直线的倾斜角和斜率PPT精选文档

1、 问题情境问题情境直线直线最简单的几何图形最简单的几何图形飞逝的流星沿不同飞逝的流星沿不同的方向运动的方向运动在空中形成美丽的直线在空中形成美丽的直线问题情境问题情境确定直线的要素确定直线的要素问题问题1：(1) _确定一条直线确定一条直线.两点两点(2) (2) 过一个点有过一个点有_条直线条直线. .无数条无数条 确定直线位置的要素除了确定直线位置的要素除了点点之外之外,还有还有直线的直线的方向方向,也就是直线的也就是直线的倾斜程度倾斜程度.xyoyxo问题问题1：如何确定一条直线在直角坐标：如何确定一条直线在直角坐标 系的位置呢？系的位置呢？ 两点或一点和方向两点或一点和方向问题问题2：

2、如果已知一点还需附加什么条件，：如果已知一点还需附加什么条件，才能确定直线？才能确定直线？ 一点和方向一点和方向问题问题3：如何表示方向？：如何表示方向？ 用角用角一、直线的倾斜角1、直线倾斜角的定义： 当直线 l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角倾斜角x0y.6例例1.1.下列四图中，表示直线的倾斜角的是下列四图中，表示直线的倾斜角的是( )练习巩固倾斜角的概念练习巩固倾斜角的概念： ayxoAyxoaBayxoCyxaoDA xyol1l2l3想一想想一想1l2l3l例例2.看看这三条直线，它们倾斜角的大小看看这三条直线，它们倾斜角的大

3、小关系是什么？设关系是什么？设分别为分别为 、 、？123123poyxlypoxlpoyxlpoyxl规定：当直线和规定：当直线和x轴平行或重合时，轴平行或重合时， 它的倾斜角为它的倾斜角为02 2、直线的倾斜角范围的探索直线的倾斜角范围的探索由此我们得到直线倾斜角由此我们得到直线倾斜角的范围为：的范围为：)180,0oo 想一想想一想你认为下列说法对吗？你认为下列说法对吗？1 1、所有的直线都有唯一确定的倾斜角与它对应。、所有的直线都有唯一确定的倾斜角与它对应。2 2、每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。、每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。对对错错 把角的顶点固定在原点了把角的顶点固定在

4、原点了,但是离开了原点但是离开了原点,还有许还有许许多多的直线许多多的直线,都与过原点的那条直线平行都与过原点的那条直线平行,倾斜角也相倾斜角也相同的同的.3、直线倾斜角的意义直线倾斜角的意义 体现了直线对轴正方向的倾斜程度 在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角。 倾斜角倾斜程度 2l3lx1lyo倾斜角相同能确定倾斜角相同能确定一条直线吗？一条直线吗？ 相同倾斜角可作无数互相平行的直线问题情境问题情境楼梯的倾斜程度用楼梯的倾斜程度用坡度坡度来刻画来刻画1.2m3m3m2m坡度坡度=高度高度宽度宽度坡度越大，楼梯越陡坡度越大，楼梯越陡级宽高级建构数学建构数学直线倾斜程度的刻画直线

5、倾斜程度的刻画高度高度宽度宽度直线直线xyoPQM直线的倾斜程度直线的倾斜程度=类比思想类比思想3 3、探究：由两点确定的直线的斜率探究：由两点确定的直线的斜率),(111yxP),(222yxP212112,yyxxQPP且如图，当为锐角时， 能不能构造一个能不能构造一个直角三角形去求？直角三角形去求？tankxyo1x2x1y2y),(12yxQ中在QPPRt12QPQPQPPk1212tantan1212xxyy0锐角锐角 xyo),(111yxP),(222yxP),(12yxQ如图，当为钝角是， 2121,180yyxx且tan)180tan(tan中在12QPPRtQPQP12ta

6、n2112xxyy12122112tanxxyyxxyyk02x1x1y2y钝角 xyo(3),(21yxQ),(111yxP),(222yxPyox(4),(21yxQ),(111yxP),(222yxP21pp1、当 的位置对调时， 值又如何呢？ k当直线平行于当直线平行于y 轴，或与轴，或与y 轴重合时，上述斜率公式还适用轴重合时，上述斜率公式还适用吗？为什么？吗？为什么？已知直线上两点已知直线上两点 ，运用上述公式计算，运用上述公式计算直线直线 斜率时，斜率时， 与与 两点坐标的顺序有关吗？两点坐标的顺序有关吗？),(),(222111yxPyxPAB),(),(222111yxPyx

7、P21, PP),(),(222111yxPyxP数学应用数学应用例例1 1：如图，直线如图，直线 都经过点都经过点 ，又，又 分分别经过点别经过点 ,讨论讨论斜率的是否存在斜率的是否存在,如存在如存在,求出直线的斜率求出直线的斜率.4321,llll) 3 , 2(P4321,llll)5 , 2(),3 , 5(),1 , 4(),1, 2(4321QQQQ4321,llllxyol1l2l3l4解解: 直线直线l1的斜率的斜率k1=k2=k3=122311243102533直线直线l4的斜率不存在的斜率不存在直线直线l2的斜率的斜率直线直线l3的斜率的斜率PQ1Q2Q3Q4直线斜率的计算

8、直线斜率的计算K K1 1=1=1K K2 2=-1=-1K K3 3=0=0斜率不存在斜率不存在纵坐标的纵坐标的增量增量xyo11( ,)P x y22( ,)Q x y21yy21xx已知两点已知两点 P(x1，y1)， Q(x2，y2)，如果如果 x1x2，则直线则直线 PQ的的斜率斜率 为：为：1212xxyyk 建构数学直线斜率的定义直线斜率的定义xyyx横坐标的横坐标的增量增量请同学们任意给出两点的坐标请同学们任意给出两点的坐标,并求过这两点的直线的斜率并求过这两点的直线的斜率.形形数数 2 3 2o 2-yx2 2、直线的斜率、直线的斜率定义：定义：直线倾斜角的正切叫做这条直线的

9、斜率。斜率直线倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。斜率通常用通常用k表示，即：表示，即：tank),2()2, 0a0,),2,2(,),20,);k ;k斜率 不存在(,0).k 倾斜角倾斜角不是不是9090的直线都有斜率，并且倾斜角不同，直线的斜率也的直线都有斜率，并且倾斜角不同，直线的斜率也不同因此，可以用斜率表示直线的倾斜程度不同因此，可以用斜率表示直线的倾斜程度问题问题3： 对于一条与对于一条与x x轴不垂直的定直线轴不垂直的定直线而言而言, ,直线的斜率是定值吗直线的斜率是定值吗? ? 是定值是定值,定直线上任意两点确定的定直线上任意两点确定的斜率总相等斜率总相等从上可以看出直线的倾斜

10、角与斜率之间的关系从上可以看出直线的倾斜角与斜率之间的关系: 直线直线形状形状平行于平行于 x 轴轴第一象限第一象限垂直垂直于于x轴轴第二象限第二象限 的的大小大小 的的范围范围 的的增减性增减性 kk 0900 9018090k=0 无无k0递增递增不存在不存在无无k0k0、k0k2时，时，k0当当 m2时，时， k0 xpyO（1）.kk3k13.3.直线的倾斜角为直线的倾斜角为，则直线的斜率，则直线的斜率为为tantan？4.4.任意直线有倾斜角，则任意直线都任意直线有倾斜角，则任意直线都有斜率？有斜率？数学应用数学应用如果直线如果直线l上一点上一点P P沿沿x轴方向向右平移轴方向向右平

11、移2 2个单个单位位, ,再沿再沿y轴方向向上平移轴方向向上平移4 4个单位后仍在直个单位后仍在直线线l上上, ,那么该直线的斜率为多少那么该直线的斜率为多少? ?问题问题6：斜率为斜率为2问题问题7：直线直线l的斜率为的斜率为2,2,将将l向左平移向左平移1 1个单位得到个单位得到直线直线l1, ,则则l1的斜率为多少的斜率为多少? ?斜率为斜率为2问题问题8：平行直线的斜率之间有怎样的关系平行直线的斜率之间有怎样的关系? ?斜率相等斜率相等或斜率都不存在或斜率都不存在 斜率为斜率为2的直线，经过点的直线，经过点(3,5),(a,7),(3,5),(a,7),(-1(-1，b)b)三点，则三

12、点，则a,ba,b的值为的值为( )( ) 已知三点已知三点A(-3,-3),B(-1,1),C(2,7)A(-3,-3),B(-1,1),C(2,7),求求K KABAB，K KBCBC问题问题9： 如果如果K KABAB=K=KBC,BC,那么那么A A、B B、C C三点有怎样的关系？三点有怎样的关系？判断下列三点是否在同一直线上判断下列三点是否在同一直线上 (1) A(0,2), B(2,5), C(3,7) (2) A(-1,4), B(2,1), C(-2,5) 求过点求过点M(0,2)M(0,2)和和N(2,3mN(2,3m2 2+12m+13)(m+12m+13)(mR)R)的

13、直线的直线l的斜率的斜率k的取值范围。的取值范围。问题问题10： 直线斜率的大小与直线的倾斜程度有直线斜率的大小与直线的倾斜程度有什么联系？什么联系？(课后研究课后研究)解解:022)13123(2 mmk21 2111232 mm21)2(32 m21)2(232 m由斜率公式得直线由斜率公式得直线l 的斜率的斜率21 kk的的取取值值范范围围为为3.平面解析几何的本质是平面解析几何的本质是 用代数方法用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。合的重要数学思想。两个概念两个概念直线的斜率、倾斜角；直线的斜率、倾斜角；2.两个问题两个问题- （

14、1）已知直线上两点如何求斜率；）已知直线上两点如何求斜率；（2）已知一点和斜率如何画出直线。）已知一点和斜率如何画出直线。难点展示难点展示：例题一：直线例题一：直线 l 过点过点M(-1,1)M(-1,1)且与以且与以P(-P(-2,2)Q(3,3)2,2)Q(3,3)为两端点的线段为两端点的线段PQPQ有公共点有公共点, 求直线求直线 l 的斜率的取值范围。的斜率的取值范围。例例2。已知直线的斜率。已知直线的斜率K的变化范围为（的变化范围为（ 1，1， 求直线的倾斜角求直线的倾斜角 的取值范围。的取值范围。分析：分析：因为直线的斜率正负不同，直线的倾斜角范围也因为直线的斜率正负不同，直线的倾

15、斜角范围也不同，因此，应分斜率为负值和非负值两种情况不同，因此，应分斜率为负值和非负值两种情况讨论。讨论。当当K （ 1，0）时）时,),43( 当当K 0，1 时，时，4,0 解：解： 直线斜率直线斜率K的变化范围（的变化范围（ 1，1=（ 1，0） 0，1，所以直线的倾斜角范围为所以直线的倾斜角范围为),43(4,0 _11)4(_10)3(_135,45)2(_60,451.3的的取取值值范范围围时时，则则倾倾斜斜角角，的的取取值值范范围围时时，则则倾倾斜斜角角，的的取取值值范范围围时时，则则斜斜率率的的取取值值范范围围时时，则则斜斜率率）（，斜斜率率为为的的倾倾斜斜角角为为已已知知直直

16、线线 kkkkkl)3, 1), 1 ) 1,( 45,0 )180,13545,0 直线 的倾斜角 =30，直线 ， 求 , 的斜率。11l12ll 1l2l解： 的斜率为 的倾斜角为 的斜率为0002120309033tan11k1l2l2l3tan22koxy2l21l1练习练习),5|(|,5cosaa满足已知直线的倾斜角.求该直线的斜率解解:;,90, 0cos,0) 1 (0不存在时当ka), 0, 5|,0)2(aa时当,525251sin22aa.25cossintan2aak;0,在时所求直线的斜率不存当所以a.2502aaa时所求直线的斜率为当推导二推导二:yolx1P2P

17、P的方向如图设向量21PP),(,121221yyxxPP则向上,21PPOP 过原点作向量),(1212yyxxP的坐标为则点,tan1212xxyyk由正切函数的定义得.12的结果的方向向上时推得同样当向量PP),(.12122121yyxxPPPP为直线的方向向量及与它平行的向量都称直线上的向量练习：已知直线已知直线l的一个方向向量的一个方向向量解：解：2323k)3,2(v，求直线的斜率。，求直线的斜率。则直线的斜率为则直线的斜率为 :23k 例例1 如图如图 ，已知，已知 ，求直线，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝

18、角是钝角),2 , 3(A),1 , 4( B)1, 0( C解：直线解：直线AB的斜率的斜率;713421 ABk;2142)4(011 BCk直线直线BC的斜率的斜率直线直线CA的斜率的斜率; 1333021 CAk 由由 及及 知，直线知，直线AB 与与CA的倾斜角均为锐的倾斜角均为锐角；由角；由 知，直线知，直线BC的倾斜角为钝角的倾斜角为钝角0 ABk0 CAk0 BCk求经过已知两点的直线的斜率和倾斜角：求经过已知两点的直线的斜率和倾斜角：方法：先用经过两点的直线的斜率公式求斜率，方法：先用经过两点的直线的斜率公式求斜率， 再求倾斜角。再求倾斜角。0 ABk0 BCk 由由 及及

19、知，直线知，直线AB 与与CA的倾斜角均为锐的倾斜角均为锐角；由角；由 知，直线知，直线BC的倾斜角为钝角的倾斜角为钝角0 CAk0 ABk0 BCk0 CAk0 ABk0 BCk0 CAk0 ABk 由由 及及 知，直线知，直线AB 与与CA的倾斜角均为锐的倾斜角均为锐角；由角；由 知，直线知，直线BC的倾斜角为钝角的倾斜角为钝角0 BCk0 CAk0 ABk0 BCk0 CAk0 ABk0 BCk0 CAk0 ABk例例2的和求经过两点)(2,()1 ,2(21RmmPP.,的取值范围的倾斜角并求出的斜率直线ll解解:.2,2)1 (21xxm时当;2倾斜角,因此直线的斜率不存在轴垂直于直线xl,21,2)2