绝对值不等式的证明及练习

1、精品资料欢迎下载绝对值不等式的证明知识与技能：1. 理解绝对值的三角不等式，2应用绝对值的三角不等式过程方法与能力：培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；提高分析问题、解决问题的能力.情感态度与价值观：让学生通过对具体事例的观察、 归纳中找出规律， 得出结论， 培养学生解决应用问题的能力和严谨的学习态度。教学重点： 理解绝对值的三角不等式应用绝对值的三角不等式教学难点： 应用绝对值的三角不等式教学过程：一、引入 ：证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：（ 1） a b a b（ 2）（ 3） a b a b（ 4）ab a

2、baa (b0)bb请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？实际上，性质 a baa (b 0)a b 和可以从正负数和零的乘法、除法法则直bb接推出； 而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此， 只要能够证明ab a b对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。现在请同学们讨论一个问题：设a 为实数， a 和 a 哪个大？显然 aa ，当且仅当 a 0时等号成立（即在 a0 时，等号成立。在 a0时，等号不成立）。同样， aa. 当且仅当 a0时，等号成立。精品资料欢迎下载含有绝对值的不等式的证明中，常常利用定理（绝对值三角形不等式）aa 、

3、aa 及绝对值的和的性质。如果 a, b 是实数，则ab ab ab注：当 a、 b 为复数或向量时结论也成立.特别注意等号成立的条件.定理推广：a1a2an a1a2an .当且仅当都 a1， a2， ， an 非正或都非负时取等号.探究： 利用不等式的图形解不等式1.x1x11;2 x2 y1.3利用绝对值的几何意义，解决问题：要使不等式x4x3 < a 有解， a 要满足什么条件？二、典型例题 ：例 1、证明 （ 1） aba b ，（ 2） abab 。证明（ 1）如果 a b0, 那么 abab. 所以 ababab .如果 ab0, 那么 ab(ab).所以 aba (b)(

4、ab)ab（ 2 ）根据（1 ）的结果，有abbabb ，就是，abb a 。所以，a bab 。例 2、证明例 3、证明ababab 。abacbc 。精品资料欢迎下载思考： 如何利用数轴给出例3 的几何解释？（设 A ， B， C 为数轴上的3 个点，分别表示数a，b， c，则线段 AB ACCB. 当且仅当C 在 A ， B 之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取 c 0（即 C 为原点），就得到例2 的后半部分。）探究 ：试利用绝对值的几何意义，给出不等式a ba b 的几何解释？含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例 2和例 3的结果来证明。

5、例 4、已知xac , ybc ，求证 ( xy)(a b)c.22证明( xy) ( ab)( xa)( y b)x ay b （1）xac , y bc ，22 xayccc （2）b22由（ 1），（2）得： ( xy)(ab)c例 5、已知 xa , ya . 求证： 2x3 ya 。46证明xa , ya ， 2xa , 3 ya ，4622由例 1 及上式， 2x3y2x3 yaaa 。22注意 ： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。三、小结 ：借助图形的直观性来研究不等式的问题，是学习不等式的一个重要方法，特别是利用绝对

6、值和绝对值不等式的几何意义来解不等式或者证明不等式，往往能使问题变得直观明了，帮助我们迅速而准确地寻找到问题的答案。关键是在遇到相关问题时，能否准确地把握不等式的图形，从而有效地解决问题。四、练习 ：cc1、已知Aa, Bb.求证： ( AB)( ab)c 。22精品资料欢迎下载2、已知xac , ybc .求证：2x3y2a3bc 。46五、作业：1求证abab1ab1a 1.b2已知a1, b1. 求证： ab1.1ab3若,为任意实数， c 为正数，求证：2(1c)22(11) .c212222212cc2（，而cc2）4. 、c均为实数 ,ab, bc, ac,ab求证 : 3 a b 2c b c 2a c a