 由由r-定理知定理知:, 0)(),( fba使使).)()()(abfafbf 即即注意注意: :拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精确地表达了函

11、数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,),()(内可导内可导在在在在设设baxf).10()()()(000 xxxfxfxxf则有则有),(,00baxxx ).10()(0 xxxfy也可写成也可写成.的精确表达式的精确表达式增量增量 y 拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理.微分中值定理微分中值定理拉格朗日中值公式的拉格朗日中值公式的有限增量公式有限增量公式形式：形式：证明：设证明：设x1,x2是是(a, b)内任意两点，由内任意两点，由拉格朗日拉格朗日定理有定理有0)()()(1212 xxf

12、xfxf( 在在x1,x2之间之间) )()(12xfxf 由由x1, x2的任意性知的任意性知: f (x)=常数常数, x(a, b) . 定理得证定理得证设设 如果对任意的如果对任意的x(a, b)都有都有f (x)=0, 则则 f (x)在在(a, b)内恒为一常数内恒为一常数 .)(,)(上是一个常数上是一个常数在区间在区间那末那末上的导数恒为零上的导数恒为零在区间在区间如果函数如果函数ixfixf推论推论0)(f 例例5 5).11(2arccosarcsin xxx证证明明证证 1 , 1x, xarccosxarcsin)x( f 设设)x11(x11)x(f22 . 0 )1

13、 , 1(x,c)x( f 0arccos0arcsin)0( f 20 ,2 .2c 即即2)1(f2)1(f ).1x1(2xarccosxarcsin 例例6 6.)1ln(1,0 xxxxx 时时证明当证明当证证),1ln()(xxf 设设, 0)(上满足拉氏定理的条件上满足拉氏定理的条件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即例例7 7xee,1x:x 时时当当证证明明三、柯西三、柯西(cauchy)中值定理中值定理柯西柯西（

14、cauchycauchy）中值定理）中值定理 如果函数如果函数)(xf及及)(xf在闭区间在闭区间,ba上连续上连续, ,在开区间在开区间),(ba内可导内可导, ,且且)(xf在在),(ba内每一点处均不为零，那末在内每一点处均不为零，那末在),(ba内至少内至少有一点有一点)(ba , ,使等式使等式 )()()()()()( ffbfafbfaf成立成立. .几何解释几何解释:)(1 f)(2 fxoy )()(xfyxfx)(afa)(bfbcd)(xfnm.),(),(abffcab弦弦该点处的切线平行于该点处的切线平行于在在一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧 证证1作辅助函数

15、作辅助函数).()()()()()()()()(afxfafbfafbfafxfx ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件x . 0)(,),( 使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在ba, 0)()()()()()( fafbfafbff即即.)()()()()()( ffafbfafbf,)(xxf 当当, 1)(,)()( xfabafbf)()()()()()( ffafbfafbf).()()( fabafbf特别特别证证2柯西定理的几何意义柯西定理的几何意义:( )( )( )( )( )( )f bf afg bg ag ( ):( ) , xg xcyf xxa b

16、d( )d( )yftxf t 注意注意: :xyo弦的斜率弦的斜率切线斜率切线斜率( )g a( )g ( )g b( )f a( )f b( ( ),( ),.abc gfab在曲线弧上至少有在曲线弧上至少有一点在一点在该点处的切线平行于该点处的切线平行于弦弦maxd曲线上到弦曲线上到弦abab的距离的距离最远点处的切线平行最远点处的切线平行于于abab ab弦的方程：弦的方程：( ( )( )( )( ( )( )( )0f bf axg ag bg ayf a曲线上点曲线上点m(g(x),f (x)到到ab弦的距离为弦的距离为22( )( )( ( )( )( ( )( )( )( )

17、( )( )( )( ( )( )f bf ag xg ag bg af xf ad xf bf ag bg a 柯西定理证明分析( )0,( , ),( )( )gxxagbbag 曲线上到弦曲线上到弦ab的距离的距离最远点处的切线平行于最远点处的切线平行于ab xyo( )( )xg xyf x ( ( ),( )a g af a( ( ),( )b g bf b( )d xm柯西定理证明作辅助函数作辅助函数2( )( )h xux ( )( ( )( )( ( )( )( ( )( )( ( )( )u xf bf ag xg ag bg af xf a( ) , ,( ) ,( , )

18、,h xc a bh xxa b ( )( )0h ah b(1)( )0( )0h xh x对任意对任意x 有有 ( )( ) ( ) ( )( ) ( )0f bf a gxg bg afx； , (2) ( )0( , )( )max ( )0 xa bh xa bhh x 当，当，由费马引理知，由费马引理知， ( )0h ，( )2 ( ) ( )0huu 即即，( )0u 即即 ( )( ) ( ) ( )( ) ( )0f bf a gg bg af 即即( )( )( )( )( )( )f bf afg bg ag 即即( , )a b 例例8 8)(g)b(g)a(f)(f)

19、(g)(f),b, a(: 使使在在柯柯西西定定理理的的条条件件下下证证明明例例9 9).0( f)1( f 2)(f),1 , 0(:,)1 , 0(,1 , 0)x( f 使使至至少少存存在在一一点点证证明明内内可可导导在在上上连连续续在在设设函函数数证一证一结论可变形为结论可变形为 2)(01)0()1(fff.)()(2 xxxf,)(2xxg 设设,1 , 0)(),(条条件件上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在则则xgxf有有内内至至少少存存在在一一点点在在,)1 ,0( ,2)()0()1()0()1( fggff).0()1(2)(fff 即即证二证二例例10 设设f(

20、x)在在a, b上可微，且上可微，且ab0，求证：，求证：)( )()()(1 ffabfbafba (ab)证明证明 令令,)()(xxfx xxg1)( a, b同号，故同号，故x=0不在不在(a, b)内内; (x),g(x)在在(a, b)内可微。内可微。,)()()(2xxfxfxx 21)(xxg 由柯西中值定理由柯西中值定理),( )()()(1 ffabfbafba即即).,(ba )()()()()()( gagbgab例例1111).10()(f,)1 , 0(:.2121f , 0)1( f)0( f,)1 , 0(,1 , 0)x( f 使使存存在在一一点点内内至至少少

21、在在求求证证且且内内可可导导在在上上连连续续在在设设函函数数四、小结四、小结rolle定理定理lagrange中值定理中值定理cauchy中值定理中值定理xxf )()()(bfaf 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；之间的关系；注意定理成立的条件；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.造造技技巧巧：注注：常常见见的的一一些些函函数数构构 )()(),(1ffba 使使）证）证（xxfxf)()( 0)()(),(2 ffba使使）证）证（)()(xfexfx 0)()()(xfexfexfxx若若0)()( xfxf0)()(),(3 ffba使使）证）证（)()(xfexfx 0)()()()()()()()(),(4 fggfgfgfba即即使使）证）证（)()()()()(xgxfxgxfxf )()()()()()()()()(xgxfxgxfxgxfxgxfxf z 思考思考证明证明bbabaaba ln解答解答2o 对对f(x)在在b, a上用拉格朗日公式上用拉格朗日公式 ,即即),(1lnlnbaba .111,baab )(1lnln)(1babbabaa 证明证明 1o 由