空间向量在立体几何中的应用

1、空间向量在立体几何中的应用重点难点重点： 用向量方法讨论空间中的平行、垂直关系和求空间的角、距离难点 ：将立体几何问题转化为向量问题知识归纳一、空间中的角空间中的角包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角这些角都是通过两条射线所成的角来定义的，因而这些角的计算方法，都是转化为平面内线与线所成的角来计算的确切地说，是 “化归 ”到一个三角形中，通过解三角形求其大小1异面直线所成的角：异面直线的夹角一般采用平移法，把它们化归到一个三角形中再通过解三角形求得而利用向量法则可直接运用两直线的方向向量的夹角公式来求得其取值范围是(0 °,90 °.2直线和平面所成的角：平

2、面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角直线与平面所成角的范围是 0 °,90 ° 0°时，直线在平面内或与平面平行 90°时，直线与平面垂直3二面角的平面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 ，在二面角的棱上任取一点O，在两个半平面内以O 为垂足作棱的垂线OA与 OB ，则AOB叫做二面角的平面角二面角的取值范围是0 °,180 °). 0°时两个半平面共面；0°<<90°时为锐二面角； 90°时为直二面角；90°< &l

3、t;180 °时为钝二面角作二面角的平面角的常用方法有：(1) 定义法：根据定义，以棱上任一点为端点，分别在两个半平面内作垂直于棱的两条射线，则形成二面角的平面角(2) 三垂线法：从二面角一个面内某个特殊点P 作另一个面的垂线，过垂足A 作二面角棱的垂线，垂足为B，连结PB ，由三垂线定理得PB与棱垂直，于是PBA是二面角的平面角(或其补角)(3) 垂面法：过二面角的棱上一点作平面与棱垂直，分别交两个面的交线，构成二面角的平面角二、空间中的距离1 (1) 两点间的距离 连结两点的线段的长度(2) 点到直线的距离 从直线外一点向直线引垂直相交的直线，点到垂足之间线段的长度(3) 点到平

4、面的距离 从平面外一点向平面引垂线，点到垂足间线段的长度连接平面外一点与平面内任一点的线段中，垂线段最短(4) 平行直线间的距离 从两条平行线中一条上任意取一点向另一条直线引垂线，这点到垂足间线段的长度(5) 异面直线间的距离 两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的线段的长度(6) 直线与平面间的距离 如果一条直线和一个平面平行，从直线上任意一点向平面引垂线，这点到垂足间线段的长度(7) 两平行平面间的距离 两个平面的公垂线段的长度2 求距离的一般方法和步骤求距离的思想方法和步骤与求角相似，其基本步骤是：找出或作出有关距离的图形；证明它符合定义；在平面图形内计算空间中各种距离的计算，最终都

5、要转化为线段长度，特殊情况也可以利用等积法三、平面的法向量1如果表示向量 a 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ，记作 a ，如果 a ，那么向量 a 叫做平面 的法向量2. 求平面法向量的方法设 n 是平面M 的一个法向量，AB、 CD 是 M 内的两条相交直线，则n AB =0， n CD =0. 由此可以求出一个法向量n（ AB 及 CD 已知） .思想方法点拨一、运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤建立恰当的空间直角坐标系；求出相关点的坐标；写出向量的坐标；结合公式进行计算，论证；转化为几何结论二、用空间向量研究空间线面的平行与垂直关系1用向量方法研究

6、两直线间的位置关系设直线 l1、 l 2 的方向向量分别为a、 b.(1)l 1 l 2 或 l1 与 l 2 重合 ? a b? 存在实数t，使 a tb.(2)l 1 l 2? a b? a·b 0.2用向量方法研究直线与平面的位置关系设直线 l 的方向向量为a，平面 的法向量为n， v1、 v2 是与 平行的两个不共线向量(1) l 或 l? ? 存在两个实数1 v2? a·n 0.、 ，使 a v(2) l ? a n? 存在实数 t，使 a tn .av1av10lv2av20a3用向量方法研究两个平面的位置关系设平面、 的法向量分别为n1、 n2 .(1) 或

7、与 重合 ? n1 n2 ? 存在实数t，使 n1 t n 2.(2) 1 n2? n1 ·2 0.? nn若 v1、 v2 是与 平行的两个不共线向量，n 是平面 的法向量则 或 与 重合 ? v1 且 v2 ? 存在实数 、 ，对 内任一向量a，有 a v1 v2.nv1n v10nv2n v20三、用向量法求空间的角1求异面直线所成的角设 l 1 与l 2 是两异面直线，a、 b 分别为l1 、 l 2 的方向向量，l 1、 l 2 所成的角为，则a， b与 相等或互补，则 cos| a b |.| a | | b |2. 求直线与平面所成的角如图，设 l为平面的斜线， lA

8、，a 为 l 的方向向量，n 为平面的法向量，为 l与平面所成的角，则sin| cosa, n| an | n | a |3、求二面角平面与相交于直线l ，平面的法向量为n1，平面的法向量为n2， < n1，n 2>=，则二面角l为或. 设二面角的大小为，则 | cos| | cos| n1n2|.| n1 | | n2 |四、用向量法求空间距离1、求点到平面的距离如图所示， 已知点 B( x , y , z) ，平面内一点 A( x , y , z )，平面000111的一个法向量n，直线 AB 与平面所成的角为，n, AB，则sin| cosn ,AB| cos|.由数量积的定

9、义知，n AB =|n| ABcos，所以点B到平面的距离d| AB | sin| AB | |cos| n AB |.| n |2、求异面直线间的距离如右图，若CD 是异面直线a， b 上的公垂线，A、 B 分别是 a， b 上的任意两点， 令向量 n a，n b，则 n/CD . 则由ABACCDDB得，AB ·n= AC ·n+ CD ·n+ DB ·n，所以 AB ·n= CD ·n，所以 | AB ·n|=| CD ·n|，故|CD| ABn | ，所以，异面直线a、 b 间的距离为 d| AB n |

10、.| n | n |3、求直线到平面的距离设直线a/平面，A a ，B， 是平面的法向量， 过A作 AC，n垂足为 C，则 AC / n. 因为 AB ·n=( ACCB) ·n=AC ·n，所以 | AB ·n|=| AC | ·|n|，故直线a 到平面的距离为d| AC | | AB n | n |4、求两平行平面间的距离（ 1 ）用公式 d| AB n |A、B 分别求， n 为两平行平面的一个法向量，| n |为两平面上的任意点 .（ 2）转化为点面距或线面距求解.课堂典例讲练题型一用向量证明平行例 1在正方体 ABCD A1B1 C1

11、D 1 中， M、 N 分别是 C1C、 B1C1 的中点求证： MN平面 A1BD .证明： 方法 1：如图所示，以D 为原点， DA、 DC 、 DD 1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得1111，设平M 0，1， N， 1， 1 ， A1(1,0,1) ， B(1,1,0) ，于是 MN ， 0，2222面 A1BD 的法向量是x z 0n ( x，y，z) 则 n·DA 10 ，且 n·DB 0，x y 0取 x 1，得 y 1， z 1. n (1， 1， 1) 10，1·(1， 1， 1) 0，

12、又 MN ·n ，22 MN n，又 MN ? 平面 A1 BD， MN 平面 A1BD .1 1 11 1，方法 2： MN C1N C1M C1B12C1C(D1A1 D1D )DA222MN DA1，又 MN? 平面 A1BD. MN 平面 A1BD .点评： (1) 证明直线l1 l2 时，分别取l 1、 l 2 的一个方向向量a、 b，则 a b? 存在实数k，使 a kb或利用其坐标a1a2a3， a3 )， b ( b1， b2， b3) b1( 其中 a (a1， a2b2b3(2) 证明直线 l 平面 时，可取直线l 的方向向量 a 与平面 的法向量 n ，证明 a

13、·n 0；可在平面内取基向量 e ， e ，然后说明l 不在平面 内即12 ，证明直线 l 的方向向量 a 1e12 e2可； 在平面 内找两点 A、 B，证明直线 l 的方向向量n AB.(3) 证明平面 平面 时，设 、 的法向量分别为a、 b，则只须证明 a b.题型二用向量证明线面垂直例 2在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1 C1D 1 中， E、 F 分别为棱 AB 和 BC 的中点，试在棱 B1B上找一点 M，使得 D1 M平面 EFB 1.证明：分别以 DA、 DC 、 DD 1 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系D xyz，1则 A(1,

14、0,0) ， B1 (1,1,1) ， C(0,1,0) ， D 1 (0,0,1) ， E 1， 2， 0 ， M (1,1 ， m) AC ( 1,1,0) ，又 E、F 分别为AB 、 BC 的中点，1 11.EF AC ，02220 ，1， 1 (1,1， m 1) ，又 B， D1M1E2 D 1M 平面 FEB 1， D1M EF 且 D1MB1E.即 D 1M·EF 0，且 D 1M·B1E 0. 1 1 (m 1) ·0 022， m 1.021 (1 m) 02故取 B1B 的中点 M 就能满足 D1M 平面 EFB 1 .点评： 证明直线l1

15、与 l 2 垂直时，取 l 1、 l 2 的方向向量 a、 b，证明 a·b 0.证明直线l 与平面 垂直时，取 的法向量n， l 的方向向量 a，证明 a n.或取平面 内的两相交直线的方向向量a、 b 与直线 l 的方向向量 e，证明 a·e 0 ， b·e 0.证明平面与 垂直时， 取 、的法向量 n1、n2，证明 n1·n2 0.或取一个平面的法向量 n，在另一个平面内取基向量 e1， e2 ，证明 n e1 e2.题型三用向量法证明面面垂直与面面平行例 3已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为2，E、F 、G 分别是 BB1、DD 1

16、 、DC 的中点，求证：(1) 平面 ADE 平面 B1C1 F；(2) 平面 ADE 平面 A1D 1 G；(3) 在 AE 上求一点 M，使得 A1 M平面 DAE .O xyz，则 D (0,0,0)，D 1(0,0,2)，解析：以 D 为原点， DA、DC、DD 1为正交基底建立空间直角坐标系A(2,0,0) ， A1(2,0,2) ， E(2,2,1) ， F(0,0,1) ， G(0,1,0) ， B1(2,2,2) ， C1(0,2,2) (1) 设 n1 ( x1，y1，z1) ，n2 (x2，y2，z2 )分别是平面ADE 、平面 B1 C1F的法向量，则n1 DA ， n1

17、 AE .2x1 0n1 ·DA 0， ，2y1 z1 0n1 ·AE 0取 y1 1， z1 2， n1 (0,1 ， 2)同理可求 n2 (0,1 ， 2) n1 n2 ， 平面 ADE 平面 B1 C1F .(2) DA·D1G (2,0,0) (0,1·， 2) 0， DA D 1G. AE·D1G (0,2,1) (0,1· ， 2) 0， AE D 1G. DA 、 AE不共线， D1G 平面 ADE .又 D 1G? 平面 A1D 1G， 平面 ADE 平面 A1D1G.(3) ·(0,2,1) (0,2 ，

18、)，由于点 M 在 AE 上，所以可设 AM ·AE M (2,2 ， )， A 1M (0,2 ， 2) 要使 A1M平面 DAE ，只需A1MAE， 2) ·(0,2,1) 5 2 0， A1M·AE (0,2 2.故当 AM 2AE 时， A 1M平面 DAE .55跟踪练习1已知四棱锥P ABCD 的底面是直角梯形，ABC BCD 90°，AB BC PB PC 2CD ，侧面PBC 底面ABCD .(1) 证明： PA BD ；(2) 证明：平面 PAD平面 PAB.证明： (1) 取 BC 的中点O，侧面 PBC 底面ABCD ， PBC 为

19、等边三角形， PO底面 ABCD .以 O 为坐标原点，以BC 所在直线为 x 轴，过点 O 与 AB 平行的直线为y 轴，建立如图所示空间直角坐标系不妨设 CD 1，则 AB BC 2， PO 3. A(1 ， 2,0) ， B(1,0,0) ， D( 1， 1,0) ， P(0,0 ， 3) 3) BD ( 2， 1,0)， PA (1， 2， ，PABD . BD ·PA 0， PA BD(2) 取 PA 的中点M，连结1， 1， 3DM，则 M 22 .33 (1,0 ， 3)， DM2， 0，2， PB DM·PA 0， DM PA，即 DM PA. 又 DM&#

20、183;PB0，DM PB，即 DM PB. DM 平面 PAB， 平面 PAD 平面 PAB.点评： 线线垂直即直线的方向向量垂直；线面垂直即直线的方向向量与平面的法向量平行；面面垂直即二平面的法向量垂直.题型四用向量法求异面直线所成的角例 4如图，已知正方体 ABCD A1B1C1D 1 的棱长为2，点 E 是正方形BCC1B1 的中心，点 F 、G 分别是棱 C1 D1、 AA1 的中点，设点E1、 G1分别是点 E、G 在平面 DCC1D1 内的正投影(1)证明：直线FG 1平面 FEE 1；(2)求异面直线E1G1 与 EA 所成角的正弦值思维启迪： 本题可方便地建立空间直角坐标系，

21、通过点的坐标得到向量坐标，然后求解(1)证明 1以 D 为原点， DD 1、DC 、 DA分别为 z 轴、 y 轴、 x 轴的正向，|DD12|为 1 个单位长度建立空间直角坐标系由题设知点E、 F 、 G1、 E1 的坐标分别为(1,2,1) ， (0,1,2) ， (0,0,1) ， (0,2,1) ，1， FE1 (0,1， 1)，FG 1(0，1)， EE 1( 1,0,0)， FG 1·EE 1 0， FG 1·FE 1 0? FG1 EE1， FG 1 FE1，又 EE 1 FE1 E1. FG1 平面 FEE1.(2)解 由题意知点 A 的坐标为 (2,0,0

22、) ，又由 (1) 可知 EA(1 ， 2， 1) ，E1G1 (0， 2,0)，6EA·E1G1 cos EA，E1G1 ，3|EA| |E·1G1|23 sin EA， E1G11 cos EA， E1G13 .探究提高用向量方法求两条异面直线所成的角，是通过两条直线的方向向量的夹角来求解，而两异面直线所成角的范围是 0， 2 ，两向量的夹角的范围是 0， ，所以要注意二者的区别与联系，应有 cos |cos |.如图所示， 在长方体 ABCD A1 B1C1D 1 中，已知 AB 4，AD 3，AA 1 2.E、 F 分别是线段 AB、 BC 上的点，且 EB BF

23、1.求直线 EC1 与 FD 1 所成的角的余弦值解 1分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正向建立空间直角坐标系，则有D 1(0,3,2) ，以 A 为原点， AB、AD、 AA1 ( 4,2,2)，设 EC1与 FD1E(3,0,0) ，F(4,1,0) ， C1(4,3,2)，于是 EC1 (1,3,2)， FD所成的角为 ，则：|EC1·FD 1|cos |EC1| |FD· 1|1× 4 3×22×221，12 32 22× 4 2 22 2214 直线 EC1与 FD 1 所成的角的余弦值为21.14题型五线面角例 2 如

24、图，已知四棱锥 PABCD 的底面为等腰梯形， AB CD，ACBD ，垂足为 H ，PH 是四棱锥的高， E 为 AD 的中点(1)证明： PE BC；(2)若 APB ADB 60°，求直线PA 与平面 PEH 所成角的正弦值思维启迪： 平面的法向量是利用向量方法解决位置关系或夹角的关键，本题可通过建立坐标系，利用待定系数法求出平面PEH 的法向量(1)证明以 H 为原点， HA， HB， HP 所在直线分别为x， y， z 轴，线段HA 的长为单位长度，建立空间直角坐标系(如图 )，则 A(1,0,0)， B(0,1,0) 1 m设 C(m,0,0)， P(0,0， n) (m

25、<0， n>0)，则 D (0， m,0)， E 2， 2 ，0 .1， m， n可得 PE2 2，BC (m， 1,0) mm因为 PE ·BC 0 0，所以 PE BC.223(2)解 由已知条件可得m 3， n 1，故 C 3，0，0 ，D3， 0 ，E 1， 3，0 ，30， 326P(0,0,1) 设 n( x，y， z)为平面 PEH 的法向量，13n·HE0，即2x 6 y 0，则z0.n·HP0，因此可以取n(1，3， 0)又 PA (1,0， 1)，2所以 |cosPA， n |4 .所以直线PA 与平面 PEH 所成角的正弦值为24

26、 .探究提高利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角 )；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角1已知三棱锥P ABC 中， PA平面 ABC， AB AC， PA AC2AB，N 为 AB 上一点，且AB 4AN， M， S 分别为 PB， BC 的中点(1)证明： CM SN；(2)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小(1)证明 设 PA 1，以 A 为原点， AB ，AC，AP 所在直线分别为x， y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，11

27、， 0,0)1则 P(0,0,1)， C(0,1,0) ，B(2,0,0) ， M(1,0， )，N(， S(1， ， 0)222111所以 CM (1， 1， 2)， SN ( 2， 2， 0) 11因为 CM ·SN2 00，2所以 CM SN.(2)解 设平面 CMN 的法向量为 n (x， y， z)，1z 0n·CM x y2则.11x y0n·CN x， y， z ·， 1，0221 y x， z x，取 x 2，2则 n(2,1， 2)为平面 CMN 的一个法向量n·SN cos n·SN|n| ·|SN|2，

28、 1，1， 1，022 ·221 22 .221 2 2· 1 20222 n·SN 135°，故 SN 与平面 CMN 所成角的大小为45°.题型六求二面角例 3(2012 ·广东 )如图所示，在四棱锥形， PA平面 ABCD ，点 E 在线段P ABCD 中，底面ABCDPC 上， PC平面 BDE .为矩(1)证明：BD平面PAC；(2)若 PA 1， AD 2，求二面角思维启迪： 利用图中的PA 平面B PC A 的正切值ABCD 、ABCD 为矩形的条件建立空间直角坐标系，转化为向量问题(1)证明PA平面ABCD ， BD

29、?平面ABCD ， PA BD.同理由 PC 平面 BDE 可证得 PC BD.又 PA PC P， BD 平面 PAC.(2)解 如图，分别以射线AB， AD，AP 为 x 轴， y 轴， z 轴的正半轴建立空间直角坐标系由 (1)知 BD 平面 PAC，又 AC? 平面 PAC，BDAC.故矩形 ABCD 为正方形， AB BC CD AD 2. A(0,0,0)， B(2,0,0) ，C(2,2,0) ， D(0,2,0) ， P(0,0,1) PB (2,0， 1)， BC (0,2,0) ， BD ( 2,2,0)设平面 PBC 的一个法向量为n (x， y， z)， 0，2

30、3;x0·y z 0，n·PB则即0·x2·y 0·z0，n·BC 0，z2x，取 x 1 得 n (1,0,2) y0， BD 平面 PAC， BD ( 2,2,0) 为平面 PAC 的一个法向量10n·BDcos n， BD 10 .|n| |BD·|设二面角 BPC A 的平面角为 ，由图知0<<2， cos 1010， sin sin tan 3， cos 2 3 101 cos 10 .即二面角BPC A 的正切值为3.探究提高求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然

31、后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角(2011 ·宁辽 )如图，四边形ABCD 为正方形，PD平面ABCD ，1PD QA， QA AB 2PD .(1)证明：平面 PQC 平面 DCQ ；(2)求二面角 QBP C 的余弦值(1)证明 如图，以 D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，以DA 、 DP、DC 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系Dxyz.依题意有 Q(1,1,0) ， C(0,0,1)， P(0,2,0) ，则 DQ (1,1,0) ， DC (0,0,1) ，PQ (1， 1,0) 所以 P

32、Q ·DQ0， PQ·DC 0，即 PQ DQ， PQ DC.又 DQ DC D，所以 PQ 平面 DCQ.又 PQ? 平面 PQC，所以平面 PQC平面 DCQ .(2)解， 1)依题意有 B(1,0,1) ，CB (1,0,0)， BP ( 1,2设 n( x，y， z)是平面n·CB 0，则即n·BP 0，PBC 的法向量，x 0， x 2y z 0.因此可取n (0， 1， 2)m·BP 0，同理，设m 是平面 PBQ 的法向量，则m·PQ0，可取 m (1,1,1)所以 cos m， n155 .故二面角 Q BP C 的余

33、弦值为155 .题型七异面直线间的距离例 7已知正方体 ABCD A1B1 C1D 1 的棱长为 1.求异面直线 DA 1 与 AC 的距离解析： 如图建立空间直角坐标系，则A(1,0,0) 、 C(0,1,0) 、 B1(1,1,1) 、A1(1,0,1) ，向量 AC ( 1,1,0)，DA1(1,0,1) ， DA (1,0,0) 设向量n (x， y,1)，且 n DA 1， n AC ，则( x， y， 1) ·(1， 0， 1) 0，解得x 1，y 1(x， y， 1) ·( 1， 1， 0) 0所以 n ( 1 ， 1,1) |(1， 0， 0) ·

34、( 1， 1， 1)|DA·异面直线 DA 与 AC的距离为 dn|1| n|( 1， 1， 1)|33 .题型八点、线、面到平面的距离例 8如图，在正三棱柱ABC A1B1 C1 中，所有棱长均为1，则点 B1 到平面 ABC 1 的距离为_ 解析： 建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0) ， A3， 1， 0 ，B(0,1,0)，2231， 1B1(0,1,1) ， C1(0,0,1) ，则 C1A2， C1 B1 (0,1,0) ， C1B (0,1 ， 1)，2设平面 ABC 1 的法向量为n (x， y,1)，C1A·n 0，解得 n3，1，1则有，3C1B·n 01 21则 d C1B1·n |n |17 .3 11答案：217跟踪练习 3如图所示，已知边长为42的正三角形ABC 中， E、 F 分别为 BC 和AC 的中点， PA平面 ABC ，且 PA 2，设平面 过 PF 且与 AE 平行，求AE 与平面 间的距离e1、