隐函数的求导公式

1、2021-11-141第五节 隐函数的求导公式 第九章第九章 (derivation of implicit function)一、一个方程的情形一、一个方程的情形二、方程组的情形二、方程组的情形三、小结与思考练习三、小结与思考练习2021-11-142本节讨论本节讨论 :1) 方程在方程在什么条件什么条件下才能确定隐函数下才能确定隐函数 .例如, 方程02cyx当 c 0 时, 不能确定隐函数;2) 在方程能确定隐函数时在方程能确定隐函数时, 研究其研究其连续性、可微性连续性、可微性 及及求导方法求导方法问题问题 .2021-11-143一、一个方程的情形定理定理1 1 设函数),(00yx

2、p),(yxf;0),(00yxf则方程00),(xyxf在点单值连续函数 y = f (x) , )(00 xfy 并有连续yxffxydd(隐函数求导公式隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下： 具有连续的偏导数;的某邻域某邻域内内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足0),(00yxfy满足条件导数2021-11-1440)(,(xfxf两边对 x 求导0ddxyyfxfyxffxydd0yf,0),()(所确定的隐函数为方程设yxfxfy在),(00yx的某邻域内则2021-11-145sin1xyexy在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数, )(xfy 0dd,0dd

3、22xxyxxy并求例例1 验证方程解解: 令, 1sin),(yxeyyxfx,0)0 , 0(f, yefxx连续 ,由 定理1 可知,1)0 , 0(yf0, )(xfy 导的隐函数 则xyfy cos在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可且2021-11-1460ddxxy0 xffyx 1xy cosyex0, 0yx0dd22xxy)cos(ddxyyexx2)cos( xy 3100yyx)(yex)(cosxy )(yex) 1sin(yy1, 0, 0yyx2021-11-1470 xy30dd22xxy)(, 01sinxyyyxeyxyycos两边对 x 求导1两边再对

4、 x 求导yyyy cos)(sin2令 x = 0 , 注意此时1,0yy0 yxyyexxey0 yx)0 , 0(cosxyyex 利用隐函数求导导数的另一求法导数的另一求法2021-11-148若函数 ),(000zyxp),(zyxfzyzxffyzffxz,的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数 ,则方程0),(zyxf在点),(00yx并有连续偏导数, ),(000yxfz 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:满足0),(000zyxf0),(000zyxfz 在点满足:某一邻域内可唯一确定理定理22021-11-1490),(,

5、(yxfyxf两边对 x 求偏导xfzxffxzzyffyz同样可得,0),(),(所确定的隐函数是方程设yxfyxfz则zfxz00),(000zfzyx的某邻域内在2021-11-1410,04222zzyx解法解法1 利用隐函数求导0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)( 2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求再对 x 求导例2 设设2021-11-1411设zzyxzyxf4),(222则,2xfxzxffxz两边对 x 求偏导)2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx242 zfz解法2 利用公式

6、2021-11-1412二、方程组的情形隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.0),(0),(vuyxgvuyxf),(),(yxvvyxuu由 f, g 的偏导数组成的行列式vuvuggffvugfj),(),(称为f, g 的雅可比雅可比( jacobi )行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即2021-11-1413,0),(0000vuyxf的某一邻域内具有连续偏设函数),(0000vuyxp),(, ),(vuyxgvuyxf则方程组0),(,0),(vuyxgvuyxf),(00yx在点的单值连续函数单值连续函数),(, ),(yxvvyxuu且有偏导数公式: 在点的

7、某一邻域内可唯一唯一确定一组满足条件满足:0),(),(pvugfpj;0),(0000vuyxg导数；, ),(000yxuu ),(000yxvv 定理定理3 32021-11-1414),(),(1vxgfjxu),(),(1vygfjyu),(),(1xugfjxv),(),(1yugfjyv定理证明略.仅推导偏导数公式如下：vvvuvugfggff1vvvuvugfggff1uuvuvugfggff1uuvuvugfggff1xxgfyygfxxgfyygf2021-11-14150),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxgyxvyxuyxf0),(0),(vuyxgvuy

8、xf有隐函数组则两边对 x 求导得,),(),(yxvvyxuuxuxvxuxvxfufvf0 xgugvg0设方程组二元线性代二元线性代数方程组解数方程组解的公式的公式,的线性方程组这是关于xvxu,0vuvuggffj在点p 的某邻域内故得系数行列式2021-11-1416同样可得),(),(1vygfjyu),(),(1vxgfjxu),(),(1xugfjxv),(),(1yugfjyv2021-11-1417分析：分析：此题可以直接用课本中的公式（公式（6）求解， 但也可按照推导公式（6）的方法来求解. 下面用后一种方法求解.2021-11-14181,222 .uvxxuvuvxx

9、x 11221122xvuxvxvuuv11221122uxvuxxvuuv2021-11-1419解：解：cossin1,sincos0.xxxxrrrr 2021-11-1420内容小结1. 隐函数隐函数( 组组) 存在定理存在定理2. 隐函数隐函数 ( 组组) 求导方法求导方法方法方法1. 利用复合函数求导法则直接计算利用复合函数求导法则直接计算 ;方法方法2. 代公式代公式思考与练习1. 设设, ),(zyxzyxfz求求.,yxzxxz2021-11-1421zx ),(zyxzyxfzxz1f xz 12f xzyxzyxz21fzyf211fyxf 11f 1zx2f yxzxz

10、y 211fyxf21fzyfyx 01f 1yx2f zxyxzy 21fzxf21fzyf解法1:2021-11-1422),(zyxzyxfz,yxzd1f zyxddd2f zyxyzxxzyddd:dx解出 d x21fzyfzfyxfd121yfzxfd21.zx由d y, d z 的系数即可得解法解法2： 利用全微分形式不变性同时求出各偏导数利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.2021-11-1423)()(xzzxyy及,2 yxeyx.ddxu求分别由下列两式确定 :又函数),(zyxfu 有连续的一阶偏导数 ,2. 设解解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得321)s

11、in()(1ddfzxzxefxyfxuxuzyxx x0)()(yxyyxyeyxxezxzx )sin()1 (z,xyy)sin()(1zxzxezx,dsin0tttezxx(2001考研考研)解得因此2021-11-1424 zxfyfy0zfz fx)1 (y)(, )(xzzxyy是由方程)(yxfxz和0),(zyxf所确定的函数 , 求.ddxz解法解法1 分别在各方程两端对 x 求导, 得f fxfzyfx xzyfzfyf)0( zyffxfzyxyffxfffxffxf )(xzdd 1 zyfffxxyfffxffx(99考研考研)3. 设设2021-11-14250),(),(zyxfyxfxz对各方程两边分别求微分:化简得消去yd.ddxzyf d20d3zfyfxd 0d z)d(dddyxfxxfz 0ddd321zfyfxfxfxfd)(xf d1可得解法解法2 微分法微分法.2021-11-1426雅可比(1804 1851)德国数学家. 他在数学方面最主要的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独地奠定了椭圆函数论的基础. 他对行列式理论也作了奠基性的工作. 在偏微分方程的研究中引进了“雅